6R機(jī)器人柔體動力學(xué)建模及模態(tài)分析

李宇庭，李 波，閆 榮，彭芳瑜，唐小衛(wèi)，陳定方

(1 武漢理工大學(xué)智能制造與控制研究所，湖北 武漢 430063；2 華中科技大學(xué)機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院，湖北 武漢 430074)

6R機(jī)器人柔體動力學(xué)建模及模態(tài)分析

李宇庭1，李 波1，閆 榮2，彭芳瑜2，唐小衛(wèi)2，陳定方1

(1 武漢理工大學(xué)智能制造與控制研究所，湖北 武漢 430063；2 華中科技大學(xué)機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院，湖北 武漢 430074)

根據(jù)D-H方法建立6R機(jī)器人的連桿坐標(biāo)系，在此基礎(chǔ)上，通過綜合考慮機(jī)器人關(guān)節(jié)柔度與臂桿柔度，利用牛頓-歐拉法得到了6R機(jī)器人的柔體動力學(xué)方程；同時(shí)，根據(jù)模態(tài)理論計(jì)算了柔性機(jī)器人固有頻率，并通過建立剛?cè)狁詈夏Ｐ瓦M(jìn)行仿真分析，驗(yàn)證了理論模型的正確性。

關(guān)節(jié)柔度； 臂桿柔度； 柔體動力學(xué)； 模態(tài)理論； 剛?cè)狁詈?/p>

由于機(jī)器人剛性較差，在機(jī)加工過程中更容易發(fā)生振動及切削不穩(wěn)定現(xiàn)象，有必要對6R機(jī)器人進(jìn)行柔體動力學(xué)建模，并進(jìn)行相應(yīng)的模態(tài)分析。

在機(jī)器人銑削方面，張永貴等人對加工機(jī)器人的關(guān)節(jié)柔度與結(jié)構(gòu)柔度進(jìn)行綜合分析，并推導(dǎo)出二者與機(jī)器人末端柔度的具體關(guān)系[1]，但未考慮機(jī)器人動態(tài)剛度；C. Reinl等人通過對帶有柔性關(guān)節(jié)的多剛體系統(tǒng)進(jìn)行動力學(xué)建模，并利用相應(yīng)算法對加工路徑進(jìn)行離線補(bǔ)償以提高加工質(zhì)量[2]，但其動力學(xué)方程未涉及結(jié)構(gòu)柔度。在柔性關(guān)節(jié)動力學(xué)方面，潘博等人采用拉格朗日方法對空間柔性機(jī)械臂的動力學(xué)進(jìn)行了建模[3]，但未分析其模態(tài)特性。本文在已有分析基礎(chǔ)上，建立了包含關(guān)節(jié)柔度與結(jié)構(gòu)柔度的機(jī)器人動力學(xué)方程，同時(shí)對其模態(tài)特性進(jìn)行了分析。

1 6R機(jī)器人模型及坐標(biāo)系

利用CAD/CAM軟件對6R加工機(jī)器人進(jìn)行三維建模。由于本文研究重點(diǎn)在于動力學(xué)建模，為簡化模型，去掉驅(qū)動電機(jī)及內(nèi)部傳動部件后其虛擬樣機(jī)見圖1。從圖中可以看出，機(jī)器人結(jié)構(gòu)主要由底座、大臂、小臂及手腕組成，有6個(gè)可以獨(dú)立活動的關(guān)節(jié)，分別為腰部、肩部、肘部與腕部關(guān)節(jié)。加工用電主軸在兩片半圓形裝置的夾持下安裝在末端執(zhí)行器上，由各關(guān)節(jié)帶動電主軸相對工件運(yùn)動，以此對工件進(jìn)行銑削加工。

圖 1 6R機(jī)器人虛擬樣機(jī)

根據(jù)D-H法[4]對該機(jī)器人依次建立連桿坐標(biāo)系{1}～{6}(圖2)，圖中只標(biāo)出了各坐標(biāo)系的x與z軸，y軸可由右手定則確定，其中坐標(biāo)系{0}是機(jī)器人基座標(biāo)系，坐標(biāo)系方向與{1}的初始位置即θ1=0°時(shí)的方向完全重合。從圖中可以看出，該機(jī)器人共有6個(gè)連桿坐標(biāo)系(不包括基座標(biāo)系)，且其腕部三坐標(biāo)系即{4}、{5}、{6}的原點(diǎn)重合。

圖 2 6R機(jī)器人連桿坐標(biāo)系

根據(jù)該機(jī)器人的實(shí)際技術(shù)參數(shù)，得到各連桿的4個(gè)參數(shù)及關(guān)節(jié)運(yùn)動范圍(表1)。

表1 6R機(jī)器人連桿參數(shù)

2 機(jī)器人柔度模型

2.1 機(jī)器人關(guān)節(jié)柔度

為了對末端執(zhí)行器進(jìn)行精確控制，串聯(lián)工業(yè)機(jī)器人轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)需要用大剛度、高傳動精度的減速器(一般采用諧波減速器或RV減速器)來連接伺服電機(jī)與關(guān)節(jié)的運(yùn)動。盡管其剛度很大，但在末端外力作用下，會導(dǎo)致實(shí)際輸出關(guān)節(jié)變量與規(guī)劃關(guān)節(jié)變量之間產(chǎn)生微小誤差，從而使末端執(zhí)行器的位姿發(fā)生變化。

機(jī)器人柔性關(guān)節(jié)傳動的物理模型見圖3a，中間的機(jī)構(gòu)簡圖表示傳動用RV減速器，將中間的減速器簡化為扭簧后的模型如圖3b所示，當(dāng)給定伺服電機(jī)的規(guī)劃角位移q后，由于受到關(guān)節(jié)扭矩τ，連桿實(shí)際角位移為θ，得到這三者的關(guān)系如下

τ=kj·(q-θ)

(1)

(a)機(jī)器人關(guān)節(jié)傳動物理模型

(b)機(jī)器人關(guān)節(jié)傳動簡化模型

相對于機(jī)器人前三個(gè)關(guān)節(jié)來說，機(jī)器人的腕部三關(guān)節(jié)對機(jī)器人末端振動影響較小。基于這一點(diǎn)，在建立含有柔性關(guān)節(jié)的機(jī)器人動力學(xué)方程時(shí)，僅考慮其前三個(gè)關(guān)節(jié)的柔性，并且將小臂與腕部視為一個(gè)整體加以建模。經(jīng)過試驗(yàn)測量[5]，得到該型6R機(jī)器人的前三個(gè)關(guān)節(jié)的剛度值分別為：6.88×105Nm/rad、6.88×105Nm/rad與3.78×105Nm/rad。

2.2 機(jī)器人柔性臂桿模型

由材料力學(xué)知識可知，構(gòu)件在承受外力條件下一定會產(chǎn)生變形。對于高度耦合的機(jī)器人，其臂桿的柔性變形對末端執(zhí)行器位姿的影響較大，因此在建立機(jī)器人動力學(xué)模型的過程中有必要考慮機(jī)器人臂桿的柔度。

對于任一臂桿，在末端分別加上6個(gè)方向的廣義力后，可以產(chǎn)生4種變形情況，即縱向拉伸、繞縱軸扭曲以及兩個(gè)方向的彎曲。根據(jù)機(jī)器人的實(shí)際構(gòu)造，可以發(fā)現(xiàn)其繞著連桿轉(zhuǎn)軸的彎曲與關(guān)節(jié)柔性變形的方向是一致的，其對末端執(zhí)行器位姿影響最大；另一方面，由機(jī)器人受力情況及截面特性(抗拉剛度及抗扭剛度較大)可知，其彎曲變形量較大，而拉伸、扭轉(zhuǎn)變形量較小?；谏鲜鲈颍疚膬H考慮繞關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)軸的彎曲變形，其受力及變形示意圖見圖4。

圖 4 繞關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)軸的彎曲變形示意圖

由圖4，臂桿{i}在末端受到臂桿{i+1}繞z軸扭轉(zhuǎn)力矩n及y向作用力F，在質(zhì)心受到相同方向的慣性力矩nc及慣性力Fc，上述力與力矩所產(chǎn)生的變形方向與關(guān)節(jié)柔度產(chǎn)生的變形是相同的，產(chǎn)生的等效關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角

(2)

式中，δi為連桿i末端產(chǎn)生的變形量；Li為連桿i長。

由機(jī)器人的構(gòu)造可以明顯看出，其大臂與小臂剛度最差，對末端執(zhí)行器位姿影響最大，故本文只考慮大臂與小臂的臂桿柔度。為計(jì)算臂桿各加載類型下的柔度，根據(jù)實(shí)際結(jié)構(gòu)，將大臂與小臂分別簡化成空心方鋼與實(shí)心圓棒，根據(jù)材料力學(xué)相關(guān)理論可以計(jì)算出各柔度值[6](表2)。

表2 各加載類型的柔度值

3 機(jī)器人柔體動力學(xué)方程

根據(jù)牛頓-歐拉法得機(jī)器人動力學(xué)[7]為

(3)

式中，M為n×n慣性力系數(shù)矩陣；C為n×n離心力系數(shù)矩陣；B為n×n科氏力系數(shù)矩陣；G為n×1重力矢量；F為n×1外部作用力矢量。

式(3)與式(1)、式(2)所述機(jī)器人柔度模型聯(lián)合起來即為機(jī)器人柔體動力學(xué)模型，其物理模型見圖5。

圖 5 機(jī)器人柔體動力學(xué)物理模型

在外力作用下，設(shè)由關(guān)節(jié)柔度引起的關(guān)節(jié)角度偏差為αi，而由臂桿柔度引起的等效關(guān)節(jié)角度偏差為βi，關(guān)節(jié)規(guī)劃角位移為qi，實(shí)際輸出角位移

θi=qi-αi-βi

(4)

所以關(guān)節(jié)輸出扭矩

τi=kjiαi=kji(qi-θi-βi)

(5)

另一方面，根據(jù)臂桿所受外力及其柔度可以求得由臂桿柔度引起的等效關(guān)節(jié)角度偏差

(6)

式中，δi、Li與式(2)完全一樣，而δfi、δni、δfci、δnci則分別表示末端受力與力矩以及質(zhì)心受力與力矩所引起的臂桿末端位移量。根據(jù)柔度、力與位移的關(guān)系，臂桿末端由臂桿柔度產(chǎn)生的總位移量可由下面的矩陣乘積得到

δi=[wli]T·[Fli]

(7)

式中，[wli]為臂桿的柔度向量，且[wli]T=[wfiwniwfciwnci]，具體參數(shù)見表2。

[Fli]為臂桿受外力矢量，且[Fli]T=[ifi+1mini+1zifciminciz]T，m=x或y，視坐標(biāo)系的方向而定。

將式(6)、(7)代入式(5)，寫成矩陣形式后再帶入到式(3)所示動力學(xué)方程中即為綜合考慮關(guān)節(jié)柔度與臂桿柔度的機(jī)器人柔體動力學(xué)方程，寫成矩陣形式為

(8)

式中，q為規(guī)劃關(guān)節(jié)變量，θ代表實(shí)際輸出關(guān)節(jié)變量，Kj表示關(guān)節(jié)剛度矩陣，即Kj=diag(kj1、kj2、kj3)，另一方面，式(8)中的系數(shù)矩陣與(3)式中的系數(shù)矩陣不一定完全相同，需要根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行確定。

4 機(jī)器人初始位姿模態(tài)及仿真

4.1 6R機(jī)器人模態(tài)分析

為了分析得到柔性機(jī)器人的固有頻率，運(yùn)用模態(tài)分析理論[8]進(jìn)行機(jī)器人初始加工位姿的模態(tài)求解。設(shè)多自由度系統(tǒng)的運(yùn)動學(xué)方程為

(9)

其中，[M]、[C]、[K]分別為質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣及剛度矩陣，而{x}與{f}分別表示響應(yīng)向量及外力向量。對式(9)進(jìn)行Laplace變換，得到

([M]s2+[C]s+[K]){X(s)}={F(s)}

(10)

為了將其轉(zhuǎn)化成一般特征值問題，式(10)被擴(kuò)展為

([A]s+[B]){Y}={F'}

(11)

其中，

若外力向量為零，那么式(11)就成了關(guān)于實(shí)值矩陣的一般特征值問題，其特征方程為

det([A]s+[B])=0

(12)

由式(12)解得特征根s，其實(shí)部σr為阻尼因子，而虛部ωr則為阻尼固有頻率。

對于機(jī)器人加工初始位姿，且末端無切削力的條件下(即自由振動)，機(jī)器人柔體動力學(xué)方程中的速度與重力項(xiàng)對關(guān)節(jié)變量的實(shí)際輸出影響較小，這里忽略不計(jì)[9]，則式(9)變成

(13)

(14)

式中，初始位置質(zhì)量矩陣

根據(jù)式(9)～(14)，計(jì)算得到特征值，其虛部分別為136.77rad/s、81.41rad/s及88.64rad/s，即21.77Hz、12.96Hz、14.11Hz。

4.2 模態(tài)仿真驗(yàn)證

由于考慮了機(jī)器人的關(guān)節(jié)柔度及臂桿柔度，因此要建立剛?cè)狁詈戏抡婺Ｐ蚚10]。首先在ADAMS中建立機(jī)器人的剛體模型，添加相應(yīng)約束后，利用AZ()建立角位移測量函數(shù)，并在前三個(gè)關(guān)節(jié)處加上如下力矩驅(qū)動

τi=kji·(qi-θi)=kji·Δθi

(15)

然后利用柔性體替代剛性體模塊將模態(tài)中性文件導(dǎo)入到現(xiàn)有剛體模型，剛性臂桿上的原有約束及驅(qū)動自動轉(zhuǎn)移到柔體模型上，而原有marker點(diǎn)則轉(zhuǎn)變成與之最近的節(jié)點(diǎn)。建立的剛?cè)狁詈夏Ｐ鸵妶D6，從圖6中可以發(fā)現(xiàn)，在運(yùn)動過程中，大臂與小臂是柔性的，圖中的應(yīng)力云圖說明了這一點(diǎn)。

圖 6 機(jī)器人剛?cè)狁詈夏Ｐ?/p>

利用ADAMS中的Vibration模塊對虛擬樣機(jī)模型進(jìn)行了模態(tài)分析[11]。首先在末端刀具處建立了輸入通道，用0.1～1000Hz的諧波力進(jìn)行激勵(lì)，并建立刀具x、y、z的三向輸出通道。根據(jù)輸入、輸出通道的測試信號可以得到機(jī)器人系統(tǒng)的模態(tài)信息。機(jī)器人振動系統(tǒng)共有58階模態(tài)，且為共軛關(guān)系，其固有頻率從10Hz變化到16 000Hz，這是由關(guān)節(jié)柔度及臂桿柔度所決定的，關(guān)節(jié)柔度決定低頻固有頻率，而臂桿柔度決定高頻固有頻率。圖7為刀具y向振動的模態(tài)參與因子曲線。

在圖7中，左側(cè)曲線峰值對應(yīng)的頻率為11.749Hz，中間曲線峰值對應(yīng)的頻率為13.804Hz，右側(cè)曲線峰值對應(yīng)的頻率為21.380Hz，分別為第3、4與5階模態(tài)頻率，其他階模態(tài)參與因子與之相比很小，可以忽略不計(jì)。表3給出了第3～5階模態(tài)參數(shù)信息，包括固有頻率、阻尼比以及留數(shù)，對比理論計(jì)算結(jié)果可以看出，二者十分相近，驗(yàn)證了理論分析的科學(xué)性。

圖 7 刀具y向振動的模態(tài)參與因子

表3 第3～5階模態(tài)參數(shù)信息

在模態(tài)變形方面，由后處理結(jié)果可知，第3階模態(tài)變形為腰部、大臂、小臂繞關(guān)節(jié)1轉(zhuǎn)動，第4階模態(tài)變形為大臂、小臂繞關(guān)節(jié)2轉(zhuǎn)動，第5階模態(tài)變形為大臂、小臂繞關(guān)節(jié)2轉(zhuǎn)動且小臂繞關(guān)節(jié)3轉(zhuǎn)動，而其他階模態(tài)變形都有臂桿變形的參與。分析上述3階固有頻率與理論計(jì)算結(jié)果的誤差，一方面是因?yàn)閷C(jī)器人柔體動力學(xué)方程進(jìn)行了簡化，未考慮重力項(xiàng)、速度項(xiàng)的影響；另一方面，在機(jī)器人柔體動力學(xué)模型中未考慮阻尼。

5 結(jié)語

本文在前人理論分析的基礎(chǔ)上，首先建立了6R機(jī)器人的坐標(biāo)系，然后，對機(jī)器人柔度進(jìn)行了分析，建立了關(guān)節(jié)柔度及臂桿柔度模型，并結(jié)合牛頓-歐拉方法推導(dǎo)出了機(jī)器人柔體動力學(xué)方程；最后，運(yùn)用模態(tài)理論分析了機(jī)器人的固有頻率，并在建立剛?cè)狁詈夏Ｐ偷幕A(chǔ)上對機(jī)器人進(jìn)行了仿真，驗(yàn)證了理論模型的正確性。

[1] 張永貴,劉文洲,高金剛. 切削加工機(jī)器人剛度模型研究[J]. 農(nóng)業(yè)機(jī)械學(xué)報(bào),2014(08):321-327.

[2]ReinlC,FriedmannM,BauerJ,etal.Model-basedOff-lineCompensationofPathDeviationforIndustrialRobotsinMillingApplications[C]. 2011IEEE/ASMEInternationalConferenceonAdvancedIntelligentMechatronics(AIM2011)Budapest,Hungary,2011:3-7.

[3] 潘 博,孫 京,于登云. 柔性關(guān)節(jié)空間機(jī)械臂建模、控制與仿真[J]. 系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào),2010(08):1826-1831.

[4] 熊有倫.機(jī)器人技術(shù)基礎(chǔ)[M].武漢：華中科技大學(xué)出版社,1996:32-54.

[5] 陳玉山.6R型工業(yè)機(jī)器人關(guān)節(jié)剛度辨識與實(shí)驗(yàn)研究[D].武漢：華中科技大學(xué), 2011.

[6] 劉鴻文.材料力學(xué)[M].北京：高等教育出版社,2004:176-194.

[7] 孔令富,張世輝,肖文輝，等．基于牛頓-歐拉方法的6-PUS并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛體動力學(xué)模型[J]．機(jī)器人，2004,26(05)：395-399.

[8] 白化同,郭繼忠,屠良堯.模態(tài)分析理論與試驗(yàn).北京：北京理工大學(xué)出版社,2001:9-21.

[9] 趙欣翔.考慮關(guān)節(jié)柔性的重載工業(yè)機(jī)器人結(jié)構(gòu)優(yōu)化研究[D].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué),2013.

[10] 王斌銳,方水光,嚴(yán)冬明.機(jī)器人手臂的剛?cè)狁詈辖＜皵[動模態(tài)對比[J].中國機(jī)械工程,2012(17): 2092-2097.

[11] 武利霞,郭志平,張仕民,等. 基于ADAMS/Vibration的微型擺式內(nèi)燃機(jī)的振動分析[J].噪聲與振動控制,2008(01):7-9.

[責(zé)任編校： 張巖芳]

Flexible Dynamic Modeling and Modal Analysis of 6R Rrobot

LI Yuting1，LI Bo1，YAN Rong2，PENG Fangyu2，TANG Xiaowei2，CHEN Dingfang1

(1IntelligentManufacturingandControlInstitute,WuhanUniv.ofTech. ,Wuhan430063,China；2SchoolofMechanicalSci.andEngin. ,HuazhongUniv.ofSci.andTech.,Wuhan430074,China)

The paper firstly established a link coordinate system of 6R robot according to D-H method. On the basis of the coordinate system, flexible dynamic equations for the 6R robot were then given by means of Newton-Euler method considering joint flexibility and arm flexibility. Meanwhile, natural frequencies for the flexible 6R robot were calculated with modal theories. Finally, a rigid-flexible coupling modeling was set up for the robot, and simulation analysis was made with the model, and the results proved the validity of the dynamic modeling.

joint flexibility; arm flexibility; flexible dynamics; modal theories; rigid-flexible coupling

2015-04-20

李宇庭(1993-)，男，湖北荊門人，武漢理工大學(xué)本科生，研究方向?yàn)闄C(jī)械設(shè)計(jì)

1003-4684(2015)04-0065-05

TP242.2

A