談?wù)勅Q(chēng)量詞與存在量詞

馬艷

量詞包括全稱(chēng)量詞與存在量詞兩種，前者是指“所有”、“任意”、“每一個(gè)”等表示全體的量詞，通常用符號(hào)“x”表示“對(duì)任意x”;后者是指“有一個(gè)”、“有些”、“存在一個(gè)”等表示部分的量詞，通常用符號(hào)“x”表示“存在x”.全稱(chēng)量詞和存在量詞是新課程高考的必考內(nèi)容，考查方式十分靈活、多樣，而且可以和其他知識(shí)交匯綜合考查.下面就教學(xué)中的案例四則，來(lái)說(shuō)明一下全稱(chēng)量詞與存在量詞的考查方式.

1 準(zhǔn)確地利用量詞敘述數(shù)學(xué)內(nèi)容

含有全稱(chēng)量詞的命題稱(chēng)為全稱(chēng)命題，表示為“x∈M，p（x）”;含有存在量詞的命題稱(chēng)為特稱(chēng)命題，表示為“x∈M，p（x）”.這里M為給定的集合，p（x）是一個(gè)關(guān)于x的命題（結(jié)論）.我們要能區(qū)分全稱(chēng)命題和特稱(chēng)命題，并能判斷其真假.

例1 （2013·新課標(biāo)Ⅰ高考）已知命題p：x∈R，2x<3x;命題q：x∈R，x3=1-x2，則下列命題中為真命題的是（ ）.

A.p∧q B.p∧q

C.p∧q D.p∧q

解析 對(duì)于命題p：取x=-1，可知為假命題，命題q：令f（x）=x3+x2-1，且f（0）·（1）<0，故f（x）有零點(diǎn)，即方程x3+x2-1=0有解，q：x∈R，x3=1-x2為真命題，選項(xiàng)A，p∧q為假命題，錯(cuò)誤;選項(xiàng)B，p∧q為真命題，正確;選項(xiàng)C，p∧q為假命題，錯(cuò)誤;選項(xiàng)D，p∧q假命題，錯(cuò)誤.故選B.

點(diǎn)評(píng) 要判定一個(gè)特稱(chēng)命題為真，只要在M中找到一個(gè)元素x，使p（x）為真，否則命題為假;要判定一個(gè)全稱(chēng)命題為真，必須對(duì)給定集合中的每一個(gè)元素x，證明p（x）都為真，但事實(shí)上要判定一個(gè)全稱(chēng)命題為假，只需在給定的集合內(nèi)找出一個(gè)x0，使p（x0）為假即可.

2 正確地對(duì)含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定

一般地，全稱(chēng)命題的否定是：全稱(chēng)量詞變?yōu)榇嬖诹吭~，且將結(jié)論否定，即“x∈M，p（x）”的否定為“x∈M，p（x）”;特稱(chēng)命題的否定是：存在量詞變?yōu)槿Q(chēng)量詞，且將結(jié)論否定，即“x∈M，p（x）”的否定為“x∈M，p（x）”.

例2 （2013·四川高考）設(shè)x∈Z，集合A是奇數(shù)集，集合B是偶數(shù)集.若命題p：x∈A，2x∈B，則（ ）.

A.p：x∈A，2x∈B

B.p：xA，2x∈B

C.p：x∈A，2xB

D.p：xA，2xB

解析 根據(jù)題意可知命題p：x∈A，2x∈B的否定是p：x∈A，2xB，故選C.

點(diǎn)評(píng) 不含量詞的命題的否命題是將命題的條件和結(jié)論都進(jìn)行否定，如“若x=1，則x2-3x+2=0”的否命題為“若x≠1，則x2-3x+2≠0”;不含量詞的命題的否定是命題的條件不變，只將結(jié)論進(jìn)行否定，如“若x=1，則x2-3x+2=0”的否定為“若x=1，則x2-3x+2≠0”.實(shí)際上這里x=1可以寫(xiě)成x∈{xx=1}或x∈{xx=1}，其意義不會(huì)發(fā)生變化，只是因?yàn)闆](méi)有可選擇變化的余地、范圍，再加上量詞就顯得多此一舉.

3 充分地發(fā)揮含有一個(gè)量詞的命題的否定在解題中的功能

對(duì)于有些數(shù)學(xué)問(wèn)題，如果能靈活地將全稱(chēng)命題與特稱(chēng)命題進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化，則往往能使問(wèn)題化難為易，迎刃而解.

例3 若二次函數(shù)f（x）=4x2-2（p-2）x-2p2-p+1在區(qū)間[-1，1]內(nèi)至少存在一點(diǎn)c，使得f（c）>0，則實(shí)數(shù)p的取值范圍為 .

解析 若二次函數(shù)f（x）=4x2-2（p-2）x-2p2-p+1在區(qū)間[-1，1]內(nèi)任意一點(diǎn)c，總有f（c）≤0，則f（-1）≤0，

f（1）≤0，，解得p≤-3，或p≥32，故原題所求p的范圍為-3，32.

點(diǎn)評(píng) 本題題設(shè)屬特稱(chēng)命題，若直接求解，則需分類(lèi)討論，頭緒繁多，操作困難.于是不妨考慮其否定：若二次函數(shù)f（x）=4x2-2（p-2）x-2p2-p+1在區(qū)間[-1，1]內(nèi)任意一點(diǎn)c，總有f（c）≤0，求得此情形下實(shí)數(shù)p的取值范圍，然后得出結(jié)論.

4 準(zhǔn)確地把握全稱(chēng)量詞和存在量詞的區(qū)別和聯(lián)系

有些數(shù)學(xué)問(wèn)題中既有全稱(chēng)量詞又有存在量詞，要能分清層次關(guān)系，理解本質(zhì).

例4 （2014·濟(jì)南模擬）已知函數(shù)f（x）=4x2-72-x，x∈[0，1]，函數(shù)g（x）=x3-3a2x-2a，x∈[0，1]，其中常數(shù)a≥1.若對(duì)x1∈[0，1]，總x0∈[0，1]，使得g（x0）=f（x1）成立，則a的取值范圍為 .

解析 f（x）=4（2-x）+92-x-16，可以求得f（x）的值域?yàn)閇-4，-3];

g′（x）=3x2-3a2=3（x+a）（x-a）且a≥1，從而g（x）在0，1上單調(diào)遞減，所以g（x）的值域?yàn)閇1-3a2-2a，-2a].

依題意得f（x）的值域?yàn)間（x）值域的子集，

所以-4≥1-3a2-2a，

-3≤-2a，

a≥1，得1≤a≤32.

答案：1，32

點(diǎn)評(píng) 不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)某個(gè)給定的x1，總x0∈0，1，使得g（x0）=f（x1）成立等價(jià)于f（x1）是函數(shù)g（x），x∈0，1值域中的一個(gè)元素.于是，不難理解，對(duì)x1∈0，1，總x0∈0，1，使得g（x0）=f（x1）成立等價(jià)于f（x），x∈0，1的值域?yàn)間（x），x∈0，1值域的子集.

在高中階段，對(duì)于兩種量詞的教學(xué)，不追求形式化的定義，否則對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)很難理解，況且課時(shí)也不允許.教學(xué)中應(yīng)當(dāng)以案例為主開(kāi)展教學(xué)活動(dòng)，注意引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)案例的分析，正確掌握量詞的用法，理解它們的含義，糾正出現(xiàn)的邏輯錯(cuò)誤，體會(huì)運(yùn)用常用邏輯語(yǔ)言表述數(shù)學(xué)內(nèi)容的準(zhǔn)確性、簡(jiǎn)潔性.