直線與平面垂直說課稿

宮建紅

1 教學(xué)背景

1.1 教材內(nèi)容解析

本節(jié)課是《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)》蘇教版必修2中1232《直線與平面垂直》內(nèi)容，屬于新授概念原理課.

圖1

如圖1，這是直線與平面垂直在本章中的位置.直線與平面垂直是在學(xué)生掌握了直線在平面內(nèi)，直線與平面平行之后緊接著研究的一種位置關(guān)系.線面垂直與線線平行、面面平行聯(lián)系密切，線面平行研究了定義、判定定理以及性質(zhì)定理，這就為我們本節(jié)課的研究勾勒出了一條主線.直線與平面垂直又是立體幾何中最重要的一種位置關(guān)系，向下可以得到線線垂直，向上可以得到面面垂直，且后面空間的角和距離等都涉及到線面垂直，從而就顯得尤為重要.

本節(jié)課的學(xué)習(xí)不僅起著承上啟下的作用，還是學(xué)生體驗由特殊到一般、類比、歸納、猜想、化歸等數(shù)學(xué)思想方法與應(yīng)用的過程.因此，學(xué)習(xí)這部分知識有著非常重要的意義.

1.2 學(xué)生學(xué)情分析

1.21 學(xué)生已有認(rèn)知基礎(chǔ)

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線與直線垂直、直線與平面平行的相關(guān)認(rèn)識.學(xué)生已有通過直觀感知、操作確認(rèn)的方法研究直線與平面平行的直接經(jīng)驗，對空間概念、原理的建立有一定的基礎(chǔ).學(xué)生初步養(yǎng)成了獨立思考、合作交流、反思質(zhì)疑等學(xué)習(xí)習(xí)慣.

1.22 達(dá)成目標(biāo)所需要的認(rèn)知基礎(chǔ)

學(xué)生需要對研究的目標(biāo)、方法和途徑有初步的認(rèn)識，初步具備類比、猜想、抽象概括、空間想象能力.

1.23 教學(xué)重難點及突破策略

依據(jù)教材內(nèi)容解析和學(xué)生學(xué)情分析，我確定本節(jié)課的教學(xué)重點難點及突破策略如下：

教學(xué)重點 直線與平面垂直定義的生成過程，判定定理的發(fā)現(xiàn)過程，以及性質(zhì)定理的證明過程.

教學(xué)難點 直線與平面垂直的定義和判定的生成過程，性質(zhì)定理的證明方法的發(fā)現(xiàn)過程.

突破策略 教師引導(dǎo)學(xué)生先明確研究的內(nèi)容與方法，從總體上認(rèn)識研究的目標(biāo)與手段;組織學(xué)生匯報交流，展現(xiàn)思維過程，相互評價，相互啟發(fā)，促進(jìn)反思;讓學(xué)生經(jīng)歷直觀感知、猜想、抽象概括、適當(dāng)證明或說明的過程.

1.3 教學(xué)目標(biāo)設(shè)置

基于教材、學(xué)情分析，充分關(guān)注學(xué)生的發(fā)展，在此基礎(chǔ)確立了本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如下：

（1）通過對現(xiàn)實生活中的實例、模型的觀察、類比、抽象、概括出直線與平面垂直的定義，發(fā)現(xiàn)、推測、歸納直線與平面垂直的判定定理，探究直線與平面垂直的性質(zhì)定理及證明方法.

（2）感悟特殊到一般、化歸等數(shù)學(xué)思想;了解反證法，發(fā)展類比、歸納等合情推理能力、邏輯推理能力和空間想象能力.

（3）體會數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)、自然、簡潔之美，體驗數(shù)學(xué)探究與發(fā)現(xiàn)的樂趣，培養(yǎng)質(zhì)疑、思辨、發(fā)現(xiàn)問題的意識和自主探究、思考的習(xí)慣和能力.

2 教法學(xué)法

根據(jù)學(xué)生已有學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，為提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，本節(jié)課的教學(xué)，采用啟發(fā)探究式.通過教師引導(dǎo)，激發(fā)學(xué)生自主探究，動手操作，體驗感悟，總結(jié)提煉.引領(lǐng)學(xué)生達(dá)到定性研究線面垂直的目標(biāo)與方法，經(jīng)歷研究線面垂直的定義、判定定理和性質(zhì)定理的過程，并在研究的過程中逐漸完善研究手段，提高研究能力.學(xué)生的自主探究，具體表現(xiàn)為：

（1）建構(gòu)直線與平面垂直的概念時，學(xué)生自主舉例，觀察猜想，抽象概括，并用自然語言、圖形語言、符號語言表示.

（2）探究直線與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理時，學(xué)生通過實驗探究、觀察探究、操作確認(rèn)的方式猜想歸納并表述.

（3）性質(zhì)證明時，學(xué)生自主探究證法，相互交流提升，最終解決問題.

3 教學(xué)過程

為了達(dá)成教學(xué)目標(biāo)，具體教學(xué)可以分為以下五個過程：

建構(gòu)定義→形成判定→產(chǎn)生性質(zhì)→課堂小結(jié)→布置作業(yè)

圖2

下面對每一過程中要解決的問題和主要做法以及步驟作出說明.

3.1 建構(gòu)定義

根據(jù)學(xué)生已有的知識基礎(chǔ)，建構(gòu)定義部分，我設(shè)計了以下8個問題：

問題1 直線和平面有哪幾種位置關(guān)系？

問題2 研究了直線和平面平行哪些內(nèi)容？

設(shè)計意圖 以問題串的形式復(fù)習(xí)線面關(guān)系，勾勒出本節(jié)課的研究線路.

問題3 直線和平面相交中最特殊的一種情況是什么？

活動31：你能利用手中的工具，擺出一些直線與平面相交的情形嗎？

活動32：大家擺出了這么多種“相交”，你想先從哪一種情形開始研究呢？把它擺出來.

活動33：那你能給“這種情形”（教師比劃”直線與平面垂直”的形象）起個名字嗎？

追問331：為什么命名為“垂直”呢？

設(shè)計意圖 先讓學(xué)生動手操作——發(fā)現(xiàn)線面垂直是相交最特殊的情形;緊接著讓學(xué)生自主命名——使學(xué)生體驗成功快樂;進(jìn)而追問為什么命名為“垂直”？——學(xué)生聯(lián)想“直線與直線垂直”，用已知的概念來表示未知概念，為定義建構(gòu)埋下伏筆.

問題4 為什么先研究線面垂直？

設(shè)計意圖 讓學(xué)生認(rèn)識到研究新問題的途徑為：由特殊到一般，由簡單到復(fù)雜.

問題5 為什么要研究線面垂直？

設(shè)計意圖 通過讓學(xué)生舉出生活中的實例和幾何體中的實例，感受到線面垂直普遍存在，有研究的必要性.

問題6 你認(rèn)為應(yīng)該研究直線與平面垂直的哪些內(nèi)容？

設(shè)計意圖 培養(yǎng)學(xué)生模仿類比能力，根據(jù)直線與平面平行的研究內(nèi)容，確立直線與平面垂直的研究目標(biāo).

問題7 圓錐的軸與底面內(nèi)的任意一條線是什么關(guān)系？

問題71：圓錐的底面是如何形成的？

問題72：圓錐的軸與底面半徑是什么關(guān)系？為什么？

問題73：圓錐的軸與底面不過圓心O的直線m是什么位置關(guān)系？為什么？

問題8 你能給“直線與平面垂直”下個定義嗎？

活動81：分別用文字語言、圖形語言和符號語言表示定義.

活動82：“任意”等價于“所有”嗎？等價于“無數(shù)”嗎？

活動83：如圖3，圓錐的母線PC與底面垂直嗎？為什么？

圖3

例1 求證：如果兩條平行線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面.

設(shè)計意圖 通過幾何畫板動態(tài)展示圓錐的定義，讓學(xué)生觀察思考，探究發(fā)現(xiàn)，由于前面問題串的鋪墊，問題8就水到渠成地解決了.活動81培養(yǎng)了學(xué)生總結(jié)概括、語言轉(zhuǎn)換能力.活動82，83旨在通過詞語辨析、反例辨析，固化對定義的認(rèn)識.例1是概念的應(yīng)用，它的證明既可以使用定義，也可以使用判定定理，但教材中把例1的位置放在定義建構(gòu)以后，而非在判定定理形成之后.從而沒有必要在教學(xué)時將位置后置，人為的將問題的證明復(fù)雜化.

3.2 形成判定

探究活動 請同學(xué)們動手操作并思考系列問題：

（1）怎樣將一本書立在桌面上，使得書脊能與桌面垂直？這樣的書至少需要幾頁呢？

（2）將手中的練習(xí)紙折疊，折痕滿足什么條件，折痕與桌面垂直？

（3）觀察下列的實例，給你什么啟發(fā)？（PPT上展出兩幅圖.圖1為立在跑道上的跨欄架，圖2為一個長方體）

設(shè)計意圖 此環(huán)節(jié)，先問學(xué)生“根據(jù)定義如何判斷旗桿所在直線是否與地面所在平面垂直？”由實際操作的困難，認(rèn)識到研究判定定理的必要性.關(guān)于判定定理的產(chǎn)生途徑，設(shè)計時準(zhǔn)備了四種探究方式：

（1）觀察生活中的實例，提煉結(jié)果;

（2）設(shè)計操作過程，讓學(xué)生自己動手;

（3）自然分類：垂直于平面內(nèi)一條直線行嗎？兩條平行直線呢？兩條相交直線呢？

（4）數(shù)學(xué)本質(zhì)的探究，由無限到有限的思想.

這四種方式對學(xué)生能力的要求各不相同，（1）是“直觀性教學(xué)”，目標(biāo)指向明顯，思維難度較小，（4）對學(xué)生的邏輯思維能力、抽象概括能力有較高的要求.賽課時由于對學(xué)情的不了解，最后在課堂上選擇采用了操作與觀察相結(jié)合的方式，這樣的設(shè)計也滿足了不同層次的學(xué)生的能力需求，體現(xiàn)了分層教學(xué).

3.3 產(chǎn)生性質(zhì)

探究活動 （1）教師與某學(xué)生都站立在教室里，把站立的倆人抽象成兩條直線，都與地面所在的平面垂直，兩人所在直線的位置關(guān)系是什么？你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論嗎？

（2）用數(shù)學(xué)語言描述這個發(fā)現(xiàn)，并用圖形語言和符號語言表示出來.

（3）嘗試從理論上給予證明呢？

讓學(xué)生明確任務(wù)后，在練習(xí)紙上嘗試證明，隨后教師用展臺展出學(xué)生的證明方法.接著讓學(xué)生交流點評，教師總結(jié).

設(shè)計意圖 設(shè)計發(fā)現(xiàn)性質(zhì)定理的時候，有兩條思路：其一，將性質(zhì)定理與例1進(jìn)行對比，通過命題變換;另一種是通過感知，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)性質(zhì).由于本節(jié)課內(nèi)容較多，課堂上選了第二種方式.性質(zhì)定理的證明是本節(jié)課的難點，而非重點.采用學(xué)生先行嘗試，再展示交流，調(diào)動了學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性，提高合作交流的意識和能力.通過展示學(xué)生中的錯誤，讓學(xué)生學(xué)會反思，從錯誤中學(xué)習(xí)，充分暴露學(xué)生思維過程中的閃光點.（學(xué)生的錯誤主要在于平面內(nèi)構(gòu)造的直線與直線a，b不在同一平面內(nèi)，而又錯誤地用了平面中的結(jié)論.）在這里，直接證明的難點成為間接證明的思維起點，從而順利地將學(xué)生的思維從直接證明的思路順利引向間接證明的方向.

3.4 課堂小結(jié)

為了進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的概括和表達(dá)能力，系統(tǒng)掌握所學(xué)的知識，引導(dǎo)學(xué)生從三個層次進(jìn)行總結(jié)：學(xué)習(xí)了哪些知識？掌握了哪些方法？體會了哪些思想？

3.5 布置作業(yè)

通過作業(yè)對學(xué)生的學(xué)習(xí)情況進(jìn)行反饋，對教師的教學(xué)進(jìn)行有效矯正，布置如下作業(yè)：

（1）閱讀課本第33頁性質(zhì)定理的證明，思考與本節(jié)課堂上給出的證明有什么共性？

（2）畫出本節(jié)課的知識圖，羅列證明線面垂直有哪些方法？

（3）課本第34頁練習(xí)題1，3.

4 教后思考

4.1 對教材的認(rèn)識

對照不同版本的教材，“直線與平面垂直”這一節(jié)內(nèi)容出現(xiàn)的順序是有差異的.人教版和北師大版教材，均將其置于“空間平行關(guān)系”之后.而蘇教版教材，“直線與平面垂直”是緊隨“直線與平面平行”，并與“直線與平面斜交”三者隸屬于“直線與平面的位置關(guān)系”一節(jié).蘇教版教材編寫意圖在于：其一，研究空間位置關(guān)系的方法不外乎定性研究和定量研究兩種，“線面平行（垂直）”均為定性研究，而“線面斜交”則為定量研究.其二，研究一個新的數(shù)學(xué)問題，一般遵循從特殊到一般的規(guī)律，故而先研究“線面垂直”.其三，“線面平行”的研究思路為“線面垂直”指明了方向，提供了研究方法.從定義到判定定理再到性質(zhì)定理的研究順序?qū)W生了然于胸.其四，空間問題平面化，將未知轉(zhuǎn)化為已知的思想，前面的學(xué)習(xí)中已經(jīng)有了鋪墊.因此，課堂上要能將編者意圖巧妙地體現(xiàn)，并滲透數(shù)學(xué)思想.

4.2 一點感悟

本節(jié)課的成功之處在于通過設(shè)置有效的問題串讓學(xué)生體驗探究問題的過程，使得學(xué)生的主體地位得到確立，讓學(xué)生體驗成功的快樂.此外，不單純?yōu)橥瓿山虒W(xué)任務(wù)而忽視學(xué)生的課堂反饋，也是學(xué)生主體地位的體現(xiàn).在課堂時間較緊、評優(yōu)課又要求課堂流程完整的情況下，能充分暴露學(xué)生的思維過程.（如：學(xué)生使用反證法進(jìn)行性質(zhì)定理的證明時，自然地由假設(shè)不平行，想到兩直線相交或異面的情況.教師順著學(xué)生的思路加以引導(dǎo)，而不是生拉硬拽地把學(xué)生的思路拉到課本上.但證法的本質(zhì)是相通的，同樣可以達(dá)成教學(xué)目標(biāo).）本節(jié)課同時還注重師生間交流和學(xué)生思維發(fā)展，利用展臺對比學(xué)生的書寫，互相評價，規(guī)范書寫，效果較好.

不足之處在于：由于教學(xué)容量大，定義的產(chǎn)生，判定定理的形成又是重難點，再加上有些結(jié)論不能使用，導(dǎo)致出現(xiàn)了前松后緊的現(xiàn)象.另外在定義的建構(gòu)部分，如果能避免牽著學(xué)生走的嫌疑，充分放手讓學(xué)生探究，對學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展將更加有利.教學(xué)效益也將更好.

（本課獲江蘇省高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)質(zhì)課觀摩與評比活動一等獎，并獲得代表江蘇省參加2014年全國賽資格）