高等數(shù)學(xué)中極限思想的淺析

王麗麗

（大同大學(xué)大同師范分校數(shù)學(xué)系，山西 大同037039）

極限思想作為高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)概念，為高等數(shù)學(xué)理論研究和應(yīng)用創(chuàng)造了擴(kuò)展及深化條件?，F(xiàn)代學(xué)科中極限思想的滲透越來越突出，對學(xué)科的發(fā)展和深化帶來了更多的刺激性效應(yīng)。極限思想作為高等數(shù)學(xué)研究、應(yīng)用以及發(fā)展中重要工具，在許多方面，都體現(xiàn)其重要地位。因此，極限思想的掌握，直接影響著高等數(shù)學(xué)的應(yīng)用與發(fā)展。

一、極限思想的產(chǎn)生與發(fā)展

在中國古代，數(shù)學(xué)家劉徽在注《九章算術(shù)》時更正了圓周率是“圓三徑一”的錯誤，并在圓周率的計算過程中創(chuàng)立和使用了極限方法，這是在中國古代對極限方法的最早記錄?！毒耪滤阈g(shù)》中提出的“割圓術(shù)”正是“極限思想”最為生動的論述，同時也是極限思想的原始概念［1］。隨著極限思想的發(fā)展，《莊子》中的“天下篇”一章、古希臘“二分法”等都是早期極限思想的最杰出代表。在17世紀(jì)，兩類需要解決的科學(xué)問題呈現(xiàn)在人類面前，一是曲線中切線問題的求解；二是物質(zhì)運動的研究。然而，由于極限思想停止發(fā)展，直到牛頓時代，極限概念才被直觀地提出來，但在當(dāng)時對極限思想的定義非常不嚴(yán)謹(jǐn)。并且，微分的研究受到嚴(yán)重質(zhì)疑。針對極限思想的研究，萊布尼茲和牛頓的始發(fā)點都是基于無窮小量分析法而形成的，但此時的研究基礎(chǔ)含有大量缺陷與不足，最終產(chǎn)生了“第二數(shù)學(xué)危機(jī)”［2］。數(shù)學(xué)的發(fā)展不斷貫穿著認(rèn)識與邏輯的矛盾，注重實用的數(shù)學(xué)家們重視數(shù)學(xué)理論的研究，然而注重嚴(yán)密的數(shù)學(xué)家們則重在批評，并針對數(shù)學(xué)理論進(jìn)行不斷更正與完善。正是這樣，數(shù)學(xué)在協(xié)調(diào)統(tǒng)一中對數(shù)學(xué)矛盾進(jìn)行解決，推動著數(shù)學(xué)不斷向前發(fā)展。

事實上，18世紀(jì)數(shù)學(xué)家做出了多方面的努力，但由于他們歸結(jié)微積分基礎(chǔ)為代數(shù)幾何，試圖避開極限而宣告失敗。當(dāng)數(shù)學(xué)研究對象從常量擴(kuò)展為變量時，人們往往缺乏對變量和常量二者的深層次理解，不能認(rèn)清變量數(shù)學(xué)的規(guī)律，更無法明確有限和無限之間的關(guān)系。直到19世紀(jì)，基于微積分研究的需要，柯西對極限方法進(jìn)行了進(jìn)一步的改進(jìn)。他定義極限為：“代表某變量的數(shù)值無限接近一固定值，其差可以任意小，即該值為這一變量數(shù)值的極限”。雖然柯西對極限的定義十分形象和直觀，但他并沒有解決實質(zhì)問題，即如何定義無限接近某固定值的變量數(shù)值及其差可以任意小。歷史上，對極限最為嚴(yán)格的定義是魏爾斯托拉斯提出的，他所用的方法是ε－δ語言，其對極限的嚴(yán)格定義解決了許多社會關(guān)注的數(shù)學(xué)問題［3］。如f（x）→A（x→x0）這一形式中，用可對給出的任意小的正數(shù)δ進(jìn)行刻畫體現(xiàn)x與x0之間的無限接近；給定充分小的正數(shù)ε，用可對f（x）與某常數(shù)A的接近程度進(jìn)行描述。總之，高等數(shù)學(xué)中極限思想和方法的運用十分普遍，其中函數(shù)連續(xù)性問題、導(dǎo)數(shù)和積分的定義都需要借助極限方法才能得以解決。

二、極限思想發(fā)展中的辯證關(guān)系

（一）變與不變的辯證

極限思想發(fā)展中，充分體現(xiàn)著變與不變的辯證關(guān)系。例如：在平面內(nèi)一曲線y＝f（x）上某點p（x0，y0）的切線斜率為kp，該曲線上p點以外的點的斜率為k，因此k為變量，k1為不變量，曲線上不同點與不同斜率k對應(yīng)，斜率k與k1不相等，是一種對立的“變與不變”的關(guān)系。此時，當(dāng)曲線上不同于p的點無限的接近p點時，斜率k與k1就會無限接近，變量會向不變量接近。當(dāng)接近結(jié)果發(fā)生質(zhì)的轉(zhuǎn)變時，變量轉(zhuǎn)化為不變量，體現(xiàn)變量與不變量的統(tǒng)一。上面的例子體現(xiàn)了極限思想中變與不變的辯證關(guān)系。

（二）過程和結(jié)果的辯證

極限思想在發(fā)展中，同時體現(xiàn)出過程與結(jié)果辯證統(tǒng)一。在上面的舉例中，如果當(dāng)曲線上的某一點與p點無限接近時，k就是變化的過程，而kp是結(jié)果。在現(xiàn)實中，曲線上的點與p點是不可能重合的，斜率k與kp也就不會相等，這就體現(xiàn)了變量之間的對立性。而斜率k與kp二者無限的接近這一過程，又會促使斜率kp轉(zhuǎn)化這一結(jié)果的出現(xiàn)，體現(xiàn)了變量之間的統(tǒng)一性。這就充分體現(xiàn)極限思想中過程與結(jié)果的辯證關(guān)系。

（三）精確和近似的辯證

極限思想發(fā)展中也不斷體現(xiàn)著近似與精確的辯證關(guān)系。例如：在極限式＝a中，如果當(dāng)n不斷增大時，數(shù)列｛xn｝的項x1，x2，…，xn，…就能對變量xn的變化過程進(jìn)行反映，而xn無限變化的結(jié)果卻由a來反映，xn作為精確值a的近似值，當(dāng)n變的越大時精確度就越高。如果當(dāng)n無窮大時，就會轉(zhuǎn)化為a。這樣，通過極限法，就將近似與精確兩個對立的概念聯(lián)系在一起，并進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化，充分體現(xiàn)了二者的對立和統(tǒng)一。

（四）無限和有限的辯證

（五）肯定與否定的辯證

在極限思想中，也處處體現(xiàn)著肯定和否定的辯證關(guān)系。例如：單位圓與其內(nèi)接正多邊形是對立的兩個面，內(nèi)接正多邊形是事物自身的肯定，而其中包含的否定是基于圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)的變化而體現(xiàn)的。當(dāng)正多邊形的邊數(shù)無限制增加時，那么多邊形面積將會轉(zhuǎn)化為單位圓的面積。此時，事物向自身的對立面發(fā)生轉(zhuǎn)化，即為肯定與否定的統(tǒng)一關(guān)系。圓內(nèi)接正多邊形面積向圓的面積轉(zhuǎn)化時，單位圓通過內(nèi)接正多邊形邊數(shù)的不斷增加而得以實現(xiàn)，充分體現(xiàn)了兩者相互統(tǒng)一的關(guān)系。

（六）量變與質(zhì)變的辯證

在極限思想發(fā)展中，質(zhì)量互變的辯證關(guān)系也無處不見。例如：單位圓內(nèi)接正多邊形是事物的質(zhì)，多邊形的邊數(shù)為事物的量，當(dāng)邊數(shù)逐步增加時結(jié)果依然是正多邊形，產(chǎn)生的是事物的量變。在量變過程中，事物的連續(xù)性發(fā)展是事物保持穩(wěn)定性的重要特質(zhì)。當(dāng)正多邊形邊數(shù)無限增加時，多邊形就會逐漸接近圓，產(chǎn)生量變向質(zhì)變的飛躍，形成兩者的矛盾統(tǒng)一。

三、在高等數(shù)學(xué)中極限思想的體現(xiàn)

（一）數(shù)學(xué)概念

高等數(shù)學(xué)中的許多概念都是借助極限思想產(chǎn)生的，在高等數(shù)學(xué)的教材內(nèi)容中，首先介紹的是極限思想，其次是借助極限思想給出導(dǎo)數(shù)、連續(xù)函數(shù)等概念［4］。如：函數(shù)f（x）在x0連續(xù)，x→x0時的極限等于f（x0）；函數(shù)f（x）在x0的導(dǎo)數(shù)，是函數(shù)值變量Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0）與自變數(shù)x的改變量Δx之比當(dāng)Δx→0時的極限。

（二）問題處理

在解決數(shù)學(xué)問題方面，高等數(shù)學(xué)比初等數(shù)學(xué)強(qiáng)，高等數(shù)學(xué)運用極限思想是初等數(shù)學(xué)無可比擬的。在處理數(shù)學(xué)實際問題方面，極限思想彰顯著極為重要的作用。例如：在初等數(shù)學(xué)中，可以利用其解決梯形的面積，但無法解決曲邊梯形的面積。而高等數(shù)學(xué)借助“以直代曲”的方法，通過小矩形面積向曲邊梯形面積逼近，利用極限思想計算出曲邊梯形的面積。另外，曲線弧長、瞬時速度等數(shù)學(xué)問題都是借助極限思想的運用得以解決的，這也充分體現(xiàn)了極限思想對推動數(shù)學(xué)問題的研究具有重要作用。

四、極限思想的意義

極限思想基于舊質(zhì)的量的變化規(guī)律對新質(zhì)的量進(jìn)行計算，能夠在客觀事物的運動變化中，對量變與質(zhì)變轉(zhuǎn)換的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行反映［5］。第一，極限思想作為一種基礎(chǔ)和手段，有利于微積分學(xué)的建立和研究，極限思想貫穿于微積分學(xué)之中，一如既往的促進(jìn)了該學(xué)科的建立和發(fā)展；第二，在整個分析學(xué)的建立發(fā)展中，極限思想都起著極其重要的基礎(chǔ)作用，另外函數(shù)逼近論、微分幾何等其它數(shù)學(xué)分支及物理力學(xué)等自然科學(xué)中，極限思想的應(yīng)用都非常廣泛。實際生活中，極廣的概率論這一數(shù)學(xué)方法最早用于賭博游戲，但極限理論研究是促使概率論形成的重要形式。隨機(jī)變量與極限的研究有助于對隨機(jī)變量本質(zhì)的探求，沒有概率的極限定理，概率概念的實質(zhì)內(nèi)容就無法理解。所以，基于隨機(jī)變量序列的依概率收斂等概率論基礎(chǔ)理論，貝努利大數(shù)定律等極限理論在概率論中得以深層次運用。除此之外，由于受極限思想的影響，新的數(shù)學(xué)分支也由此產(chǎn)生。如突發(fā)不連續(xù)現(xiàn)象的突變研究，幾何描述相似結(jié)構(gòu)特征的分形研究。突變和分形研究都具有“逼近極限”的特點［6］。

［1］M.克萊因，北京大學(xué)數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)史翻譯組.古今數(shù)學(xué)思想（第2冊）［M］.上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1979.

［2］劉玉蓮.數(shù)學(xué)分析講義（第五版）［M］.北京：高等教育出版社，2008.

［3］劉玉蓮，楊奎元.數(shù)學(xué)分析講義學(xué)習(xí)輔導(dǎo)書（第二版）［M］.北京：高等教育出版社，2003.

［4］施紅英.對微積分“極限”思想方法教學(xué)的思考［J］.甘肅廣播電視大學(xué)學(xué)報，2005（9）：72－74.

［5］葉林.極限思想的發(fā)展與微積分的建立［J］.內(nèi)蒙古民族大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2008（4）：111－114.

［6］劉婧.高中數(shù)學(xué)新課程中的極限及其教學(xué)［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2006（9）：12－15.

［7］陳湛本.函數(shù)級數(shù)展開的數(shù)學(xué)方法論［J］.廣州大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2002，1（3）：8－12.