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      灰色預(yù)測模型背景值改進(jìn)方法比較分析

      2015-03-26 03:31:12王奉偉
      關(guān)鍵詞:實(shí)例區(qū)間重構(gòu)

      周 清,王奉偉

      (1.東華理工大學(xué)測繪工程學(xué)院,江西南昌 330013;2.江西省數(shù)字國土重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,江西南昌 330013)

      GM(1,1)模型是灰色系統(tǒng)理論的重要內(nèi)容,由于建模過程簡單,模型表達(dá)式簡潔,便于求解,能較好地對系統(tǒng)行為特征值進(jìn)行預(yù)測,在很多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。但是GM(1,1)模型在應(yīng)用的過程中也出現(xiàn)了預(yù)測精度不高的情形,因此對GM(1,1)模型的改進(jìn)是當(dāng)前研究的熱點(diǎn),背景值的構(gòu)造是影響GM(1,1)模型擬合和預(yù)測精度的關(guān)鍵因素之一。譚冠軍(2000),姚穎康等(2009)采用了區(qū)間面積和重構(gòu)背景值方法優(yōu)化傳統(tǒng)的GM(1,1)模型;周世健等(2002),李大軍等(2002)采用了背景值最佳生成系數(shù)法重構(gòu)背景值,建立了PGM(1,1)模型;王鐘羨等(2003),李星毅等(2011),王國興(2013),羅黨等(2003),毛文晉等(2011),胡炎丙等(2013)采用了積分重構(gòu)背景值方法對傳統(tǒng)的GM(1,1)模型進(jìn)行改進(jìn)。為進(jìn)一步探究三種方法的適用性和優(yōu)劣性,文中通過三個實(shí)例進(jìn)行比較分析。

      1 傳統(tǒng)的GM(1,1)模型

      傳統(tǒng)的GM(1,1)的建模原理及過程如下:

      設(shè)原始數(shù)據(jù)序列為

      進(jìn)行一次累加生成得到新的序列

      其中α、μ為待定參數(shù),通過最小二乘有

      式中

      解方程(3)得:

      GM(1,1)模型的時間響應(yīng)序列為

      還原到原始數(shù)據(jù)可得原始序列的灰色預(yù)測模型為

      2 背景值的改進(jìn)

      2.1 區(qū)間面積和重構(gòu)背景值

      譚冠軍(2000),姚穎康(2009)認(rèn)為傳統(tǒng)的GM(1,1)模型在求解待定參數(shù)α,μ時,通過梯形面積代替曲邊梯形面積,造成模型預(yù)測精度的降低。傳統(tǒng)模型的背景值為

      背景值的構(gòu)造用曲邊梯形面積更合適,但是原始序列是離散數(shù)據(jù)點(diǎn),同時x(1)(t)未知,因此考慮將區(qū)間[k,k+1]等分為n個小區(qū)間,用n個小區(qū)間的面積和構(gòu)造背景值。

      重構(gòu)的背景值為

      2.2 背景值最佳生成系數(shù)法重構(gòu)背景值

      傳統(tǒng)的GM(1,1)模型在定義背景值時認(rèn)為在Δt=1的很短時間內(nèi),x(t)→x(t+Δt)之間不會發(fā)生突變,因此取它們的平均值為背景值,但是在實(shí)際應(yīng)用過程中也不可避免的會出現(xiàn)突變的情況,故而提出了一種新的背景值構(gòu)造方法,構(gòu)建PGM(1,1)模型,如(11)式(周世健,2002;李大軍,2002)。式中p為背景值最佳生成系數(shù)。

      2.3 積分法構(gòu)建背景值

      王鐘羨等(2003),李星毅等(2011),王國興(2013),羅黨等(2003),毛文晉等(2011),胡炎丙等(2013)同樣認(rèn)為背景值的構(gòu)造用曲邊梯形面積更加合理,因此采用積分法重構(gòu)背景值如(12)式。

      3 實(shí)例分析

      實(shí)例1:以x=e0.8(i-1),i=1,2,…,7生成原始數(shù)據(jù),x(0)={1.000,2.226,4.953,11.023,24.533,54.598,121.510}。用傳統(tǒng)的GM(1,1)模型,區(qū)間面積和、背景值最佳生成系數(shù)、積分四種重構(gòu)背景值方法對模型進(jìn)行擬合和預(yù)測。為了便于比較分析,采用MAE和MAPE為評價指標(biāo)。其中,MAE= (∑e)/n,MAPE=(∑(e/y))/n,e為殘差值,n數(shù)據(jù)個數(shù)。具體結(jié)果見表1、表2。

      表1 各模型擬合情況對比(實(shí)例1)Table 1 Simulated Values for Four Models(Example 1)

      表2 各模型預(yù)測結(jié)果與實(shí)際值對比(實(shí)例1)Table 2 Comparison of the results with Predicted Values of the Four Models(Example 1)

      從實(shí)例1的擬合和預(yù)測精度可以看出,對于呈近似指數(shù)增長的序列,三種方法均優(yōu)于傳統(tǒng)的GM (1,1)模型,但是區(qū)間面積和重構(gòu)背景值方法改進(jìn)效果更為明顯。

      實(shí)例2:原始數(shù)列 ={2.718,7.389,20.086,54.598,148.41,403.43,1096.61}(王國興,2013)。由于數(shù)據(jù)增長急劇,這是一個高增長序列。采用前五組數(shù)據(jù)建模并預(yù)測后兩組數(shù)據(jù),結(jié)果見表3、表4。

      表3 各模型擬合情況對比(實(shí)例2)Table 3 Simulated Values for Four Models(Example 2)

      表4 各模型預(yù)測結(jié)果與實(shí)際值對比(實(shí)例2)Table 4 Comparison of the results with Predicted Values of the Four Models(Example 2)

      由表3和表4發(fā)現(xiàn),對于高增長的序列,三種方法的擬合和預(yù)測精度均高于傳統(tǒng)的GM(1,1)模型,區(qū)間面積和重構(gòu)背景值方法改進(jìn)效果尤為明顯。

      實(shí)例3:利用黃聲享等(2003)中某煉鋼廠鋼爐的沉降觀測點(diǎn)的10期沉降觀測數(shù)據(jù),={2.79,4.34,5.17,6.97,7.63,8.4,9.13,9.74,10.09,10.46}。由于數(shù)據(jù)變化平緩,為低增長數(shù)列。采用前七組數(shù)據(jù)建模并預(yù)測后三組數(shù)據(jù),結(jié)果見表5、表6。

      表5 各模型擬合情況對比(實(shí)例3)Table 5 Simulated Values for Four Models(Example 3)

      表6 各模型預(yù)測結(jié)果與實(shí)際值對比(實(shí)例3)Table 6 Comparison of the results with Predicted Values of the Four Models(Example 3)

      從實(shí)例3的擬合和預(yù)測精度可以看出,對于低增長的序列,三種方法與傳統(tǒng)的GM(1,1)模型在擬合精度上相當(dāng),但在預(yù)測精度上背景值最佳生成系數(shù)法構(gòu)建的PGM(1,1)模型更高,其他兩種方法和傳統(tǒng)的GM(1,1)模型相當(dāng)。

      4 結(jié)論

      通過實(shí)例分析發(fā)現(xiàn),對于呈近似指數(shù)增長的序列及高增長序列,應(yīng)用區(qū)間面積和重構(gòu)背景值方法改進(jìn)GM(1,1)模型,在擬合和預(yù)測精度上較傳統(tǒng)的GM(1,1)模型、積分重構(gòu)背景值改進(jìn)GM(1,1)模型、PGM(1,1)模型更好。對于低增長序列,三種方法和傳統(tǒng)的GM(1,1)模型擬合精度相當(dāng),但是在預(yù)測精度上PGM(1,1)模型更好。

      胡炎丙,陳勇明,趙月.2013.迭代優(yōu)化背景值的GM(1,1)模型改進(jìn)[J].統(tǒng)計(jì)與決策,393(21):34-36.

      黃聲享,劉經(jīng)南,柳響林.2003.小波分析在高層建筑動態(tài)監(jiān)測中的應(yīng)用[J].測繪學(xué)報(bào),32(2):153-157.

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      李星毅,李奎,施化吉,等.2011.背景值優(yōu)化的GM(1,1)預(yù)測模型及應(yīng)用[J].電子科技大學(xué)學(xué)報(bào),40(6):911-914.

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