數(shù)學(xué)史融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)的探索與實踐

李春麗， 穆 柯

(周口師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，河南 周口 466001)

數(shù)學(xué)史融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)的探索與實踐

李春麗， 穆 柯

(周口師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，河南 周口 466001)

數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的結(jié)合為高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革提供了一個新的視角.闡述數(shù)學(xué)史融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)的重要作用,分析數(shù)學(xué)史融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容材料的選擇,探索數(shù)學(xué)史融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)的方式,以具體教學(xué)案例展示數(shù)學(xué)史融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)的實踐做法.

數(shù)學(xué)史；高等數(shù)學(xué)；教學(xué)案例;極限；無窮級數(shù)

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中,筆者進行了如下的探索與嘗試，更新教學(xué)內(nèi)容,利用歷史背景知識來激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣,為學(xué)生創(chuàng)造學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的動機;介紹數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)思想的形成與發(fā)展歷程,幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)思想;重現(xiàn)數(shù)學(xué)思想和方法的產(chǎn)生過程與情景,引導(dǎo)學(xué)生進行探究,提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力.

1 數(shù)學(xué)史融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)的作用及內(nèi)容材料的選擇

早在19世紀，西方學(xué)者就意識到數(shù)學(xué)史對數(shù)學(xué)教育的作用.美國數(shù)學(xué)史家卡約黎(Cajor)提出，一門學(xué)科的歷史知識,有助于使該學(xué)科更具吸引力,通過數(shù)學(xué)史的介紹,可以讓學(xué)生體會到：數(shù)學(xué)并不枯燥呆板,而是一門不斷發(fā)展的生動有趣的學(xué)科.英國數(shù)學(xué)史家福弗爾(Fauvel)總結(jié)了數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的15種理由[1].在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中合理地應(yīng)用數(shù)學(xué)史,對學(xué)生來說,可以增加學(xué)習(xí)興趣、獲得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的動機,可以加深對數(shù)學(xué)知識的理解和掌握,可以增強敢于質(zhì)疑、敢于挑戰(zhàn)的勇氣和信心,可以領(lǐng)會數(shù)學(xué)的價值等;對教師來說,可以以史為鑒,有助于預(yù)見學(xué)生的學(xué)習(xí)困難,有助于合理安排課程內(nèi)容順序，有助于合理設(shè)計教學(xué)方式,為學(xué)生提供探究機會等.

數(shù)學(xué)史融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)能有效地促進數(shù)學(xué)教學(xué),但在數(shù)學(xué)史內(nèi)容的選擇上,應(yīng)遵循科學(xué)性、實用性、趣味性原則，數(shù)學(xué)史內(nèi)容必須是正確的,即不可隨意編造,隨意虛構(gòu),所選擇的數(shù)學(xué)史料對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和能力的提高要有直接幫助,所選的內(nèi)容題材要有趣味性,以達到寓教于樂的目的.高等數(shù)學(xué)中,融入的數(shù)學(xué)史料可以是數(shù)學(xué)概念的形成和發(fā)展的故事,可以是數(shù)學(xué)對其他領(lǐng)域發(fā)展的促進和影響,也可以是數(shù)學(xué)家的貢獻及生平簡介,但重點應(yīng)該是高等數(shù)學(xué)中數(shù)學(xué)思想、方法的形成、發(fā)展、完善的歷程,如數(shù)學(xué)思想方法的形成背景及過程;數(shù)學(xué)家是如何發(fā)現(xiàn)問題,探索嘗試并解決問題的;社會發(fā)展的需求是如何促進數(shù)學(xué)發(fā)展的等.在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用數(shù)學(xué)史的主要目的是加強學(xué)生對教學(xué)內(nèi)容的理解,對數(shù)學(xué)思想和方法本質(zhì)的認識,讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)的作用和地位,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力.

2 數(shù)學(xué)史融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)的教學(xué)案例

數(shù)學(xué)史料融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)的方式可以是多樣化的，如講述趣聞軼事可以增加課堂情趣;介紹數(shù)學(xué)悖論、數(shù)學(xué)家的錯誤可以培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、敢于質(zhì)疑的精神;介紹知識專題歷史可以勾畫知識發(fā)展概要;講述數(shù)學(xué)家們創(chuàng)新的細節(jié)可以促進學(xué)生對方法的理解;重現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用背景,可以提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識去解決問題的意識等.下面是數(shù)學(xué)史融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)的幾個教學(xué)案例.

2.1 無窮級數(shù)的教學(xué)設(shè)計

美國數(shù)學(xué)史家與數(shù)學(xué)教育家克萊因認為:數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)鍵是動機問題[2].歷史上數(shù)學(xué)家進行數(shù)學(xué)創(chuàng)造時的動機是解決具體問題,鑒于此,可以利用數(shù)學(xué)史知識為學(xué)生提供數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的動機和興趣.在進行無窮級數(shù)的教學(xué)時,可以用幾個經(jīng)典問題來引入無窮級數(shù)概念.

這樣一來,無窮級數(shù)和無窮級數(shù)收斂性概念將不再是無本之木,無源之水,學(xué)生也將被這些歷史難題深深吸引,這樣數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的動機和興趣就有了.

2.2 極限教學(xué)設(shè)計

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中,探索數(shù)學(xué)思想和方法的來源,揭示數(shù)學(xué)思想和方法的形成、發(fā)展過程,能幫助學(xué)生更好地理解和掌握這些思想和方法.

在教學(xué)過程中,為了更好地理解極限概念和掌握極限思想及其應(yīng)用,可以對極限思想的產(chǎn)生和發(fā)展過程,從歷史的角度進行詳細的介紹.首先是極限思想的萌芽階段,從希臘學(xué)者德謨克里特創(chuàng)立的“原子論”[2],到歐多克索斯創(chuàng)立的“窮竭法”,從《莊子·天下篇》中的“一尺之棰”[4]到3世紀劉徽的割圓術(shù),以及祖沖之計算圓周率的問題中,都蘊含著最原始的樸素的極限思想.其次是極限理論的發(fā)展階段,極限思想的進一步發(fā)展與微積分的建立緊密相連.17世紀牛頓和萊布尼茨利用實無窮小法創(chuàng)立了微積分,但由于對無限思想認識上的不足,在運算過程中出現(xiàn)了邏輯矛盾,牛頓意識到極限概念的重要性,并給出了極限的直觀性定義,但這并沒有解決這一矛盾,特別是貝克萊悖論的提出,使這一矛盾進一步激化,引起了數(shù)學(xué)史上的第二次數(shù)學(xué)危機,數(shù)學(xué)家們不得不考慮微積分理論基礎(chǔ)的建構(gòu)問題.再次是柯西給出定量化定義和維爾斯特拉斯給出符號表達的數(shù)學(xué)定義的階段[5].

這樣的專題歷史介紹能讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)思想產(chǎn)生的實際背景和過程,使學(xué)生對極限思想的本質(zhì)有了更深入的理解,同時能讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)家們敢于質(zhì)疑、勇于挑戰(zhàn)的精神[6].

2.3 常數(shù)變易法教學(xué)設(shè)計

在進行高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中,不僅應(yīng)傳授知識和方法,更應(yīng)分析其產(chǎn)生的過程,應(yīng)把教學(xué)過程當作學(xué)生參與的研究與探索過程,使學(xué)生不僅掌握前人的研究結(jié)果,又了解結(jié)果產(chǎn)生的過程,從而加深對知識和方法的理解,進而掌握科學(xué)的方法論.

常數(shù)變易法是求解非齊次線性微分方程的一種重要方法,它是數(shù)學(xué)家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange)歷經(jīng)11年才得出的研究成果,但高等數(shù)學(xué)教材僅介紹了他的結(jié)論并沒有展現(xiàn)探索過程.我們以常數(shù)變易法求解一階線性微分方程為例,在教材中[7]一階齊次線性微分方程

(1)

(2)

數(shù)學(xué)史不僅講述數(shù)學(xué)悖論、數(shù)學(xué)難題,又能再現(xiàn)數(shù)學(xué)家的研究經(jīng)歷,還揭示數(shù)學(xué)思想和方法的形成、發(fā)展過程.在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中,選擇合適的數(shù)學(xué)史料融入教學(xué)過程,能有效地提高教學(xué)質(zhì)量,但要真正發(fā)揮數(shù)學(xué)史在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用,關(guān)鍵在于數(shù)學(xué)史料的選擇以及融入形式要適合于教學(xué),不能脫離教學(xué)甚至是喧賓奪主.這就要求我們教師要掌握豐富的、系統(tǒng)的數(shù)學(xué)史知識,熟悉數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的關(guān)系,在此基礎(chǔ)上設(shè)計出更好、更多的數(shù)學(xué)史融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)的教學(xué)案例.

[1] 吳駿,汪曉勤.國外數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)研究述評[J].比較教育研究,2013,35(8):78-82.

[2] M·克萊因.古今數(shù)學(xué)思想:第一冊[M].張理京,張錦言,江澤涵,譯.上海:上?？茖W(xué)技術(shù)出版社,2003:211-213.

[3] 朱家生.數(shù)學(xué)史[M].2版.北京:高等教育出版社,2011：18-19.

[4] 張奠宙.關(guān)于數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化[J].高等數(shù)學(xué)研究,2008,11(1):18-22.

[5] 鄧納姆.微積分的歷程——從牛頓到勒貝格[M].李伯民,王軍,張懷勇,譯.北京:人民郵電出版社,2010:198-203.

[6] 汪曉勤.通識限選課程數(shù)學(xué)文化的教學(xué)實踐[J].高等理科教育,2012(4):112-115.

[7] 同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué) [M]. 6版.北京:高等教育出版社,2007:310-314.

Exploration and Practice on Using History of Mathematics in Higher Mathematics Teaching

LI Chunli, MU Ke

(SchoolofMathematicsandStatistics,ZhoukouNormalUniversity,Zhoukou466001,China)

The combination of history of mathematics and mathematics education provides a new perspective for the reform of higher mathematics teaching. First, the teaching role of using history of mathematics in higher mathematics teaching was explained, and then the methods of using history of mathematics in higher mathematics teaching were analyzed. Finally, a few teaching cases of using history of mathematics in higher mathematics teaching were demonstrated.

history of mathematics; higher mathematics; teaching case; limit; infinite series

2015-06-19

河南省教育廳教師教育課程改革研究項目(2013-JSJYYB-080)

李春麗(1983—),女,河南淮陽人,周口師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院講師.

10.3969/j.issn.1007-0834.2015.04.019

G642

A

1007-0834(2015)04-0068-03