李 靜
(周口師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,河南 周口 466001)
二維Radon變換在圖像重建中的重要性質(zhì)及定理
李 靜
(周口師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,河南 周口 466001)
Radon變換及其逆變換作為圖像重建的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),在圖像重建中有著特殊的意義.首先介紹了二維Radon變換定義的幾種形式,然后總結(jié)了二維Radon變換的基本性質(zhì):線性、帶線性、對稱性、周期性、位移性等,最后給出了中心切片定理和二維Radon逆變換公式并給予證明.
Radon變換;逆變換;傅里葉變換;圖像重構(gòu);卷積
Radon變換(或稱經(jīng)典Radon變換)是由奧地利數(shù)學(xué)家Radon于1917年提出來的.它作為積分幾何學(xué)的基石,為一大類圖像重構(gòu)(層析成像)問題提供了一個(gè)統(tǒng)一的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),已被廣泛應(yīng)用于醫(yī)學(xué)、分子生物、無損探測、地球物理、材料科學(xué)、天文等方面.迄今為止,人們已經(jīng)開發(fā)出基于Radon變換的多種比較成熟的重建算法.
一個(gè)n維函數(shù)f(x1,x2,…,xn)的Radon變換定義為n-1維超平面上的積分值.當(dāng)n=2時(shí),Radon變換可表示為[1]
其中直線L是oxy平面的任意一條直線,t是原點(diǎn)到直線L的距離,θ是直線L與x軸的夾角.Rf(t,θ)也可記作Rθf(t).
當(dāng)直線L的方程為xcosθ+ysinθ=t時(shí),Radon變換可表示為
如果借助Delta函數(shù),Radon變換還可表示為
1)線性.R[af(x,y)+bg(x,y)]=aRf(t,θ)+bRg(t,θ).
3)對稱性.Rf(t,θ)=Rf(-t,θ±π).
4)周期性.Rf(t,θ)=Rf(t,θ±2kπ),k為整數(shù).
5)位移性.若R[f(x,y)]=Rf(t,cosθ,sinθ),則
R[f(x-a,y-b)]=Rf(t-acosθ-bsinθ,θ).
Rf(-t,-θ)=Rf(t,θ).
已知X=(x,y),定義卷積如下
定理1 已知X=(x,y),φ=(cosθ,sinθ),則對于任意函數(shù)f,g∈φ(R2)(無限可微且速降),有
Rφ(f*g)=Rφf*Rφg.
令X-Y=Z,則
再令Y·φ=m,則
又因?yàn)?/p>
所以
圖像重構(gòu)問題實(shí)質(zhì)是由投影數(shù)據(jù)如何解出成像平面上各像素點(diǎn)的衰減系數(shù)的問題.由投影重建圖像的重要依據(jù)是傅里葉切片定理,或稱投影定理、中心切片定理.該定理指出[3]:某圖像函數(shù)f(x,y)在某一方向上的投影函數(shù)Rf(t,β)=Rfβ(t)的關(guān)于t的一維傅里葉變換,給出f(x,y)的二維傅里葉變換F(u,v)的一個(gè)切片,該切片與u軸相交成β角,且通過坐標(biāo)原點(diǎn).具體內(nèi)容如下:
(1)
證明 由題意知
由ω1=ωcosθ,ω2=ωsinθ,即得
為推導(dǎo)出Radon逆變換公式,我們首先對(1)式進(jìn)行傅里葉逆變換得
由中心切片定理得
進(jìn)一步化為
當(dāng)x,y用極坐標(biāo)表示時(shí),
Radon逆變換也可表示為[4]
(2)
其中B,Hx,Dx分別表示反投影算子、Hilbert算子和導(dǎo)數(shù)算子.
由(2)式可知,已知投影數(shù)據(jù)Rf(t,θ),求其逆變換,可經(jīng)過以下3個(gè)步驟:
1)Rf(t,θ)關(guān)于第一個(gè)變量t求偏導(dǎo)數(shù);
2)對其偏導(dǎo)數(shù)做關(guān)于t的Hilbert變換;
3)對經(jīng)過Hilbert變換后的函數(shù)做反投影變換和歸一化運(yùn)算.
總結(jié)了Radon變換的定義的幾種形式以及基本性質(zhì)、卷積定理、中心切片定理及Radon逆變換公式,這些都可以推廣到n維空間,為以后研究Radon變換和圖像重建工作提供一定的幫助.
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[4] 邸燕,常宏宇.Radon變換在斷層成像中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識,2004,34(12):87-90.
Important Properties and Theorems of Two-dimensional Radon Transform in Image Reconstruction
LI Jing
(SchoolofMathematicsandStatistics,ZhoukouNormalUniversity,Zhoukou466001,China)
The Radon transform and its inverse transform have special significance as the mathematical foundation of the image reconstruction. First, several forms of the definition of two-dimension Radon transform are introduced, and then the basic properties of two-dimensional Radon transform are summarized: linear, linear, symmetry, periodic, displacement and so on. Finally, the center section theorem and a two-dimensional Radon inverse transform formula are given and proved.
Radon transform; inverse transform; Fourier transform; image reconstruction; convolution
2015-09-25
周口師范學(xué)院青年科研基金項(xiàng)目(ZKNUB315209)
李 靜(1986—),女,河南周口人,周口師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院教師.
10.3969/j.issn.1007-0834.2015.04.006
TP391
A
1007-0834(2015)04-0021-03