關(guān)于等價(jià)無窮小的代換法求極限探討

楊美香

摘 要：利用等價(jià)無窮小的代換求極限是一種非常重要的方法，如果運(yùn)用得當(dāng)，能起到化繁為簡，化難為易的作用。但在很多高等數(shù)學(xué)的教材中只給出了等價(jià)無窮小在商極限運(yùn)算中的應(yīng)用。雖然教學(xué)中強(qiáng)調(diào)對于積和商可以用等價(jià)去窮小的代換計(jì)算極限，但對于和差運(yùn)算該方法失效。由于對于積運(yùn)算沒有相應(yīng)的性質(zhì)定理，因此對學(xué)生而言到底什么時(shí)候可以用什么時(shí)候不能用還是比較含糊的?；诖?，對等價(jià)無窮小的代換法在和差積商中應(yīng)用進(jìn)行探討，明確給出了等價(jià)無窮小代換求極限的方法的適用范圍，并給出了證明。

關(guān)鍵詞：等價(jià)無窮小 代換法 求極限 探討

中圖分類號：O211.4 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1672-3791（2014）10（c）-0175-02

利用等價(jià)無窮小的代換求極限是一種非常重要的方法，如果運(yùn)用得當(dāng)，能起到化繁為簡，化難為易的作用。但在很多高等數(shù)學(xué)的教材中只給出了等價(jià)無窮小在商極限運(yùn)算中的運(yùn)用。雖然教學(xué)中強(qiáng)調(diào)對于積和商可以用等價(jià)去窮小的代換計(jì)算極限，對于和差運(yùn)算該方法失效。由于對于積運(yùn)算沒有相應(yīng)的性質(zhì)定理，因此對學(xué)生而言到底什么時(shí)候可以用什么時(shí)候不能用還是比較含糊的?；诖?，對等價(jià)無窮小的代換法在和差積商中的運(yùn)算進(jìn)行探討，明確等價(jià)無窮小代換求極限的方法的適用范圍是很有必要的。

1 無窮小的和、差、積、商運(yùn)算中等價(jià)無窮小的代換法

（i）無窮小的商之等價(jià)無窮小代換法

定理1 設(shè)是自變量在同一變化過程中的無窮小量，，且存在，則極限存在且。

定理表明在求兩個無窮小之比的極限時(shí)，可以用對應(yīng)的等價(jià)無窮小對分子或分母進(jìn)行整體代換。如果用來代替的無窮小選得適當(dāng)?shù)脑?，可以使?jì)算簡化。

例1

（ii）無窮小為乘積因子的等價(jià)無窮小代換法

定理2 設(shè)是自變量在同一變化過程中的無窮小量，，則。

證明：因?yàn)椤?/p>

定理3 設(shè)是自變量在同一變化過程中的無窮小量，為自變量在這一變化過程中的另一函數(shù)，且存在，則極限存在且。

證明：因?yàn)?/p>

定理說明對于無窮小與函數(shù)的乘積的極限可以用相應(yīng)的無窮小的等價(jià)代換求極限。

例2

定理4 設(shè)是自變量在同一變化過程中的無窮小量，，為自變量在這一變化過程中的另一函數(shù)，且存在，則極限也存在且

證明：

以上定理表明對于無窮小為乘積因子的極限也可以用等價(jià)無窮小代換求極限。

例3

（iii）無窮小之和與差等價(jià)代換法

一般的高等數(shù)學(xué)教材中特別強(qiáng)調(diào)：對分子、分母中的和差運(yùn)算的各部分無窮小不能分別代換。

例如的計(jì)算方法是錯誤的，正確的解法見上述例3。

事實(shí)上，對于分子、分母中的和差運(yùn)算的各部分無窮小，滿足一定的條件下也可以用相應(yīng)的等價(jià)無窮小來替換的。

定理5 設(shè)，是自變量在同一變化過程中的無窮小量，，為自變量在這一變化過程中的另一函數(shù)，且（為有限數(shù)），則有（1） 若，則；（2） 若，則

證明：（1） 由于

從而

，所以

（2） 由于

從而

，所以

定理6 設(shè)，是自變量在同一變化過程中的無窮小量，，為自變量在這一變化過程中的另一函數(shù)，且，

則有（1） 若且，那么

（2） 若且，那么

例5

2 結(jié)語

通過以上分析探討，在用等價(jià)無窮小代換法求極限時(shí)，如果是無窮小的商的極限，可直接對分子或分母整體進(jìn)行等價(jià)代換；如果無窮小是分子或分母的乘積因式，也可以對分子、分母中的無窮小乘積因式用等價(jià)代換；如果是無窮小的和差運(yùn)算，在滿足定理?xiàng)l件的情況下，也可以用等價(jià)無窮小的代換計(jì)算極限，如果不滿足定理的條件，可以通過適當(dāng)?shù)幕啠沙朔e因式，然后再用等價(jià)無窮小的代換或其它方法求出極限。從而對等價(jià)無窮小的代換法求極限問題得到很好的解決，明確了使用該方法求極限的范圍。

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