耗散介觀RLC串并聯(lián)電路在熱真空態(tài)下的量子漲落

孔令杰

（菏澤學(xué)院物理與電子工程系，山東菏澤274015）

耗散介觀RLC串并聯(lián)電路在熱真空態(tài)下的量子漲落

孔令杰

（菏澤學(xué)院物理與電子工程系，山東菏澤274015）

利用阻尼諧振子正則量子化方法，實(shí)現(xiàn)了對(duì)耗散介觀RLC串并聯(lián)電路的量子化，并在此基礎(chǔ)上，研究了基于熱場(chǎng)動(dòng)力學(xué)（TFD）理論的熱真空態(tài)下的電荷和自感磁通鏈、電壓和電流的量子漲落.結(jié)果表明，在熱真空態(tài)下電荷和自感磁通鏈、電壓和電流都存在著各自的量子漲落，且量子漲落及量子漲落積不僅與電路中的器件參數(shù)有關(guān)，而且還與時(shí)間和溫度有關(guān).

耗散介觀RLC串并聯(lián)電路；量子化；熱真空態(tài)；量子漲落

在20世紀(jì)70年代，Louisell通過(guò)借鑒經(jīng)典諧振子量子化處理的研究方法實(shí)現(xiàn)了對(duì)無(wú)源介觀LC電路的量子化工作.在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)［1－4］分別對(duì)LC電路、串聯(lián)RLC電路、電容耦合電路、電感耦合電路中的電荷及電流在多種量子態(tài)下的量子漲落進(jìn)行了廣泛的研究.由此可以看出，作為微電子技術(shù)發(fā)展的原理性基礎(chǔ)，建立一套完整的量子理論來(lái)研究電路及器件本身的量子效應(yīng)已經(jīng)是一項(xiàng)十分迫切的任務(wù)［5－7］.

本文在文獻(xiàn)研究的基礎(chǔ)上，借鑒彭桓武先生對(duì)阻尼諧振子做正則量子力學(xué)處理的研究思想［8］，提出了實(shí)現(xiàn)耗散介觀RLC串并聯(lián)電路的正則量子化方法.運(yùn)用熱場(chǎng)動(dòng)力學(xué)（TFD）理論，討論了耗散介觀RLC串并聯(lián)電路中電荷和自感磁通鏈、電壓和電流在熱真空態(tài)下的量子漲落，以期為耗散介觀RLC串并聯(lián)電路的設(shè)計(jì)及通過(guò)調(diào)節(jié)電路中的器件參數(shù)來(lái)控制電路的量子噪聲提供一種有效可行的研究思路.

1 耗散介觀RLC串并聯(lián)電路的量子化

耗散介觀RLC串并聯(lián)電路如圖1所示.圖1中：L為電感；C為電容；R為線性電阻，is（t）為理想電流源；uL和iL分別為電感的電壓與電流；uC和iC分別為電容的電壓與電流；uR和iR分別為電阻的電壓與電流.

假定電容器兩端極板之間的電荷為q，根據(jù)集總電路的基爾霍夫定律可知，該耗散介觀RLC串并聯(lián)電路的經(jīng)典電路方程為：

對(duì)（2）式求導(dǎo)可得

（3）式意味著，在一個(gè)R≠0的耗散介觀電路中，q和p不滿足哈密頓正則方程，因而在經(jīng)典力學(xué)中不構(gòu)成正則共軛變量.故如果要在海森堡表象中實(shí)現(xiàn)q和p的量子化，也就是說(shuō)使q和p能夠分別代表廣義坐標(biāo)算符Q和廣義動(dòng)量算符P，就必須使q和p滿足如下對(duì)易關(guān)系（即量子化條件）

按照正則量子化方案，考慮由非正則共軛變量q和p到正則共軛變量Q和P的轉(zhuǎn)換過(guò)程，現(xiàn)引入如下正則變換：

則由（2）式可得

顯然，（6）式滿足哈密頓正則方程

所以Q和P構(gòu)成新的廣義坐標(biāo)算符和廣義動(dòng)量算符，且二者互為正則共軛變量，并滿足如下對(duì)易關(guān)系

結(jié)合（6）式和（7）式可以得到該耗散介觀RLC串并聯(lián)電路的哈密頓量為

利用有關(guān)量子力學(xué)的處理方法，為了把由（9）式所給出的哈密頓量進(jìn)行量子化，現(xiàn)根據(jù)（8）式構(gòu)造如下產(chǎn)生算符a和湮沒(méi)算符a＋，其表達(dá)式為

由（8）式和（10）式，極易驗(yàn)證a和a＋滿足如下關(guān)系

則該耗散介觀RLC串并聯(lián)電路的哈密頓量用a和a＋表示為

至此，便通過(guò)阻尼諧振子正則量子化的方法，實(shí)現(xiàn)了該耗散介觀RLC串并聯(lián)電路的量子化.

2 TFD理論下的熱真空態(tài)

TFD理論是研究有限溫度條件下量子效應(yīng)的一種有效方法，它將力學(xué)量的統(tǒng)計(jì)力學(xué)系統(tǒng)平均值用力學(xué)量在熱真空態(tài)（與溫度有關(guān)的真空態(tài)）中的期望值來(lái)表示［9］.因此，TFD理論在希爾伯特空間的基礎(chǔ)上，又引入了一個(gè)與之對(duì)偶的虛擬“希爾伯特空間”，稱為Tilde空間，由這2個(gè)空間共同構(gòu)成一個(gè)直積空間，且在這個(gè)直積空間中，自由度增加了一倍.這樣對(duì)于真實(shí)希爾伯特空間中的每個(gè)算符和態(tài)，在Tilde空間中也存在相應(yīng)的Tilde算符和Tilde態(tài)，故該直積空間中的態(tài)相當(dāng)于是由一個(gè)真實(shí)模和一個(gè)虛擬模（Tilde模）組成的雙模態(tài)［10－12］.

設(shè)與希爾伯特空間中的玻色算符a和a＋相對(duì)應(yīng)的Tilde空間中的算符為~a和~a＋，則算符~a和~a＋滿足如下對(duì)易關(guān)系：

式（14）中θ為一個(gè)與平均熱粒子數(shù)n0有關(guān)的量，且n0＝sinh2θ，而n0與溫度T的關(guān)系由Bose－Einstein分布確定

其中：ω為場(chǎng)的共振頻率；?為普朗克常量；kB為玻耳茲曼常量.

由（14）式可得熱化后產(chǎn)生算符a（θ）和湮沒(méi)算符a＋（θ）的表達(dá)式：

3 耗散介觀RLC串并聯(lián)電路在熱真空態(tài)下的量子漲落

未接通電流源時(shí)，即is（t）＝0.此時(shí)，假定該耗散介觀RLC串并聯(lián)電路處于上述所定義的熱真空態(tài)下，研究此狀態(tài)下該耗散介觀RLC串并聯(lián)電路中電荷和自感磁通鏈、電壓和電流的量子漲落.

3.1電路中電荷和自感磁通鏈在熱真空態(tài)下的量子漲落

由（12）式可得電路中的電荷

則由（17）式可得電路中的自感磁通鏈為

考慮（17）和（18）式可得該耗散介觀RLC串并聯(lián)電路中電荷和自感磁通鏈的平均值與方均值分別為：

（19）式表明：熱真空態(tài)下，該耗散介觀RLC串并聯(lián)電路中電荷和自感磁通鏈的平均值均為零，但它們的方均值不為零，即電路中電荷和自感磁通鏈都存在著量子漲落效應(yīng).

由（19）式可得電路中電荷和自感磁通鏈在熱真空態(tài)下的量子漲落及量子漲落積：

（20）式表明：電路中電荷和自感磁通鏈在熱真空態(tài)下具有各自的量子漲落效應(yīng)，且量子漲落及量子漲落積不僅與電路中電感、電容和電阻的器件參數(shù)有關(guān)，還與時(shí)間t和溫度T有關(guān).具體分析如下：

（1）由于阻尼電阻的存在，量子漲落及量子漲落積均隨時(shí)間t按指數(shù)規(guī)律衰減，衰減的快慢由時(shí)間常數(shù)α決定.

（2）由于函數(shù)cothβ是隨β的增大而單調(diào)減小的，故由（20）式可知，在有限溫度下，電路中電荷和自感磁通鏈的量子漲落及量子漲落積均隨溫度的升高而單調(diào)增加.存在特殊情況，當(dāng)T→0時(shí)，，此時(shí)電路由熱真空態(tài)退化到真空態(tài)，則電路中電荷和自感磁通鏈的量子漲落及量子漲落積均與溫度T無(wú)關(guān)，其表達(dá)式為：

3.2電路中電容電壓和電流在熱真空態(tài)下的量子漲落

則由（22）式可得電路中的電容電流為

考慮（22）式和（23）式可得該耗散介觀RLC串并聯(lián)電路中電容電壓和電流的平均值與方均值分別為：

（24）式表明：熱真空態(tài)下，該耗散介觀RLC串并聯(lián)電路中電容電壓和電流的平均值均為零，但它們的方均值不為零，即電路中電容電壓和電流都存在著量子漲落效應(yīng).

由（24）式可得電路中電容電壓和電流在熱真空態(tài)下的量子漲落及量子漲落積：

（25）式表明：電路中電容電壓和電流在熱真空態(tài)下具有各自的量子漲落效應(yīng)，且量子漲落及量子漲落積不僅與電路中電感、電容和電阻的器件參數(shù)有關(guān)，還與時(shí)間t和溫度T有關(guān).

3.3電路中電感電壓和電流在熱真空態(tài)下的量子漲落

由（26）式可得該耗散介觀RLC串并聯(lián)電路中電感電壓和電流的平均值與方均值分別為：4

（27）式表明：熱真空態(tài)下，該耗散介觀RLC串并聯(lián)電路中電感電壓和電流的平均值均為零，但它們的方均值不為零，即電路中電感電壓和電流都存在著量子漲落效應(yīng).

由（27）式可得電路中電感電壓和電流在熱真空態(tài)下的量子漲落及量子漲落積：

（28）式表明：電路中電感電壓和電流在熱真空態(tài)下具有各自的量子漲落效應(yīng)，且量子漲落及量子漲落積不僅與電路中電感、電容和電阻的器件參數(shù)有關(guān)，還與時(shí)間t和溫度T有關(guān).

3.4電路中電阻電壓和電流在熱真空態(tài)｜00～〉T下的量子漲落

考慮到is（t）＝0，則由圖1可知，電阻電壓uR＝RiR，且電阻電流iR＝－iC.同樣，由（23）式可得電路中的電阻電壓和電流分別為：

由（29）式可得該耗散介觀RLC串并聯(lián)電路中電阻電壓和電流的平均值與方均值分別為：

（30）式表明：熱真空態(tài)下，該耗散介觀RLC串并聯(lián)電路中電阻電壓和電流的平均值均為零，但它們的方均值不為零，即電路中電阻電壓和電流都存在著量子漲落效應(yīng).

由（30）式可得電路中電阻電壓和電流在熱真空態(tài)下的量子漲落及量子漲落積：

（31）式表明：電路中電阻電壓和電流在熱真空態(tài)下具有各自的量子漲落效應(yīng)，且量子漲落及量子漲落積不僅與電路中電感、電容和電阻的器件參數(shù)有關(guān)，還與時(shí)間t和溫度T有關(guān).

為了直觀定量地描述熱真空態(tài)下該耗散介觀RLC串并聯(lián)電路中電荷和自感磁通鏈、電壓和電流的量子漲落效應(yīng)，現(xiàn)借助Matlab軟件數(shù)值計(jì)算的方法來(lái)展示量子漲落效應(yīng)隨溫度T變化的規(guī)律，函數(shù)隨kBT變化的曲線如圖2所示.

由圖2可見(jiàn)，當(dāng)該耗散RLC串并聯(lián)電路的諧振頻率ω較高且溫度T較低的情況下，量子漲落效應(yīng)隨溫度T變化的趨勢(shì)可忽略不計(jì)；而當(dāng)諧振頻率ω較低且溫度T較高的情況下，量子漲落效應(yīng)隨溫度T變化的趨勢(shì)將變得十分明顯，這將嚴(yán)重影響到電路中信號(hào)的保真度與穩(wěn)定性.此時(shí)如果能選擇合適的諧振頻率與溫度的比值，即在諧振頻率ω一定的情況下，給電路適當(dāng)降低溫度T，則溫度T對(duì)電路量子漲落效應(yīng)的影響就可忽略.

4 結(jié)論

本文在借鑒阻尼諧振子正則量子化方法的基礎(chǔ)上，首先對(duì)耗散介觀RLC串并聯(lián)電路進(jìn)行了量子化處理.然后，研究了耗散介觀RLC串并聯(lián)電路處在熱真空態(tài)下電荷和自感磁通鏈、電壓和電流的量子漲落效應(yīng).通過(guò)上述分析研究，得到如下結(jié)論：（1）在耗散介觀RLC串并聯(lián)電路中，電荷和自感磁通鏈?zhǔn)菨M足對(duì)易關(guān)系的，能夠進(jìn)行量子化處理.這就體現(xiàn)出宏觀電路與介觀電路的區(qū)別.宏觀情形下，電路中電荷和自感磁通鏈、電壓和電流完全可以同時(shí)確定；而介觀情形下，電路中電荷和自感磁通鏈、電壓和電流是不可能同時(shí)確定的.（2）未接通電流源時(shí)，耗散介觀RLC串并聯(lián)電路在熱真空態(tài)下，電路中電荷和自感磁通鏈、電壓和電流都存在著各自的量子漲落，且量子漲落及量子漲落積不僅與電路中電感、電容和電阻的器件參數(shù)有關(guān)，還與時(shí)間t和溫度T有關(guān).由于阻尼電阻的存在，量子漲落及量子漲落積均隨時(shí)間t按指數(shù)規(guī)律衰減，衰減的快慢由時(shí)間常數(shù)α決定；而在有限溫度下，電路中電荷和自感磁通鏈、電壓和電流的量子漲落及量子漲落積均隨溫度的升高而單調(diào)增加.（3）由于在特殊情況下，當(dāng)T→0時(shí)電路由熱真空態(tài)退化到真空態(tài)，此時(shí)電路中電荷和自感磁通鏈、電壓和電流的量子漲落及量子漲落積均與溫度T無(wú)關(guān).

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Quantum fluctuations of dissipative mesoscopic RLC series and parallel circuit in thermal vacuum state

KONG Ling－jie

（Department of Physics and Electronic Engineering，Heze University，Heze 274015，China）

By using canonical quantization method of damped harmonic oscillator，the quantum of dissipative mesoscopic RLC series and parallel circuit was realized in this paper.And on this basis，the quantum fluctuations of charge and inductance flux linkage as the same as voltage and current in circuit under thermal vacuum state which based on thermal field dynamics theory were also studied through this research methods.The results show that charge and inductance flux linkage as the same as voltage and current in circuit under thermal vacuum state respectively exist quantum fluctuations.And the quantum fluctuations and quantum fluctuations plot not only depend on device parameters in the circuit，but also depend on time and temperature.

dissipative mesoscopic RLC series and parallel circuit；quantization；thermal vacuum state；quantum fluctuations

O 431.2 ［學(xué)科代碼］ 140·15 ［

］ A

（責(zé)任編輯：石紹慶）

1000－1832（2015）01－0095－06

10.16163／j.cnki.22－1123／n.2015.01.018

2014－08－26

山東省優(yōu)秀中青年科學(xué)家科研獎(jiǎng)勵(lì)基金資助項(xiàng)目（BS2012CL001）；菏澤學(xué)院博士基金資助項(xiàng)目（XY10BS02）.

孔令杰（1985—），男，助教，碩士，主要從事信號(hào)與信息處理及介觀物理量子效應(yīng)研究.