韋達定理課程改革的理據(jù)*

☉華中師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院 張依淼 童揚平 徐章韜

韋達定理課程改革的理據(jù)*

☉華中師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院 張依淼 童揚平 徐章韜

一、引言

韋達定理是一元二次方程中根與系數(shù)關系的精髓，有著豐富的歷史內(nèi)涵和美學價值，其完美的對稱性也是群論中輪換對稱的基礎.從韋達定理的應用來看，韋達定理在直線與圓錐曲線位置關系的討論中應用廣泛；從課程拓展來看，以韋達定理為基礎的多項式在數(shù)據(jù)結構和計算機算法，計量經(jīng)濟學、運籌學等方面都有間接涉及；從理論價值來看，韋達定理可推廣至一元n次方程中根與系數(shù)的關系，技巧精湛，理論嚴密.但是，在2000年出臺的《初中數(shù)學課程標準（實驗稿）》中刪去對韋達定理的要求；2011年出臺的新課程標準［1］增加了“了解一元二次方程根與系數(shù)關系”的要求，但只是作為選學的內(nèi)容，沒有給予韋達定理足夠的重視.本文將從韋達定理的歷史內(nèi)涵、美學特征及數(shù)學方法比較等角度來尋找韋達定理在初中數(shù)學教材中應該受到重視的依據(jù).

二、韋達定理的歷史［2］

任何一個數(shù)學定理的發(fā)現(xiàn)、論證及最終形式都是眾多數(shù)學家前仆后繼的結果.韋達定理的創(chuàng)立必然也經(jīng)歷了這樣一個過程.在數(shù)學發(fā)展的歷史長河中，方程的求解始終是一篇好文章，而方程中根與系數(shù)一開始并沒有引起人們的注意.15世紀意大利數(shù)學家在他書中，用配方法解出了二次方程，但是并未提及根與系數(shù)之間的關系.可以說，那時根與系數(shù)真是一個盲點.直到1545年，卡丹給出了三次方程的求根公式.從此，開始了根與系數(shù)關系的探索之旅.卡丹在其書中表示，三次方程中，正根之和與負根之和的差等于二次項系數(shù).后來數(shù)學家邦貝利也論證了這一觀點.

1615年韋達在《論方程的整理與修改》一書中給出了方程根與系數(shù)關系.他是第一個清楚地認識到根與系數(shù)關系的人.在根的范圍內(nèi)，對一元二次方程、三次方程分別給出了如下結論：（1）（a+b）x-x2=ab，則x=a或x=b.（2）x3+b=ax（a>0，b>0），則有在四次和五次方程中，韋達也給出了類似的結果.但是需要注意的是，偉大的結論僅在正根的范圍內(nèi)，因為排斥了負根，故其結論并不完整，但其為根與系數(shù)的研究跨出了重要的一大步，也為后人的研究鋪平道路.

吉拉爾則在韋達定理的基礎上給出了一般表達式，也就是我們通常所說的代數(shù)基本定理：xn+a2xn-2+a4xn-4+…=a1xn-1+a3xn-3+a5xn-5+…，隨即我們得到了其根與系數(shù)的一般表達式：x1+x2+…+xn=a1（一次和），x1x2+x2x3+…+xn-1xn=a2（二次和），x1x2x3+x2x3x4+…+xn-2xn-1xn=a3（三次和），…，x1x2x3…xn=an（n次和）.吉拉爾的代數(shù)基本定理是對韋達定理的補充，而他的另一個重要貢獻是提出了方程根的“冪和公式”.

此后相隔一個世紀，牛頓得到了與吉拉爾一樣的結論：xn-pxn-1+qxn-2-rxn-3+sxn-4-txn-5+uxn-6+…=0.

設p=a，pa+2q=b，pb+qa+3r=c，pc+qb+ra+4s=d，pd+ qc+rb+sa+5t=e，pe+qd+rc+sb+ta+6v=f.后人把上述結論稱之為“牛頓冪和公式”.此后方程根與系數(shù)的關系就是非常容易理解的了.

牛頓冪和公式引發(fā)了對對稱函數(shù)的普遍關注，對稱函數(shù)是代數(shù)組合學中一個重要的研究領域，研究要點集中于對稱群及對稱多項式的代數(shù)組合性質.在數(shù)學的其他領域都有廣闊的應用.范德蒙指出：“根的任何有理對稱函數(shù)都可以用方程的系數(shù)表示出來.”隨后構造出了范德蒙行列式.n階范德蒙行列式是對稱函數(shù)的演變，將行列互換結果仍然不變，具有完美的對稱性.

此后許多數(shù)學家在對稱函數(shù)中前仆后繼取得了重要研究成果.其中拉格朗日在表示對稱函數(shù)時采用了歐拉引入的求和符號∑，而拉格朗日函數(shù)的對稱性先后衍生出了對偶問題，對偶問題的對稱性在線性規(guī)劃，以及在最優(yōu)化處理中起到了前所未有的積極作用.

三、韋達定理的對稱美

韋達定理體現(xiàn)了對稱之美.在韋達定理所闡述的根與系數(shù)的關系中，兩根之間存在對應關系.由多項式的對稱變換，我們自然可以得到根與系數(shù)的對稱性，群論中的對稱性也正好反映了多項式中的對稱性.

將多項式x1+x2中的x1與x2進行調(diào)換，即可得到x2+x1.

x1+x2中的對稱變換有兩個，即：

實際上，一元二次方程ax2+bx+c=0的圖像是與x、y軸有交點的拋物線，初中直接給出對稱軸公式，到上高中后，一元二次方程在函數(shù)圖像中頻繁使用，再后來學習導數(shù)后，明白對稱軸對應值是一元二次方程導函數(shù)為零時所得值，無論圖像開口向上或向下，都可以根據(jù)圖形找出其完美的對稱性.所以韋達定理的對稱性同樣適用于一元三次方程、一元四次方程，這其中需要借助于導函數(shù)為零求出對稱軸，進而找到其對稱中心.

設f（x）=x3+a1x2+a2x+a3，則f′（x）=3x2+2a1x+a2，f″（x）= 6x+2a1.令f″（x）=0，可得其對稱軸為所以f（x）關于點中心對稱.同理在一元四次函數(shù)中f（x）的對稱軸為，其對稱中心亦為

當我們把韋達定理推廣到一元n次多項式函數(shù)中的根與系數(shù)關系，可設xi（i=1，2，3，…，n）是方程xn+a1xn-1+a2xn-2+…+an-1x+an=0的n個根，則有結論：

由一元二次函數(shù)的對稱性自然也能推得一元n次多項式函數(shù)方程的對稱性，其圖形對稱應以對稱軸為中心展開.

由此可見韋達定理中根與系數(shù)關系的對稱結構具有簡單和諧的內(nèi)涵，是數(shù)學和諧美的一個典范.韋達定理的對稱式x+y和xy具有簡單和諧的對稱內(nèi)涵，常見的x2+y2=（x+y）2-2xy就是把復雜的多項式，用韋達定理的對稱式加以表達，于是構成了一道別樣風景.韋達定理的對稱性還體現(xiàn)在對稱軸上，從一元二次方程的圖像中，我們通過找到對稱軸.再到一元n次多項式中，通過求導可以找到對稱軸，構成圖形對稱，這都要歸功于韋達定理中根與系數(shù)關系，它是溝通對稱性、對偶性、奇偶性的樞紐，其對稱軸也架起了原函數(shù)、導函數(shù)之間的橋梁.真有“天塹變通途”之暢意.

四、韋達定理中的思想方法

1.設而不求

例1已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3，最小值為1.若直線l：y=kx+m與橢圓C相交于A、B兩點（A、B不是左右頂點），且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點，求證：直線l過定點，并求出該頂點的坐標.［3］

設A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立方程得（3+ 4k2）x2+8mkx+4（m2-3）=0，所以Δ=64m2k2-16（3+4k2）（m2-3）>0，3+4k2-m2>0.

所以y1·y2=（kx1+m）·（kx2+m）=k2x1x2+mk（x1+x2）+m2=

又因為以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點D（2，0），

所以kAD·kBD=-1，所以，即y1y2+x1x2-2（x1+x2）+4=0.

使用韋達定理解題時，不求根但用根，減少了計算量并且結構更加清晰.其實，通過觀察求解的過程可以知道，在聯(lián)立方程組消除y之后，交點坐標就成了一個一元二次方程的解.而后面的關系式中除常數(shù)項外就只有y1y2，x1x2，x1+x2，這些項都可以利用韋達定理表示出來，所以不需要求根，由橢圓方程中的求解思想可以推出一般的圓錐曲線的方程，也可以利用韋達定理中“設而不求”的思想.

2.溝通已知與未知的聯(lián)系

韋達定理形式簡單卻蘊含著豐富的數(shù)學知識內(nèi)容.在中考數(shù)學題目中，我們見到不少有運用韋達定理根與系數(shù)關系，求方程中參數(shù)的值，求代數(shù)式的值，結合判別式討論根的符號特征，以及由韋達定理的逆定理，構造一元二次方程輔助解題等.這些內(nèi)容會直接或間接展示根與系數(shù)之間的關系，雖然課程中未作必修，但題目中涉及的，教師也會要求學生自覺掌握.在每一年高考試卷中，以直線與橢圓、雙曲線及拋物線等的位置關系為背景，涉及弦長計算、中點坐標知識、參數(shù)取值、定值計算、定點確定、面積計算、最值探求、存在性判斷等眾多問題中，利用韋達定理“設而不求”，整體換元，大大地簡化計算.所以，提高韋達定理在初中教材中的地位，要求學生掌握韋達定理，提高學生靈活解決問題的能力，為高中階段解決圓錐曲線的問題打下良好的基礎.

五、小結與思考

通過以上分析可知，韋達定理的歷史內(nèi)涵對后續(xù)數(shù)學知識的學習具有重要意義.韋達定理在對稱群、對稱函數(shù)、導函數(shù)、行列式、一元n次多項式等知識點方面起到了積極作用.不管是對于二次還是更高次方程，韋達定理的表達式都表現(xiàn)出完美的對稱性，這正是群論的基礎，因此學生對于韋達定理的熟練掌握必然能夠幫助學生學習更高觀點的數(shù)學知識.韋達定理的學習有利于學生后續(xù)數(shù)學知識的發(fā)展，這符合新課程改革提出可持續(xù)發(fā)展的要求.

課程內(nèi)容的改革對于每一個內(nèi)容的增減，不僅要考慮知識的難易程度，重要的是要考慮知識點在整個學科中的地位，及其對于學生發(fā)展的影響.基于以上的分析，我們有足夠的理由認為，現(xiàn)階段教材對于韋達定理的重視程度不夠.不僅不能夠刪除韋達定理的內(nèi)容，也不應該將之作為選讀的內(nèi)容，應該作為必修內(nèi)容，讓學生理解掌握并能夠靈活應用.課程內(nèi)容改革關系到學生未來知識的發(fā)展走向，我們需審時度勢.

1.中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

2.張小明，汪曉勤.根與系數(shù)關系簡史［J］.中學教研（數(shù)學），2004（8）.

3.熊惠民.數(shù)學思想方法通論［M］.北京：科學出版社，2010.H

*項目：華中師范大學研究生教學改革項目“數(shù)學教育方向研究生學術能力提升的研究”的部分成果.