基于物理隨機地震動模型的汶川地震參數(shù)統(tǒng)計與檢驗

李宗財 劉 威

(1．同濟大學建筑工程系，上海200092;2．同濟大學土木工程防災(zāi)國家重點試驗室，上海200092)

1 引言

實測地震時程具有較強的隨機性。為了描述地震動的隨機性并研究其對結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響，一般將地震動過程抽象為隨機過程［1］，并通常采用功率譜模型描述地震動的隨機特性。但功率譜模型僅反映了地震動隨機過程的二階統(tǒng)計特征，無法描述隨機地震動的高階數(shù)值統(tǒng)計特征，也無法描述地震動的非平穩(wěn)特性。

為了克服經(jīng)典隨機地震動模型的局限性，艾曉秋和李杰［2］在2009年建立了考慮工程場地物理機制的隨機地震動Fourier幅值譜模型。安自輝和李杰［3－4］通過對 Fourier幅值譜和累計相位譜進行建模，給出了比較完整的地震動物理隨機函數(shù)模型，并對模型中的隨機參數(shù)進行了統(tǒng)計。2011年，王鼎和李杰［5－6］基于地震動產(chǎn)生的“震源－傳播途徑－局部場地”的物理機制，提出了具有物理背景的工程地震動物理隨機函數(shù)模型，發(fā)展了用于合成地震動時程樣本的波群疊加方法，并根據(jù)場地類型對大量實測地震動時程進行了參數(shù)識別。基于上述背景，本文采用文獻［5］中模型，對汶川地震進行了參數(shù)統(tǒng)計，給出了針對于汶川地震的隨機參數(shù)的統(tǒng)計特征值。進而，采用等分布序列選點方法［7］獲得了地震動時程樣本集合并計算了樣本集合的反應(yīng)譜。通過比較樣本集合的反應(yīng)譜和實測地震動記錄反應(yīng)譜的統(tǒng)計特征量，對隨機地震動物理函數(shù)模型進行了驗證。

2 地震動物理隨機函數(shù)模型

基于地震動產(chǎn)生的“震源－傳播途徑－局部場地”物理機制，文獻［5］提出了工程地震動物理隨機函數(shù)模型，其表達式為

式中，aR(t)為地震動加速度時程;t為時間;ω為圓頻率為震中距為R處的地震動Fourier幅值譜和Fourier相位譜模型，其形式由震源、傳播途徑和局部場地的具體物理模型決定。

震源模型采用Brune位錯震源模型，考慮傳播途徑的阻尼衰減效應(yīng)和頻散效應(yīng)，并將局部場地等效為單自由度體系;可以得到［5］:

3 汶川地震隨機參數(shù)識別和統(tǒng)計

選取2008年汶川地震(Ms=8．0)中震中距(R)小于468 km范圍東西方向(EW)和南北方向(NS)各137條地震記錄進行參數(shù)識別和統(tǒng)計。通過調(diào)查，在此區(qū)域內(nèi)的場地基本為Ⅱ類場地。地震動時程記錄時間間隔為0．02 s，F(xiàn)ourier幅值譜頻率范圍為0～25 Hz，對于每一條地震記錄，采用Fourier變換得到Fourier幅值譜，采用均方逼近準則進行參數(shù)識別，即對每一條地震記錄可以得到一組參數(shù)樣本值，使J2達到極小值。

表1 Fourier幅值譜參數(shù)擬合結(jié)果Table 1 Fitting results of Fourier amplitude spectrum

根據(jù)王鼎［6］的參數(shù)分布類型，假設(shè)幅值系數(shù)A0和震源系數(shù)τ滿足對數(shù)正態(tài)分布

式中，μ和σ為變量對數(shù)的均值和標準差。

同樣，根據(jù)王鼎［6］的參數(shù)分布類型，假設(shè)場地等效阻尼比ξg和卓越圓頻率ωg滿足伽馬分布:

式中，k為形狀參數(shù);1/θ為尺度參數(shù)。

采用最大似然估計方法，可以得到各個隨機參數(shù)的概率分布函數(shù)的參數(shù)估計結(jié)果，采用k－s檢驗對分布類型進行檢驗，α為k－s檢驗的顯著性水平，表2給出了各個隨機參數(shù)的概率分布函數(shù)的參數(shù)值以及假設(shè)分布函數(shù)通過k－s檢驗時的α值。結(jié)果表明，本文的假設(shè)分布類型具有較高可信度。圖3和圖4分別給出EW方向和NS隨機參數(shù)的統(tǒng)計分布圖。

圖1 原始加速度時程記錄Fig．1 Original ground motion record

圖2 Fourier幅值譜擬合結(jié)果Fig．2 Fitting results of Fourier amplitude spectrum

表2 隨機參數(shù)概率分布函數(shù)及參數(shù)值Table 2 Probability distribution function of random parameters

圖3 EW方向幅值譜參數(shù)概率分布Fig．3 Probability distribution of amplitude spectrum parameters in EW direction

圖4 NS方向幅值譜參數(shù)概率分布Fig．4 Probability distribution of amplitude spectrum parameters in NS direction

4 物理隨機函數(shù)模型驗證

地震動物理隨機函數(shù)模型的正確性可以從地震動反應(yīng)譜的層面上進行驗證，假設(shè)工程地震動物理隨機函數(shù)模型中的各個基本隨機變量相互獨立，則地震動物理隨機函數(shù)模型的聯(lián)合概率密度函數(shù)可以表示為

式中，f(A0，τ，ξg，ωg)為模型隨機變量的聯(lián)合概率密度函數(shù);f(A0)，f(τ)，f(ξg)，f(ωg)分別為各隨機變量的概率密度函數(shù)。

采用等分布序列選點的方法，對基本隨機變量的概率空間進行剖分，對EW方向和NS方向隨機地震動樣本集合，分別選出了119個和116個點代表點，結(jié)合波群疊加方法可生成地震動時程樣本集合。圖5給出了生成的地震動時程樣本。

在小阻尼情況下，不難得到地震動加速度時程的反應(yīng)譜。對于工程地震動物理隨機函數(shù)模型，可以首先計算各個樣本時程的反應(yīng)譜，結(jié)合樣本賦得概率可以得到樣本集合反應(yīng)譜的均值和標準差。圖6給出了EW方向?qū)崪y地震記錄和生成地震樣本集合反應(yīng)譜的均值和標準差。同時，相應(yīng)實測地震動記錄的反應(yīng)譜均值和標準差也表示在圖6中。從圖中可以看出，地震動時程樣本集合的反應(yīng)譜和實測地震記錄在均值和標準差上相一致，表明采用物理隨機地震動模型可以很好描述地震動特性，得到的統(tǒng)計結(jié)果具有比較好的精度。

圖5 生成的地震動時程樣本Fig．5 Generated ground motion sample

5 算例

圖6 地震動樣本和實測地震動記錄反應(yīng)譜均值及標準差比較Fig．6 Comparision of mean and standard deviation of response spectra

由四根長度為250 m的埋地鋼管連接成的十字形管網(wǎng)，如圖7所示，管材為鋼管，彈性模量為2．05 ×105MPa，管徑為300 mm，管壁厚15 mm。管線地震反應(yīng)分析模型采用文獻［9］中的模型，單元長度取1．0 m，單位長度管線周圍土體彈簧系數(shù)為kA=kL=5．65×107N/m2，地震動輸入采用行波輸入，波速取300 m/s，地震動入射方向與x軸夾角為45°。比較實測地震動作用下管線峰值應(yīng)力與隨機地震動管線峰值應(yīng)力均值。實測地震動采用汶川地震(2008)中的chnua370089地震記錄，震中距148 km，地震動位移時程如圖8所示。隨機地震動采用等分布序列選點選出128個代表點并通過窄帶波群疊加方法生成128條地震動樣本。由于模型的對稱性，此處給出了AC段管線峰值應(yīng)力的比較結(jié)果，如圖9所示，從圖中可以看出采用本文生成的隨機地震動計算得到的峰值應(yīng)力均值和實測地震動計算給出的峰值應(yīng)力基本吻合。

6 結(jié)論

(1)根據(jù)隨機地震動物理隨機函數(shù)模型，采用汶川地震實測數(shù)據(jù)，對模型參數(shù)進行了擬合。

(2)根據(jù)參數(shù)擬合結(jié)果，統(tǒng)計分析獲得了地震動模型基本隨機參數(shù)的概率密度函數(shù)。

(3)利用等分布序列選點方法獲得了模型基本隨機參量空間的代表點，生成了具有特定賦得概率的地震動時程樣本并計算了其反應(yīng)譜。對比分析表明，地震動時程樣本集合的反應(yīng)譜和實測地震記錄的反應(yīng)譜在均值和標準差上相一致，說明采用物理隨機地震動模型可以很好描述地震動特性。

(4)算例分析表明，采用隨機地震動計算得到的管線峰值應(yīng)力均值和實測地震動計算給出的峰值應(yīng)力基本吻合。

圖7 十字形管網(wǎng)Fig．7 Cross pipeline network

圖8 真實地震動位移時程Fig．8 Real displacement record of ground motion

圖9 管線峰值應(yīng)力比較Fig．9 Comparision of the peak stress

［1］ Zerva A，Zervas V．Spatial variation of seismic ground motions:An overview［J］．Applied Mechanics Reviews，2002，55(3):271-297．

［2］ 艾曉秋，李杰．基于隨機Fourier譜的地震動合成研究［J］．地震工程與工程振動，2009，29(2):7-12．Ai Xiaoqiu，Li Jie．Synthesis method of non-stationary ground motion based on random Fourier spectra［J］．Journal of Earthquake Engineering and Engineering Vibration，2009，29(2):7-12．(in Chinese)

［3］ 安自輝，李杰．地震動隨機函數(shù)模型研究 (Ⅰ):模型建立［J］．地震工程與工程振動．2009，29(5):36-45．An Zihui，Li Jie．Research on random function model of strong ground motion(I):model constructing［J］．Journal of Earthquake Engineering and Engineering Vibration，29(5):36-45．(in Chinese)

［4］ 安自輝，李杰．地震動隨機函數(shù)模型研究(Ⅱ):參數(shù)統(tǒng)計與模型驗證［J］．地震工程與工程振動．2009，29(6):40-47．An Zihui，Li Jie．Research on random function model of strong ground motion(Ⅱ):parametric statistic and model certification［J］．Journal of Earthquake Engineering and Engineering Vibration，2009，29(6):40-47．(in Chinese)

［5］ 王鼎，李杰．工程地震動的物理隨機函數(shù)模型［J］．中國科學:技術(shù)科學．2011，41(3):356-364．Wang Ding，Li Jie．Physical random function model of ground motions for engineeringpurposes［J］．Science China Technology Scienie．，2011，41(3):356 － 364．(in Chinese)

［6］ 李杰，王鼎．工程隨機地震動物理模型的參數(shù)統(tǒng)計與檢驗［J］．地震工程與工程振動，2013，33(4):81-88．Li Jie，Wang Ding．Parametric statistic and certification of physical stochastic model of seismic ground motion for engineering purposes［J］．Journal of Earthquake Engineering and Engineering Vibration，2013，33(4):81-88．(in Chinese)

［7］ Sobol I M．Uniformly distributed sequences with an additional uniform property［J］．USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics．1976，16(5):236-242．

［8］ Wong H L，Trifunac M D．Generation of artificial strong motion accelerograms［J］．Earthquake Engineering and Structural Dynamics，1979，7(6):509-527．

［9］ 孫千偉，劉威，李杰．地下管網(wǎng)地震反應(yīng)分析模型［J］．防災(zāi)減災(zāi)工程學報，2011，31(6):654-658．Sun Qianwei，Liu Wei，Li Jie．Analysis model of buried pipeline network under earthquake ground motions［J］．Journal of Disaster Prevention and Mitigation Engineering，2011，31(6):654-658．(in Chinese)