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    關于三次方程x3-53=Ty2的整數解

    2015-03-21 00:30:56趙晶晶
    赤峰學院學報·自然科學版 2015年15期
    關鍵詞:綜上素數整數

    趙晶晶

    (滇西科技師范學院后勤管理處,云南臨滄677000)

    關于三次方程x3-53=Ty2的整數解

    趙晶晶

    (滇西科技師范學院后勤管理處,云南臨滄677000)

    設為互異的奇素數,p1≡p2≡1(mod6)為奇素數,運用初等方法得出了三次方程x3-53=Ty2無正整數解的一個充分條件.

    三次方程;整數解;奇素數;Legendre符號;同余

    三次方程

    是一類基本而重要的方程,但目前結果還不多見,其結論主要為:

    (Ⅰ)當T不含素因子2時,文[1][2]給出了T不含3或6k+1型素因子時方程(1)的全部非平凡正整數解;文[3]-文[7]分別給出了T含6k+1型素因子時方程(1)無正整數解的充分性條件.

    (Ⅱ)當T不含素因子2時,文[9]給出了T含6k+1型素因子時方程(1)無正整數解的充分性條件.

    當T含素因子2同時還含6k-1型素因子的情況目前還沒有相關結果,本文主要研究T含素因子2、2個6k+1型素因子,同時含至少一個6k+1形素因子的情況,即證明了如下定理:

    n)為互異的奇素數,p1≡p2≡1(mod6)為奇素數,則三次方程

    僅有平凡解(x,y)=(5,0).

    (ⅰ)Q≡7,23(mod24),p1≡1(mod24),p2≡13(mod24),

    (ⅱ)Q≡1,5(mod12),p1≡13(mod24),p2≡19(mod24),

    1 相關定理

    在下列條件下只有平凡解(x,y)=(1,0):

    (ⅰ)D≡11,19(mod24),p1≡1(mod24),p2≡13(mod24);

    (ⅱ)D≡5,13(mod24),p1≡13(mod24),p2≡19(mod24);

    (ⅲ)D≡1,17(mod24),p1≡13(mod24),p2≡19(mod24).

    2 定理證明

    證明設(x,y)是方程(2)的一組整數解.因x3-53=(x+5) (x2+5x-25),而gcd(x-5,x2+5x+25)=gcd(x-5,(x-5)2+15(x-5)+75) =gcd(x-5,75)=gcd(x-5,3×52),即

    當x≡0(mod5)時,此時5|(x-5),故5|gcd(x-5,3×52),令x=5x1,則不定方程(2)可化為

    由(3)知25|y,于是令y=25y1,則方程(3)可化為53(x13-1) =252Ty12,則有x13+1=5Ty12=2×5p1p2Qy12=2p1p2(5Q)y12,即

    當Q≡7,23(mod24)時,有5Q≡11,19(mod24).而此時p1≡1(mod24),p2≡13(mod24),取D=5Q,則滿足引理1的條件(ⅰ),故由引理1得方程(4)在條件(Ⅰ)下僅有平凡解(x1,y1)= (1,0),所以方程(2)在條件(Ⅰ)下僅有平凡解(x,y)=(5,0).

    因為Q≡1,5(mod12),則Q≡1,5,13,17(mod24).

    當Q≡1,17(mod24)時,5Q≡5,13(mod24).而p1≡13 (mod24),p2≡19(mod24),取D=5Q,則滿足引理1的條件(ⅱ),故由引理1得方程(4)在條件(Ⅱ)下僅有平凡解(x1,y1)=(1,0),所以方程(2)在條件(Ⅱ)下僅有平凡解(x,y)=(5,0).

    當Q≡5,13(mod24)時,5Q≡1,17(mod24).而此時p1≡13 (mod24),p2≡19(mod24),取D=5Q,則滿足引理1的條件(ⅲ),故由引理1得方程(4)在條件(Ⅰ)下僅有平凡解(x1,y1)=(1,0),所以方程(2)在條件(Ⅰ)下僅有平凡解(x,y)=(5,0).

    綜上有,當x≡0(mod5)時方程(2)在題設條件下僅有平凡解(x,y)=(5,0).

    當?0(mod5)時,此時5(x-5),則(3)為gcd(x-5,3×52)=1或3,又ri≡5(mod6)(1≤i≤n)為互異的奇素數,則x2+5x+25?0(modri)(1≤i≤n),而x2+5x+25?0(mod2),則方程(2)可分解為以下8種可能的情形:

    Ⅰx-5=Ta2,x2+5x+25=b2,y=ab,gcd(a,b)=1

    Ⅱx-5=2Qa2,x2+5x+25=p1p2b2,y=ab,gcd(a,b)=1

    Ⅲx-5=2Qp1a2,x2+5x+25=p2b2,y=ab,gcd(a,b)=1

    Ⅳx-5=2Qp2a2,x2+5x+25=p1b2,y=ab,gcd(a,b)=1

    Ⅴx-5=3Ta2,x2+5x+25=3b2,y=3ab,gcd(a,b)=1

    Ⅵx-5=6Qa2,x2+5x+25=3p1p2b2,y=3ab,gcd(a,b)=1

    Ⅶx-5=6Qp1a2,x2+5x+25=3p2b2,y=ab,gcd(a,b)=1

    Ⅷx-5=6Qp2a2,x2+5x+25=3p1b2,y=ab,gcd(a,b)=1

    下面分別討論這8種情形下方程(2)的解的情況.

    Ⅰ由x2+5x+25=b2解得x=-21,-8,-5,0,3,16代入x-5Ra2,得TU2=x-5=-26,-13-10,-5,-2,11顯然無解,故該情形方程(2)無整數解.

    Ⅱ由a2≡0,1,4(mod8)得2a2≡0,2(mod8).根據奇偶性質得x2+5x+25必為奇數,則b2必為奇數,即b2≡1(mod8).

    當Q≡7,23(mod24)時,x=2Qa2+5≡3,5(mod8),則x2+5x+ 25≡1,3(mod8),又p1≡1(mod24),p2≡13(mod24),故p1p2b2≡5 (mod8),則有1,3≡x2+5x+25=p1p2b2≡5(mod8),矛盾,故在條件(ⅰ)下方程(2)無整數解;

    當Q≡1,5(mod12)時,x=2Qa2+5≡5,7(mod8),則x2+5x+25≡3,5(mod8),又p1≡13(mod24),p2≡19(mod24),故p1p2b2≡7 (mod8),則有3,5≡x2+5x+25=p1p2b2≡7(mod8),矛盾,故在條件(ⅱ)下方程(2)無整數解.

    綜上有該情形方程(2)無整數解.

    Ⅲ仿情形Ⅱ的證明可得在條件(ⅰ)下方程(2)無整數解.

    由x2+5x+25=p2b2配方得(2x+5)2+75=4p2b2,將x-5= 2Qp1a2代入得,(4Qp1a2+15)2+75=4p2b2,兩邊同時取模p1得,(4Qp1a2+15)2+75≡4p2b2(modp1),因為又p1≡13(mod24),則矛盾,故在條件(ⅱ)下方程(2)無整數解.

    綜上有該情形方程(2)無整數解.

    Ⅳ仿情形Ⅲ在條件(ⅱ)下的證明知該情形在條件(ⅰ)下方程(2)無整數解;仿情形Ⅱ的證明可得在條件(ⅱ)下方(2)無整數解,故該情形方程(2)無整數解.

    Ⅴ由x2+5x+25=3b2配方得(2x+5)2+75=12b2,兩邊同時取模5得,(2x+5)2+75≡12b2(mod5),因為矛盾,故該情形方程(2)無整數解.

    Ⅵ仿情形Ⅱ的證明可得該情形方程(2)無整數解.

    Ⅶ仿情形Ⅱ的證明可得條件(ⅰ)下方程(2)無整數解.

    由x2+5x+25=3p2b2配方得(2x+5)2+75=12p2b2,將x-5= 6Qp1a2代入得,(12Qp1a2+15)2+75=12p2b2,兩邊同時取模p1得,(12Qp1a2+15)2+75≡12p2b2(modp1),因為盾,故在條件(ⅱ)下方程(2)無整數解.

    綜上有該情形方程(2)無整數解.

    情形Ⅷ仿情形Ⅶ在條件(ⅱ)下的證明知該情形在條件(ⅰ)下方程(2)無整數解;仿情形Ⅱ的證明可得條件(ⅱ)下方程(2)無整數解.故該情形方程(2)無整數解.

    綜上有,當x?0(mod5)時方程(2)在題設條件下無整數解.

    綜上所述,三次不定方程(2)在題設條件下僅有平凡解(x,y)=(5,0).

    〔1〕李復中.關于丟番圖方程x3±125=Dy2[J].東北師范大學學報(自然科學版),1996,(3):15-16.

    〔2〕李復中.關于一類丟番圖方程x3±(5k)3=Dy2[J].東北師范大學學報(自然科學版),1998,(2):16-19.

    〔3〕劉曉敏.關于丟番圖方程x3±p3=Dy2解的討論[D].哈爾濱理工大學,2006.

    〔4〕普粉麗,杜先存.關于Diophantine方程x3-53=py2的解的研究[J].延安大學學報(自然科學版),2013,32(4):10-11.

    〔5〕廖軍.關于丟番圖方程x3-53=Dy2的整數解的研究[J].西南民族大學學報,2013,39(6):907-909.

    〔6〕廖軍.關于Diophantine方程x3-53=py2的整數解的研究[J].棗莊學院學報,2013,30(5):60-62.

    〔7〕普粉麗,馬艷園.關于Diophantine方程x3-53=Dy2的整數解[J].西安文理學院學報(自然科學版),2014,17(3):30-31.

    〔8〕廖軍,杜先存.關于Diophantine方程x3-53=2Dy2的整數解[J].長沙大學學報(自然科學版),2014,28(2):7-8.

    〔9〕杜先存.關于不定方程x3±1=2PDy2的整數解[J].浙江大學學報(理學版),2015,42(2):96-99.

    O156.1

    A

    1673-260X(2015)08-0001-02

    云南省教育廳科學研究基金項目“某些Diophantine方程的整數解研究(2014Y462)”

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