s-弱擬正規(guī)與有限群的p-冪零性*

孫 楊，錢(qián)方生

(哈爾濱師范大學(xué))

0 引言

眾所周知，冪零群是一類(lèi)重要的群．近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外的許多學(xué)者都從事過(guò)這方面的研究工作．錢(qián)國(guó)華和朱天平在文獻(xiàn)［2］中給出了弱擬正規(guī)的概念:群G的子群H稱(chēng)為在G中弱擬正規(guī)，若對(duì)G的任意子群T，至少存在一個(gè)T的共軛子群Tx，其中x∈G，使得HTx=TxH．筆者試圖利用這一概念，探究弱擬正規(guī)對(duì)有限群的p-冪零性的影響．

該文所涉及的群皆為有限群，π(G)表示能整除|G|的素?cái)?shù)的全體．其余的符號(hào)和術(shù)語(yǔ)都是標(biāo)準(zhǔn)的．

1 預(yù)備知識(shí)

定義［2］群G的子群H稱(chēng)為在G中弱擬正規(guī)，若對(duì)G的任意子群T，至少存在一個(gè)T的共軛子群Tx，其中x∈G，使得HTx=TxH．若進(jìn)一步限制T∈Syl(G)，則稱(chēng)H在G中s-弱擬正規(guī)．

定義2［5］群G的子群H稱(chēng)為在G中弱c*-正規(guī)，設(shè)H≤G，若存在G的次正規(guī)子群K，使得G=HK并且H∩K是G的s-擬正規(guī)嵌入子群．

引理1［2］若H在G中弱擬正規(guī)．則

(1)對(duì)于任意的N ＜G，NH在G中弱擬正規(guī)，HN/N在G/N中弱擬正規(guī)．

(2)對(duì)于任意的x∈G，Hx在G中弱擬正規(guī)．其中H*={hx=x-1hx|h∈H}是H的共軛子群．

證明 (1)由于H在G中弱擬正規(guī)，則對(duì)任意的P∈Sylp(G)，存在x∈G，使得HPx=PxH成立．因此

(HN/N)(PxN/N)=HPxN/N=PxHN/N=(PxN/N)(HN/N)．

所以HN/N在G/N中弱擬正規(guī)．

(2)由于H在G中弱擬正規(guī)，則對(duì)任意的P∈Sylp(G)，存在y∈G，使得HPy=PyH成立．故HxPyx=PyxHx．下令g=yx．于是任意的P∈Sylp(G)．存在g∈G，使HxPg成群．所以，Hx在G中弱擬正規(guī)．

注:對(duì)s-弱擬正規(guī)子群，有類(lèi)似的結(jié)論．

引理2［3］設(shè)G為有限群，N≤G，K ＜ G．若N的極大子群在G中弱擬正規(guī)，則NK/K的極大子群在G/K中是弱擬正規(guī)的．

證明 對(duì)于任意M/K＜·NK/K．有M=M∩NK=(M∩N)K．設(shè)N1＜·N且M∩K≤N1．則N∩K≤N1∩K≤N∩K．即N∩K=N1∩K．故N1K ＜NK．又M=(M∩N)K≤N1K ＜NK．由M ＜·NK，故得M=N1K．由引理1(1)知，M/K=N1K/K在G/K中是弱擬正規(guī)的．

引理3［4］設(shè)G是p-可解的外p-超可解群，則G=F(G)M，F(xiàn)(G)∩M=1，其中 F(G)為G的唯一極小正規(guī)子群，|F(G)|=Pα，α＞1，F(xiàn)(G)為Pα階初等Abel-p群，M為G的p-超可解極大子群．

引理4［6］設(shè)U，V，W是群G的子群，則下列條件等價(jià)．

(1)U∩VW=(U∩V)(U∩W)

(2)UV∩UW=U(V∩W)

引理5［7］設(shè)G是群，N ＜ G，H為G的s-擬正規(guī)嵌入子群．則

(1)H≤M≤G，H在M中s-擬正規(guī)嵌入．

(2)HN在G中s-擬正規(guī)嵌入，HN/N在G/N中s-擬正規(guī)嵌入．

(3)H是 G的 s-擬正規(guī) p-子群，則Op(G)≤NG(H)．

(4)若對(duì)某個(gè)素?cái)?shù)p，H≤Op(G)，則H在G中s-擬正規(guī)嵌入．

(5)H在G中s-擬正規(guī)嵌入且HG=1，則H的Sylow子群在G中s-擬正規(guī)．

引理5［10］設(shè)G是群，p是G的素因子且(G，p-1)=1，則若N是G的p階正規(guī)子群，則N包含于Z(G)．

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)G是群，p是π(G)中的最小素?cái)?shù)．P為G的一個(gè)Sylow p-子群．若P的所有極大子群在G中或者是s-弱擬正規(guī)，或者是弱c*-正規(guī)的．則G為p-冪零的．

證明 假設(shè)結(jié)論不成立，取G為極小階反例．

(1)G有唯一的極小正規(guī)子群H，G/H為p-冪零的．且Φ(G)=1．

(2)Op'(G)=1．

若T=Op'(G)≠1，考慮=G/T．因?yàn)镚/H為p-冪零的．所以/≌G/HT亦是p-冪零的．其中=HT/T．設(shè)=P1T/T＜·PT/T．其中P1＜·P．因?yàn)镻1在G中或者是s-弱擬正規(guī)，或者是弱c*-正規(guī)．則可知在中或者是s-弱擬正規(guī)，或者是弱c*-正規(guī)．由G的極小性知為p-冪零的．所以G也是p-冪零的．矛盾．所以O(shè)p'(G)=1．

(3)Op(G)=1且G是非可解的．

若Op(G)≠1．由(1)知，H≤ Op(G)且Φ(Op(G))≤Φ(G)=1．因此G有極大子群K，使得G=HK且H∩K=1．因?yàn)镺p(G)∩K ＞K，Op(G)∩K ＞H．因此Op(G)∩K ＞G．由H的唯一性有，H=Op(G)．且K為p-冪零的．顯然P=HK=H(P∩K)，P1＜·P．使得(P∩K)≤P1，則P=HP1．由假設(shè)，P1在G中或者是s-弱擬正規(guī)，或者是弱c*-正規(guī)．若P1在G中是s-弱擬正規(guī)的，P1Kq≤G，且q≠p．從而P1＜Kq|q≠p＞ =P1Kp'≤ G．由于 |G:P1Kp'|=P，故P1Kp'＞ G．由(1)知H≤P1Kp'，從而H ≤P1．即P=HP1=P1．矛盾．若P1在G中是弱c*-正規(guī)的，則存在G的正規(guī)子群K1，使得G=P1K1且P1∩K1在G中s-擬正規(guī)嵌入．因此P1∩K1≤(P1)G．若(P1)G≠1，則由(2)知，H≤ (P1)G．故 P=HP1=P1．矛盾．則(P1)G=1．從而P1∩K1=1，P∩K1=P．由引理P∩K1∈Sylp(K1)．表明K1的Sylow p-子群為p階循環(huán)群．又由于H≤P∩K．當(dāng)然，H亦是p階循環(huán)群．所以G/H為p-冪零的．因?yàn)閜是π(G)的最小素?cái)?shù)，(G，p-1)=1，所以由引理6知，有H≤Z(G)．所以G/Z(G)≤G/H，故G/Z(G)是p-冪零的．又由G的選取可知，G是p-冪零的．矛盾．因此Op(G)=1．結(jié)合(2)知，為非可解的．

(4)P的所有極大子群均在G中s-弱擬正規(guī)．

若否，則有P1＜·P在G中是弱c*-正規(guī)．存在K1＜ G，使得G=P1K1且P1∩K1≤Op(G)=1．表明K1的Sylow p-子群為p階循環(huán)群．從而G是p-冪零的．矛盾．

(5)對(duì)任意的q≠p，GpGq＜G，GpGq為p-冪零的．

由［8．IV．Satz 28］知，Gp為非循環(huán)的．因此Gp至少有2個(gè)極大子群．設(shè)Gp=P1·P2，由假設(shè)PiGq≤G，i=1，2，因此GpGq≤G．由著名的pαqβ-定理及(3)知，GpGq＜G．由的極小性知，GpGq為p-冪零的．

(6)最后的矛盾．

由(5)知，［Gp，Gq］≤Gq，任意的q≠p．假設(shè)S1為 Gp的任一子群，記 NG(S1)=N1．因?yàn)椋跾1，(N1)q］≤Gp∩Gq=1．因此S1被(N1)p'中心化．由［9．10．32］知，G 是 p- 冪零的．最后的矛盾．

推論1 若G的每個(gè)Sylow子群的所有極大子群在G中或者是s-弱擬正規(guī)，或者是弱c*-正規(guī)的．則G一個(gè)具有Sylow塔的群．

證明 設(shè)p是π(G)中的最小素?cái)?shù)．由定理1知，G是p-冪零的．設(shè)H為G的正規(guī)p-補(bǔ)．顯然H滿(mǎn)足定理假設(shè)．由歸納法知，H為一個(gè)具有Sylow塔的群．因此，G也一個(gè)具有Sylow塔的群．

［1］ 徐明曜．有限群論導(dǎo)引［M］．北京:科學(xué)出版社，1999．

［2］ 錢(qián)國(guó)華，朱平天．超可解群的一些充分條件［J］．南京師范大學(xué)學(xué)報(bào)，1998，21(1):15-21．

［3］ 趙嘯海．超可解群的幾個(gè)充分條件［J］．廣西大學(xué)學(xué)報(bào)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2001，26(2):137-139．

［4］ 陳重穆．內(nèi)外∑-群與極小非∑-群［M］．重慶:西南師范大學(xué)出版社，1988．

［5］ 劉秀，韋華全，劉小春．弱c*-正規(guī)子群與有限群的p-冪零性［J］．廣西科學(xué)，2008，15(4):325-329．

［6］ Doerk，Hawkes T．Finite Soluble Groups［M］．De Gruyter，1992．

［7］ Li Y，Wang Y，Wei H．On p nilpotency of finite groups with some subgroups quasinormally embeded ［J］．Adwa Math Hungar，2005，108(4):283-298．

［8］ Huppert B．Endliche Gruppen I［M］．Berlin New York Spring-Verlag，1967．1-500．

［9］ Robinson D J S．A Course in the Theory of Groups［J］．New-york Springer，1982．

［10］衛(wèi)華全．子群特性與有限群結(jié)構(gòu)［D］．廣州中山大學(xué)，2006．