不允許賣(mài)空情況下多階段均值-方差投資組合優(yōu)化

張 鵬，曾永泉

(1.武漢科技大學(xué)管理學(xué)院，湖北 武漢，430081; 2.華中師范大學(xué)社會(huì)學(xué)院，湖北 武漢，430079)

不允許賣(mài)空情況下多階段均值-方差投資組合優(yōu)化

張 鵬1，曾永泉2

(1.武漢科技大學(xué)管理學(xué)院，湖北 武漢，430081; 2.華中師范大學(xué)社會(huì)學(xué)院，湖北 武漢，430079)

提出了不允許賣(mài)空情況下終期財(cái)富最大化的多階段均值-方差投資組合模型，其目標(biāo)函數(shù)不具有可分離性。將該模型嵌入到一個(gè)輔助模型中，從而轉(zhuǎn)化為目標(biāo)函數(shù)可分離的動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題，并用離散近似迭代法進(jìn)行求解。最后采用源自上海證券交易所的實(shí)證數(shù)據(jù)驗(yàn)證了該模型和算法的有效性。

投資組合；均值-方差；離散近似迭代法；賣(mài)空；財(cái)富最大化

投資組合是分散投資風(fēng)險(xiǎn)的有效途徑。在實(shí)際的金融市場(chǎng)中，投資是一個(gè)持續(xù)不斷、貫穿多階段的過(guò)程。相對(duì)于單階段投資組合而言，多階段投資組合是一個(gè)隨機(jī)非線性的動(dòng)態(tài)復(fù)雜系統(tǒng)，其優(yōu)化求解要復(fù)雜得多。

一般的多階段投資組合模型都是效用函數(shù)模型,而Li等[1]提出了終期財(cái)富最大化的多階段均值-安全首要投資組合模型，并用嵌入的方法將該模型轉(zhuǎn)化為一個(gè)能用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法處理的問(wèn)題,從而得到了最優(yōu)投資策略及有效前沿的解析表達(dá)式。在上述研究的基礎(chǔ)上，Li等[2]又提出了多階段均值-方差投資組合模型。Calafiore[3]考慮了金融資產(chǎn)分配序貫決策問(wèn)題，并提出具有線性控制的多階段投資組合模型。Zhu等[4]提出具有破產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)控制的多階段均值-方差投資組合模型。Yu等[5]提出具有破產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)控制的多階段均值-絕對(duì)偏差投資組合模型。Yan等[6]用半方差代替方差來(lái)度量投資風(fēng)險(xiǎn)。Pnar[7]使用下方風(fēng)險(xiǎn)(downside-risk)度量方法研究多階段投資組合模型?？紤]線性交易成本、投資組合分散化程度和偏度等目標(biāo)，Zhang等[8-9]和Liu等[10-11]提出了多階段模糊投資組合模型，并分別運(yùn)用遺傳算法、混合智能算法和微分近似算法求解。筆者提出了具有基數(shù)約束的多階段均值-絕對(duì)偏差模糊投資組合模型，并結(jié)合自創(chuàng)算法——離散近似迭代法和CPLEX軟件進(jìn)行求解[12]。

以上終期財(cái)富最大化多階段投資組合模型均沒(méi)有考慮非負(fù)約束，本文擬提出不允許賣(mài)空情況下終期財(cái)富最大化的多階段均值-方差投資組合模型，運(yùn)用嵌入式方法將該模型不可分離的目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為可分離的。由于該問(wèn)題的決策變量存在非負(fù)約束，運(yùn)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法求解很困難，因此本文擬采用離散近似迭代法進(jìn)行計(jì)算。

1 多階段均值-方差投資組合模型

(1)

模型(1)可以簡(jiǎn)化為：

(2)

假設(shè)E(rt(rt)′)是正定矩陣，即

E(rt(rt)′)=

(3)

根據(jù)式(3)可得：

(4)

由式(4)可得：

(5)

和

?t

(6)

不允許賣(mài)空情況下終期財(cái)富最大化的多階段均值-方差投資組合模型為

maxE(ST)

(7)

minσ2(ST)

(8)

式中：σ(σ≥ 0)和ε(ε≥ 0)分別是給定σ2(ST)和E(ST)的預(yù)期值。

模型(7)和模型(8)可以轉(zhuǎn)化為：

maxU(E(ST),σ2(ST))=E(ST)-ωσ2(ST)

(9)

式中：ω≥ 0。

假設(shè)模型(9)的最優(yōu)解為Π*，即Π*={π|π是模型(9)的最優(yōu)解}。

模型(9)的目標(biāo)函數(shù)不具有可分離性，不能直接運(yùn)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法求解，因此需要將原模型嵌入到一個(gè)輔助問(wèn)題中，然后進(jìn)行求解。

2 輔助模型的構(gòu)建

將模型(9)嵌入到下面的輔助模型中：

(10)

證明：假設(shè)π*是模型(9)的可行解，但不是模型(10)的可行解，則

即

(11)

假設(shè)

U=E(ST(π))-ωσ2(ST(π))

(12)

定理證畢。

證明：模型(10)可以轉(zhuǎn)化為

(13)

E2(ST(λ,ω))}

(14)

對(duì)于模型(14)的(λ*,ω)最優(yōu)值的一階必要條件為

(15)

(16)

由式(15)和式(16)可得：

λ*=1+2ωE(ST)|π*。

定理證畢。

根據(jù)文獻(xiàn)[6]可知，模型(13)等價(jià)于

(17)

(18)

3 多階段均值-方差投資組合優(yōu)化

運(yùn)用離散近似迭代法[13-14]求解模型(18)，離散近似迭代法是線性收斂的[15]，其具體步驟如下。

(1)將狀態(tài)變量St按照從小到大離散成四等份，即形成5個(gè)值。

設(shè)m為充分小的正數(shù)，每階段狀態(tài)變量的最小值和最大值按照以下方法確定：

模型(18)第t階段優(yōu)化可以轉(zhuǎn)化為

(19)

(2)運(yùn)用不等式組的旋轉(zhuǎn)算法求出不同狀態(tài)值所對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值，并構(gòu)造多階段有向賦權(quán)圖。

(4)在上述最長(zhǎng)路的基礎(chǔ)上繼續(xù)迭代。將第K+1次最長(zhǎng)路的每階段狀態(tài)值分別與該階段狀態(tài)值的最小值和最大值形成兩個(gè)區(qū)間，各自分成二等份并轉(zhuǎn)(2)。

4 算例

從上證50中選擇6只權(quán)重股票，分別為S1(600005)、S2(600016)、S3(600050)、S4(600104)、S5(601318)、S6(600601)，以2006年1月至2008年3 月每一季度末收益率為樣本數(shù)據(jù)，如表1所示(數(shù)據(jù)來(lái)源于廣發(fā)證券至強(qiáng)版基本資料數(shù)據(jù)庫(kù))。

從表2可知，在不允許賣(mài)空情況下，對(duì)于一個(gè)期望收益率為0.1410的投資者來(lái)說(shuō)，他在第一階段對(duì)6只股票的最優(yōu)投資策略應(yīng)為：全部資金用于購(gòu)買(mǎi)股票S1,不購(gòu)買(mǎi)其他股票。同樣可知在其他期望收益率下的第一階段最優(yōu)投資策略。

運(yùn)用離散近似迭代算法可以計(jì)算出5個(gè)階段的最優(yōu)投資策略，如表3所示。由表3可見(jiàn)，第一階段的最優(yōu)投資策略(對(duì)應(yīng)St=1.1357)為：投資者以85.37%和14.63%的比例分別投資于股票S1和股票S2，不購(gòu)買(mǎi)其他股票。同樣可以得到其他階段的最優(yōu)投資策略。

5 結(jié)語(yǔ)

本文提出了不允許賣(mài)空情況下終期財(cái)富最大化的多階段均值-方差投資組合模型，運(yùn)用嵌入式方法將該模型不可分離的目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為可分離的，使之成為動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題，并采用離散近似迭代法進(jìn)行求解，通過(guò)實(shí)證研究證明了該模型和算法的有效性。另外，筆者認(rèn)為摩擦市場(chǎng)情況下終期財(cái)富最大化多階段投資組合決策問(wèn)題值得進(jìn)一步研究。

[1] Li Duan, Chan Tsz-Fung, Ng Wan-Lung. Safety-first dynamic portfolio selection[J]. Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems, 1998, 4:585-600.

[2] Li Duan, Ng Wan-Lung. Optimal dynamic portfolio selection: multiperiod mean-variance formulation[J]. Mathematical Finance, 2000, 10(3):387-406.

[3] Calafiore G C. Multi-period portfolio optimization with linear control policies[J]. Automatica, 2008, 44: 2463-2473.

[4] Zhu Shushang, Li Duan, Wang Shouyang. Risk control over bankruptcy in dynamic portfolio selection: a generalized mean-variance formulation[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 2004, 49(3): 447-457.

[5] Yu Mei, Takahashi S, Inoue H, et al. Dynamic portfolio optimization with risk control for absolute deviation model[J]. European Journal of Operational Research, 2010, 201(2): 349-364.

[6] Yan Wei, Miao Rong, Li Shurong. Multi-period semi-variance portfolio selection: model and numerical solution[J]. Applied Mathematics and Computation, 2007,194: 128-134.

[8] Zhang Weiguo, Liu Yongjun, Xu Weijun. A possibilistic mean-semivariance-entropy model for multi-period portfolio selection with transaction costs[J]. European Journal of Operational Research, 2012, 222(2): 341-349.

[9] Zhang Weiguo, Liu Yongjun, Xu Weijun. A new fuzzy programming approach for multi-period portfolio optimization with return demand and risk control[J]. Fuzzy Sets and Systems, 2014, 246:107-126.

[10]Liu Yongjun, Zhang Weiguo, Xu Weijun. Fuzzy multi-period portfolio selection optimization models using multiple criteria[J]. Automatica, 2012, 48: 3042-3053.

[11]Liu Yongjun,Zhang Weiguo,Zhang Pu.A multi-period portfolio selection optimization model by using interval analysis[J].Economic Modelling,2013, 33:113-119.

[12]Zhang Peng, Zhang Weiguo. Multiperiod mean absolute deviation fuzzy portfolio selection model with risk control and cardinality constraints[J]. Fuzzy Sets and Systems, 2014,255：74-91.

[13]張鵬.連續(xù)型凸動(dòng)態(tài)規(guī)劃的離散近似迭代法研究[J]. 系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué),2011,31(8):943-951.

[14]張鵬.多階段均值-平均絕對(duì)偏差投資組合的離散近似迭代法[J].系統(tǒng)管理學(xué)報(bào),2010,19(3):266-271.

[15]張鵬，田邊.具有借貸限制的多階段M-SAD投資組合決策研究[J].武漢科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2014,37(6):473-477.

[16]張鵬,張忠楨,曾永泉. 限制性賣(mài)空的均值-方差投資組合優(yōu)化[J]. 數(shù)理統(tǒng)計(jì)與管理, 2008, 27(1):124-129.

[17]張鵬. 不允許賣(mài)空情況下均值-方差和均值-VaR投資組合比較研究[J]. 中國(guó)管理科學(xué)，2008, 16(4):30-35.

[18]Heidergott B, Olsder G J,van der Woude J. Max plus at work—modeling and analysis of synchronized systems—a course on max-plus algebra and its applications[M]. Princeton: Princeton University Press,2006.

[責(zé)任編輯 尚 晶]

Optimization of multiperiod mean-variance portfolio selection without short sales

ZhangPeng1,ZengYongquan2

(1.College of Management, Wuhan University of Sciennce and Technology, Wuhan 430081, China; 2. College of Sociology, Central China Normal University, Wuhan 430079, China)

This paper proposes a multiperiod mean-variance portfolio selection model aiming at terminal wealth maximization without short sales,and its objective function is inseparable. The original model is turned to a dynamic programming problem with separable objective function by embedding it in an auxiliary model, which can be solved by the discrete approximate iteration method. Finally, an example using the real data from Shanghai Stock Exchange is given to illustrate the effectiveness of the model and algorithm.

portfolio selection; mean-variance; discrete approximate iteration; short sale; wealth maximization

2015-01-12

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(71271161)；國(guó)家社會(huì)科學(xué)基金資助項(xiàng)目(13BJL0062).

張 鵬(1975-)，男，武漢科技大學(xué)教授，博士. E-mail：zhangpeng300478@aliyun.com

F224.9;O221.2

A

1674-3644(2015)04-0316-05