廣義二維BBM方程的精確解研究

方　芳，胡貝貝，陶庭婷

廣義二維BBM方程的精確解研究

方芳，胡貝貝，陶庭婷

摘要:利用輔助方程法并借助符號計算軟件Maple求解了具有高階非線性項的廣義二維BBM方程，并獲得該方程豐富的精確行波解，其中包括三角函數(shù)解、雙曲函數(shù)解、雙周期Jacobi橢圓函數(shù)解。

關(guān)鍵詞:BBM方程，輔助方程法，三角函數(shù)解，雙曲函數(shù)解，雙周期Jacobi橢圓函數(shù)解

1引言

非線性方程被廣泛應(yīng)用于許多研究領(lǐng)域，非線性方程解的研究在非線性科學(xué)領(lǐng)域起著重大作用，對于非線性系統(tǒng)沒有固定的求解方法，目前已經(jīng)發(fā)展了很多的求解方法，如雙曲正切函數(shù)法[1]、齊次平衡法[2]、tanh函數(shù)法[3]、Fan子方程法[4]、sine-cosine方法[5]、李群方法[6]等。

1972年，Benjamin等[7]提出了BBM方程

(1)

張衛(wèi)國[8]在1996年提出了改正的BBM方程

(2)

之后，呂大昭[9]運(yùn)用Jacobi橢圓函數(shù)展開法研究了改正了的BBM方程，得到了更多的周期解。在2006年，黎明[10]又做了進(jìn)一步的推廣，得到了廣義BBM方程

(3)

并求出了它的有界行波解。

本文將方程(3)進(jìn)一步推廣到一般的廣義二維BBM方程

(4)

并利用與文獻(xiàn)[11]不同的方法——輔助方程法[12-14]對方程(4)進(jìn)行了研究，獲得該方程一系列精確行波解。

2廣義二維BBM方程的精確行波解

為求得方程(4)的解，我們做如下行波變換

(5)

這里c是波速，k,d,c為常數(shù)，將(5)式代入方程(4)，并關(guān)于ξ積分兩次得

(6)

設(shè)方程(6)的解形式為

(7)

其中V(ξ)為輔助方程且滿足：

(8)

這里p,q,s和r為任意常數(shù)。平衡方程(6)中的u3和u′′得m=1，即方程(6)解的形式為

(9)

把(8)、(9)式代入(6)式，令形如Vi(i=0,1,2,3,4,5)的項的系數(shù)全部為零，得到一組關(guān)于α0,α1,p,q,s,r,k,d,c的代數(shù)方程

(10)

借助符號計算軟件Maple，由(10)得

(11)

所以方程(6)的解為

(12)

這里V(ξ)滿足方程(8)。

由于輔助函數(shù)V(ξ)的參數(shù)p,q,s和r的取值不同有以下九種情況(其中m(0

1.當(dāng)p=-(1+m2),q=2m2,s=0,r=1時，方程(8)有一個雙周期橢圓函數(shù)解

(13)

從而由(11)、(12)和(13)可得方程(4)對應(yīng)的解為

(14)

當(dāng)m→1時，得到對應(yīng)的扭波解和反扭波解

(15)

2.當(dāng)p=2m2-1,q=2,s=0,r=-m2(1-m2)時，方程(8)有一個雙周期橢圓函數(shù)解

(16)

(17)

當(dāng)m→1時，得到對應(yīng)的扭波解和反扭波解

(18)

3.當(dāng)p=2-m2,q=2,s=0,r=1-m2時，方程(8)有一個雙周期橢圓函數(shù)解

(19)

從而由(11)、(12)和(19)可得方程(4)對應(yīng)的解為

(20)

當(dāng)m→1時，得到對應(yīng)的扭波解和反扭波解

(21)

4.當(dāng)p=2m2-1,q=-2m2,s=0,r=1-m2時，方程(8)有一個雙周期橢圓函數(shù)解

(22)

從而由(11)、(12)和(22)可得方程(4)對應(yīng)的解為

(23)

當(dāng)m→1時，得到對應(yīng)的扭波解和反扭波解

(24)

5.當(dāng)p=2-m2,q=-2,s=0,r=m2-1時，方程(8)有一個雙周期橢圓函數(shù)解

(25)

從而由(11)、(12)和(25)可得方程(4)對應(yīng)的解為

(26)

當(dāng)m→1時，得到對應(yīng)的扭波解和反扭波解

(27)

(28)

從而由(11)、(12)和(28)可得方程(4)對應(yīng)的解為

(29)

(30)

從而由(11)、(12)和(30)可得方程(4)對應(yīng)的解為

(31)

(32)

從而由(11)、(12)和(32)可得方程(4)對應(yīng)的解為

(33)

9.當(dāng)p=0,q=2,s=0,r=0時，方程(8)有一個雙周期橢圓函數(shù)解

(34)

從而由(11)、(12)和(34)可得方程(4)對應(yīng)的解為

(35)

其中G為常數(shù)。

[參考文獻(xiàn)]

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責(zé)任編輯：劉海濤

收稿日期：2014-03-19

基金項目：滁州學(xué)院科研啟動基金(2014qd009；2014qd006；2014qd008)：滁州學(xué)院科研項目(2014GH12)：安徽省教育廳一般科研項目(KJ2013B188)

作者簡介：方芳，胡貝貝，陶庭婷，滁州學(xué)院數(shù)學(xué)與金融學(xué)院教師(安徽 滁州 239000)。

中圖分類號:O175. 1

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1673-1794(2015)02-0020-04