具有剛度非線性的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)阻尼參數(shù)測試

李 暉， 孫 偉， 劉 營， 韓清凱

(1.東北大學 機械工程與自動化學院，沈陽 110819； 2.大連理工大學 機械工程學院，大連 116024)

具有剛度非線性的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)阻尼參數(shù)測試

李 暉1， 孫 偉1， 劉 營1， 韓清凱2

(1.東北大學 機械工程與自動化學院，沈陽 110819； 2.大連理工大學 機械工程學院，大連 116024)

機械結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中存在大量的結(jié)構(gòu)，其固有頻率會隨著激振力幅的不同而改變，稱之為剛度非線性結(jié)構(gòu)，例如螺栓法蘭聯(lián)接結(jié)構(gòu)、涂層復合結(jié)構(gòu)等。由于存在剛度非線性，經(jīng)典的半功率帶寬法無法準確辨識這些結(jié)構(gòu)的阻尼參數(shù)。本文在修正經(jīng)典半功率帶寬法的基礎上，提出了一種適用于弱剛度及強剛度非線性系統(tǒng)的阻尼辨識方法，稱為頻域帶寬法。首先，基于剛度非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的運動方程，分別推導了弱剛度非線性及強剛度非線性系統(tǒng)的阻尼辨識公式。進一步，提出了基于頻域帶寬法測試具有剛度非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的阻尼參數(shù)的方法及流程，并討論了掃頻方向、掃頻速度對測試結(jié)果的影響。最后，以具有軟式非線性特征的硬涂層薄板為對象進行實例研究，獲得了該薄板不同激勵幅度下的阻尼參數(shù)。本文的研究可為精確建立類似結(jié)構(gòu)的動力學響應分析模型提供參考。

剛度非線性；結(jié)構(gòu)系統(tǒng)；阻尼測試；測試流程；頻域帶寬法

在振動和噪聲控制中, 阻尼的測試有著重要的工程及學術意義。阻尼參數(shù)是振動響應、振動應力計算分析時必須輸入的關鍵參數(shù)之一。獲得的阻尼參數(shù)不僅可用于結(jié)構(gòu)動力學的建模、響應預估和優(yōu)化設計等環(huán)節(jié)，還可以用來評價和校驗阻尼減振效果。近年來，隨著對結(jié)構(gòu)動力學特性預估精度要求越來越高以及阻尼減振技術的廣泛應用[1-2]，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的阻尼測試技術顯得越發(fā)重要。

機械結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中存在大量的結(jié)構(gòu)，其固有頻率會隨著激振力幅的不同而改變，使得測試獲得的頻域響應曲線不再對稱于固有頻率所在的軸線。這類結(jié)構(gòu)稱之為剛度非線性結(jié)構(gòu)，例如螺栓聯(lián)接結(jié)構(gòu)[3]、導軌系統(tǒng)[4]以及車體中常見的搭接結(jié)構(gòu)[5]，還有一些復合材料結(jié)構(gòu)[6]也會表現(xiàn)出剛度非線性。

對于這些結(jié)構(gòu)，經(jīng)典的時域及頻域阻尼辨識方法不再適用，因為經(jīng)典的方法都是來源于線性假設。就半功率帶寬法而言，由于結(jié)構(gòu)的頻域響應經(jīng)常發(fā)生非線性跳躍現(xiàn)象，致使無法捕獲峰值點所對應的頻率以及半功率點頻率，或者僅能獲得部分半功率帶寬法阻尼辨識所需要的頻率點，導致該法難以辨識剛度非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的阻尼。為此，需要研究上述剛度非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的阻尼參數(shù)測試新方法。

一些學者嘗試改進經(jīng)典的時域法來獲得這類結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的阻尼，例如, Reed等[6]提出將結(jié)構(gòu)自由衰減時域信號劃分為若干段，每段包含若干個振動峰值，進而從每段信號中辨識出對應一定振動幅度的阻尼及剛度。Patsias等[7]和Pearson等[8]也采用了類似的方法測試具有剛度非線性的涂層結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的阻尼。時域法辨識阻尼通常需要信號具有較高的信噪比，所獲得的阻尼經(jīng)常會由于噪聲的干擾而導致測試結(jié)果不準確。

本文從頻域角度研究具有剛度非線性的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)阻尼參數(shù)的辨識方法。所提出的方法與經(jīng)典的半功率帶寬法相似，所以稱之為頻域帶寬法。首先，將剛度非線性結(jié)構(gòu)分為弱剛度非線性系統(tǒng)和強剛度非線性系統(tǒng)，并分別推導了基于頻域帶寬法的這兩類系統(tǒng)的阻尼辨識公式。然后，提出了基于頻域帶寬法測試具有剛度非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的阻尼參數(shù)的方法及流程，并討論了掃頻方向、掃頻速度對測試結(jié)果的影響。最后，以具有軟式非線性特征的硬涂層薄板為對象進行實例研究，獲得了該薄板不同激勵幅度下的阻尼參數(shù)。本研究可為精確建立類似結(jié)構(gòu)的動力學響應分析模型提供參考。

1 辨識剛度非線性結(jié)構(gòu)阻尼參數(shù)的原理

線性結(jié)構(gòu)的頻域響應曲線，其相對于固有頻率所在的軸線(對稱軸)總是左右對稱；而具有剛度非線性的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，其頻域響應不再具有上述特點。對于弱剛度非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，其對稱軸一側(cè)的頻域響應曲線會出現(xiàn)較為陡峭的斜坡(見圖1)。隨著對稱軸一側(cè)的曲線陡峭程度的增加，其會變?yōu)閺妱偠确蔷€性系統(tǒng)(見圖2)。由于模態(tài)阻尼比是最常用的表征結(jié)構(gòu)系統(tǒng)阻尼特性的參數(shù)，下面分別推導上述兩類非線性系統(tǒng)的阻尼比辨識公式。

圖1 弱剛度非線性系統(tǒng)Fig．1Theweakstiffnessnonlinearsystem圖2 強剛度非線性系統(tǒng)Fig．2Thestrongstiffnessnonlinearsystem

1.1 弱剛度非線性系統(tǒng)

以下以單自由度系統(tǒng)為例，說明頻域帶寬法測試阻尼的原理。雖然機械結(jié)構(gòu)系統(tǒng)一般為多自由度系統(tǒng)，但按照模態(tài)理論解耦后仍可將其變成若干單自由度系統(tǒng)。對于單自由度且具有剛度非線性的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，其運動方程可表示為

(1)

式中：m為系統(tǒng)的質(zhì)量，c為系統(tǒng)的等效粘性阻尼系數(shù)，k為系統(tǒng)的線性剛度，ε為小參數(shù)，F(xiàn)0為激振力幅度，ω為激振頻率，Φ{X}為響應幅度X的單調(diào)函數(shù)，一個響應幅度對應一個函數(shù)值，當響應幅度X=0時，Φ{X}=0。

式(1)可進一步變換為

(2)

與式(2)相對應的線性系統(tǒng)為

(3)

線性系統(tǒng)的響應幅度可表示為

(4)

參照線性系統(tǒng)，該非線性系統(tǒng)的響應幅度可表示為[9]

(5)

設在掃頻激勵幅度F0的作用下，最大響應振幅對應的固有頻率為ωR。對于小阻尼系統(tǒng)，ωR可表示為

(6)

式中：Xmax為掃頻響應的最大振幅。

由式(6)可知，εΦ{Xmax}可以通過測試不同激勵幅度F0下的Xmax和ωR來獲得，辨識公式可表示為

(7)

由式(7)可知，輸入一個Xmax，就會得到一個εΦ{Xmax}函數(shù)值，由這些數(shù)據(jù)點可擬合出εΦ{X}的函數(shù)表達式。由式(5)還可進一步得到無量綱響應幅度A的表達式，即

(8)

對式(8)進行分析可知，無量綱響應幅度A取得最大值的條件為：①ω/ω0=1，即外激勵頻率與系統(tǒng)的固有頻率相等)；② 函數(shù)εΦ{X}≈0，此時可以進一步得到無量綱響應幅度最大值為

Amax≈1/2ξ

(9)

(10)

(11)

式(10)減去式(11)可得

(12)

式(10)加上式(11)可得

(13)

(14)

式(14)即為具有弱剛度非線性系統(tǒng)的阻尼辨識公式。只要在頻域響應曲線上找到ωn和ωm，便可以精確識別出弱剛度非線性系統(tǒng)的阻尼比。

當εΦ{rXmax}=0時，則式(14)退化為線性系統(tǒng)的辨識公式，即

(15)

(16)

1.2 強剛度非線性系統(tǒng)

由于系統(tǒng)中非線性因素的增強，此時，由實驗所測的頻域響應曲線可能無法找到帶寬頻率點ωn(對應于軟式非線性)或ωm(對應于硬式非線性系統(tǒng))，如圖3所示。此時，需要重新修正辨識式(14)。

圖3 軟式和硬式非線性系統(tǒng)分別對應的頻域響應曲線Fig.3 Frequency response of the softening and hardening nonlinear systems

對于強軟式非線性系統(tǒng)，由式(7)和式(14)，可獲得用ωR及ωm表示的ωn，表達為

(17)

將式(17)代入式(14)，可獲得具有強軟式非線性系統(tǒng)阻尼比的辨識公式

(18)

類似的，可獲得強硬式非線性系統(tǒng)阻尼比的辨識公式

(19)

綜上，式(14)、式(18)、式(19)即為本文推導的面向具有剛度非線性的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的頻域帶寬法阻尼辨識公式。一般結(jié)構(gòu)系統(tǒng)均為多自由度系統(tǒng)，但是假如各階模態(tài)耦合不嚴重，或者說某階頻率的共振峰非常明顯，則可以用本文提出的方法來獲得具有剛度非線性結(jié)構(gòu)的各階模態(tài)阻尼比。

2 具有剛度非線性結(jié)構(gòu)的阻尼測試方法及流程

按照第1部分提出的頻域帶寬法阻尼辨識公式，測試具有剛度非線性的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的阻尼，需要通過5個關鍵步驟：

(1) 測試結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的固有頻率，確定掃頻區(qū)間

為了有效獲得結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的阻尼參數(shù)，首先需要獲取各階固有頻率值，進而明確掃頻測試時的頻率區(qū)間。為了測試方便，可采用錘擊法獲得結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的各階固有頻率。進一步選擇包含某階固有頻率的一小段頻率區(qū)間(如80%～120%)作為掃頻區(qū)間。掃頻區(qū)間的選取要遵循：在能夠有效辨識阻尼的前提下，頻率區(qū)間越小越好。實測的系統(tǒng)通常為小阻尼系統(tǒng)，通常幾十赫茲的頻段就能滿足阻尼測試的需求。

(2) 判斷結(jié)構(gòu)系統(tǒng)剛度非線性類型，確定掃頻方向和速度

基于所確定的掃頻區(qū)間，在不同激振力幅下，分別按照從高到低和從低到高的方向進行掃頻測試。如發(fā)現(xiàn)隨著激振力幅的增大，固有頻率降低，則可確定為軟式剛度非線性，反之則可認為是硬式剛度非線性。

掃頻方向是影響阻尼辨識精度的一個重要因素，對于不同的非線性類型，所需要的掃頻方向也不一樣。以圖4所示的強軟式剛度非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)為例加以說明。若對該系統(tǒng)由低到高掃頻測試，則實際測試時觀測到的頻域響應將從B點直接跳躍到D點，這樣就無法獲得系統(tǒng)最大響應幅度Xmax以及所對應的固有頻率ωR，因而無法進行阻尼辨識。相反，若對該系統(tǒng)由高到低掃頻測試，則頻域響應將從C點跳躍到A點，雖然無法得到ωn，但系統(tǒng)最大響應幅度Xmax以及所對應的固有頻率ωR均可以準確獲得，根據(jù)式(18)還是可以辨識出該結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的阻尼。

圖4 強軟式剛度非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的頻域響應Fig.4 Frequency response of strong softening stiffness-nonlinear system

由上述分析可知，對于具有強軟式剛度非線性的結(jié)構(gòu)，為了有效測試阻尼，應按照從高到低的掃頻方向進行測試。與之相反，對于具有強硬式剛度非線性的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，則需按照從低到高的掃頻方向進行測試。

掃頻速度同樣對阻尼測試的精度有著重要的影響。由于所提的阻尼辨識方法是以系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應為前提的，需要消除瞬態(tài)振動的影響。因此，必須合理確定的掃頻速度，參照文獻[9]，掃頻速度的限定條件為

(20)

其中:S為允許的掃頻速度，單位為Hz/s，Sm為最大掃頻速度，fi為結(jié)構(gòu)系統(tǒng)第i階固有頻率。只有滿足式(20)要求的速度參數(shù)才能達到消除瞬態(tài)振動的目的。同時，還有必要選擇更慢的掃頻速度，并與滿足式(20)的掃頻速度進行比較驗證，若兩種速度參數(shù)下測試獲得的固有頻率非常接近，則可以將選擇的掃頻速度作為正式測試之用；否則，還應進行比較，直到兩者獲得的頻率結(jié)果相差不大為止。

(3) 進行不同激振力幅下的掃頻測試

改變激勵幅度，根據(jù)步驟(1)中確定的頻率區(qū)間進行掃頻測試。為了提高掃頻測試的精確性，防止信號受到其它干擾因素的影響，在每個掃頻區(qū)間內(nèi)應至少測試三次，并挑選信噪比最好的一組原始數(shù)據(jù)進行數(shù)據(jù)處理。需要說明的是，在實際測試時通常獲取的是時域響應信號，為了采用頻域帶寬法測試阻尼，需要將將整個時域響應數(shù)據(jù)劃分為若干時間段，對每個時間段的時域響應數(shù)據(jù)進行FFT變換，在整個掃頻區(qū)間內(nèi)，將每個時間段的FFT變換后的頻率作為x軸，不同時間段的頻域響應峰值作為y軸，經(jīng)插值平滑處理后，獲得掃頻測試下的頻域響應曲線。

(4) 擬合出單調(diào)函數(shù)εΦ{X}的表達式

由測試獲得的不同激勵幅度下某階固有頻率附近的掃頻響應，確定每個激振力幅下的固有頻率ωR以及所對應的峰值響應Xmax，參照式(7)，通過多項式擬合方法來獲得單調(diào)函數(shù)εΦ{X}的表達式。

(5) 辨識出具有剛度非線性的結(jié)構(gòu)的模態(tài)阻尼比

觀測每個激振力幅下頻域響應曲線關于固有頻率所在的對稱軸的對稱性以及曲線的陡峭程度，判斷指定激振力幅下該結(jié)構(gòu)系統(tǒng)剛度非線性的強弱，若屬于弱剛度非線性系統(tǒng)，則利用式(14)進行參數(shù)辨識;若屬于強剛度非線性系統(tǒng)，則按照剛度非線性的類型利用式(18)和式(19)進行阻尼參數(shù)的辨識。

3 測試實例

按照“(2)”所述的測試方法及流程，對硬涂層薄板復合結(jié)構(gòu)進行阻尼測試。薄板的幾何尺寸為152 mm×110 mm×1.5 mm，材料為鈦合金Ti-6Al-4V，彈性模量為110.32 GPa，泊松比為0.31，密度為4 420 kg/m3，采用等離子噴涂工藝在鈦板的一側(cè)全部涂敷MgO+Al2O3硬涂層，涂層的厚度為84 um。通過圖5所示的夾具夾緊并使其處于懸臂狀態(tài)，夾持區(qū)長度為40 mm。也可利用該夾具來夾緊其它厚度的硬涂層薄板，以實現(xiàn)具有不同非線性強度的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)阻尼參數(shù)的測量。需要說明的是，為了避免接觸式測量方式對結(jié)構(gòu)的阻尼參數(shù)的影響，選擇了非接觸式激光測振儀(Polytec PDV-100)，并組建了如圖5所示的測試系統(tǒng)，主要儀器包括金盾EM-1000 F電磁振動臺，PCB 086C01型力錘和LMS 16通道便攜式數(shù)據(jù)采集儀等。當然，也可以選擇其它類型的振動測試與采集設備來獲取該結(jié)構(gòu)的非線性剛度特征，因為非線性特征并不取決于測試儀器的精度，而是結(jié)構(gòu)系統(tǒng)本身的一種典型特征。

圖5 硬涂層懸臂薄板復合結(jié)構(gòu)的阻尼測試系統(tǒng)Fig.5 Damping test system of hard-coating cantilever thin plate

表1 錘擊法獲得的硬涂層懸臂薄板固有頻率

圖6 不同激勵幅度下掃頻測試獲得的硬涂層懸臂薄板的第4階頻域響應曲線Fig.6 Frequency response of hard-coating cantilever thin plate under different exciting level by sweep test

進一步，將對應各激勵幅度的固有頻率以及錘擊法獲得的第4階固有頻率代入到式(7)，可獲得不同激勵幅度下的單調(diào)函數(shù)值，同樣列在表2中，式(21)為通過多項式擬合方法最終獲得第4階單調(diào)函數(shù)的表達式。

εΦ{X}4=-1.10×10-10X5+
1.18×10-8X4-3.23×10-7X3-
3.47×10-6X2+3.87×10-5X

(21)

在1 g，2 g，3 g激勵幅度下硬涂層懸臂薄板復合結(jié)構(gòu)的模態(tài)阻尼比可以通過具有弱剛度非線性系統(tǒng)的阻尼辨識公式(14)來獲得,但對于4 g和5 g激勵幅度下對應的頻域響應曲線，由于無法找到左側(cè)的帶寬頻率點ωn，因此這兩個激勵幅度對應的模態(tài)阻尼比需根據(jù)式(18)來進行辨識，獲得的阻尼結(jié)果一并列于表2中。

表2 不同激勵幅度下掃頻測試獲得的硬涂層懸臂薄板的第4階固有頻率、響應峰值、單調(diào)函數(shù)值及模態(tài)阻尼比

4 結(jié) 論

本文提出了一種適用于弱剛度及強剛度非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的阻尼辨識方法。

(1) 對經(jīng)典半功率帶寬法進行了修正，分別推導了弱剛度非線性系統(tǒng)和強剛度非線性系統(tǒng)阻尼參數(shù)的辨識公式?？稍趦H獲得峰值點對應的固有頻率ωR和一個rXmax幅值對應的帶寬頻率點ωm或ωn的基礎上，對強剛度非線性系統(tǒng)的阻尼參數(shù)進行辨識。

(2) 提出了測試具有剛度非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)阻尼參數(shù)的測試方法及流程。包括5個關鍵步驟：① 測試結(jié)構(gòu)系統(tǒng)各階固有頻率；② 判斷結(jié)構(gòu)系統(tǒng)非線性類型；③ 進行不同激振力幅下的掃頻測試；④ 擬合出單調(diào)函數(shù)εΦ{X}的表達式；⑤ 辨識出具有剛度非線性的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的模態(tài)阻尼比。

(3) 以具有軟式剛度非線性的硬涂層懸臂薄板為研究對象,并利用所提出的測試方法對其阻尼參數(shù)進行了測試，以第4階阻尼為例，辨識出了不同激勵幅度下的模態(tài)阻尼比。

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Damping identification for stiffness-nonlinearity structures

LI Hui1, SUN Wei1, LIU Ying1, HAN Qing-kai2

(1.School of Mechanical Engineering & Automation, Northeastern University, Shenyang 110819, China; 2. School of Mechanical and Engineering, Dalian University of Technology, Dalian 116024, China)

There are a large number of structures, whose natural frequencies will vary with the exciting levels and they can be named as the stiffness-nonlinearity structures, such as the bolted joint structures, composite laminated plate structures, etc. Due to the effect of stiffness-nonlinearity, the classical time domain and frequency domain methods for damping identification will not be still suitable. Therefore, on the basis of modifying the classical half-power bandwidth method, a method used to identify the damping of weak or strong stiffness-nonlinearity structure systems was presented. Based on the motion equation of the stiffness-nonlinearity system, the formulas for damping identification were derived respectively for the weak and strong stiffness-nonlinearity structure systems. Then, a damping test procedure was proposed for the above mentioned nonlinear structure systems. The test case of a hard-coating cantilever thin plate with soft nonlinear characteristic was provided, where the damping parameters were obtained under different exciting levels by sweep test and the practicability and effectiveness of the method proposed was demonstrated.

stiffness-nonlinearity; structure system; damping test; test procedure; frequency bandwidth method

國家自然科學基金資助項目(51375079)

2013-11-08 修改稿收到日期：2014-05-29

李暉 男，博士，講師，1982年11月生

韓清凱 男，博士，教授，1969年3月生

TB53

A

10.13465/j.cnki.jvs.2015.09.024