時變加權(quán)LQT設(shè)計方法理論推導及應用

李建平, 陶呈綱, 李導

(1.成都飛機設(shè)計研究所 飛控部, 四川 成都 610091;2.西北工業(yè)大學 航空學院, 陜西 西安 710072)

時變加權(quán)LQT設(shè)計方法理論推導及應用

李建平1, 陶呈綱1, 李導2

(1.成都飛機設(shè)計研究所 飛控部, 四川 成都 610091;2.西北工業(yè)大學 航空學院, 陜西 西安 710072)

利用矩陣運算公式和極值原理,對時變加權(quán)性能指標下的線性二次型跟蹤器(LQT)迭代方程進行了理論推導。以F-16飛機為例,利用飛行控制經(jīng)驗構(gòu)建俯仰速率控制系統(tǒng)線性框圖。在MATLAB/Simulink環(huán)境下,針對兩種時變加權(quán)性能指標和一種定常加權(quán)性能指標,利用多變量優(yōu)化算法完成了一個狀態(tài)點的控制律參數(shù)設(shè)計,并進行了時域和頻域?qū)Ρ确治?初步驗證了時變加權(quán)LQT設(shè)計方法的工程可行性和有效性。

線性二次型跟蹤器; 線性二次型調(diào)節(jié)器; 時變加權(quán)性能指標; 控制律; 多變量優(yōu)化算法

0 引言

過去四十多年,現(xiàn)代多變量控制律綜合與分析技術(shù)獲得極大發(fā)展。然而,由于傳統(tǒng)的現(xiàn)代控制理論設(shè)計方法需要選擇較多的設(shè)計參數(shù),且這些參數(shù)往往不具備直觀的物理含義,使得工程設(shè)計人員至今仍是很勉強地接受和應用這種新技術(shù)。

時變加權(quán)LQT設(shè)計方法繼承了傳統(tǒng)控制方法較為直觀的優(yōu)點,在依據(jù)工程經(jīng)驗所選控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上,能更快地同時求解所有反饋增益,避免了傳統(tǒng)方法逐個回路試湊設(shè)計的繁瑣過程,還兼顧了工程設(shè)計人員的實踐經(jīng)驗。相比于常見的二次型,該方法采用的時變加權(quán)性能指標具有更加通用的形式,簡化了狀態(tài)加權(quán)陣和控制加權(quán)陣的選取,只需試湊選取少量設(shè)計參數(shù)。這些優(yōu)點使其有望成為方便快捷、工程實用的多變量飛行控制律設(shè)計方法。文獻[1]給出了時變加權(quán)性能指標LQT輸出反饋設(shè)計方程,但未給出推導過程,也未在其他文獻中發(fā)現(xiàn)其推導過程[2-9]。

本文利用矩陣運算求導公式和極值原理,對此設(shè)計方程進行了理論推導,并以F-16飛機為被控對象,進行了俯仰速率控制系統(tǒng)的參數(shù)設(shè)計,并對設(shè)計結(jié)果進行了時域和頻域?qū)Ρ确治?初步驗證了該方法應用于工程設(shè)計的有效性和可行性。

1 時變加權(quán)LQT方法

1.1 階躍指令跟蹤器問題

圖1描述了一個具有期望補償器結(jié)構(gòu)的控制系統(tǒng)。具體到飛行控制系統(tǒng)中,“被控對象”對應飛機本體、作動器等;“性能輸出”為期望控制的飛機響應,如俯仰速率;“補償器”對應設(shè)計人員依據(jù)工程經(jīng)驗構(gòu)造的控制結(jié)構(gòu),包含濾波和積分環(huán)節(jié)等。

圖1 具有期望補償器的控制系統(tǒng)Fig.1 Control system with desired compensator

將補償器與被控對象的狀態(tài)變量合并為x,則該控制系統(tǒng)可定義為:

(1)

其中:

u=-[KL]×[yv]T

再考慮輸入與輸出反饋成比例u=-Ky,則整個閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程可表示為:

=(A-BKC)x+(G-BKF)r

(2)

在此基礎(chǔ)上,考慮階躍輸入響應的跟隨問題,可以推導并轉(zhuǎn)化為如下偏差系統(tǒng)的調(diào)節(jié)器問題[1]:

(3)

(4)

而跟蹤誤差的穩(wěn)態(tài)值為:

(5)

1.2 性能指標及設(shè)計方程推導

定義一個包含時間加權(quán)分量的性能指標:

(6)

(7)

假設(shè)存在Pk,使得

則有:

(8)

其中:

式中:Ωk為k維積分區(qū)域;dτk=dτk-1dτk-2…dτ0。

(9)

(10)

(11)

(12)

同理,迭代可得:

(13)

因此,存在一組{P0,P1,P2,…,Pk}滿足:

(14)

至此,時變加權(quán)性能指標的優(yōu)化問題(8)被轉(zhuǎn)化為以一組李雅普諾夫方程(14)為等式約束條件的、不含時變加權(quán)項的常規(guī)優(yōu)化問題:

(15)

為推導更快速的基于梯度的優(yōu)化算法,定義下列哈密頓函數(shù):

(16)

式中：Si為拉格朗日因子、半正定對角矩陣。

(2H)對Pi求偏導,得另一組李雅普諾夫方程:

(17)

(2H)對K求偏導:

(18)

則式(18)中右側(cè)的三項可分別展開為:

其中:

式中:[1ij]表示該矩陣的第(i,j)個元素為1,其余元素為0;Kij為矩陣K的第(i,j)個元素。

綜上所述,使H對K的偏導為零的條件為:

(19)

式(14)、式(16)、式(17)和式(19)構(gòu)成時變加權(quán)性能指標下的線性二次型輸出反饋設(shè)計優(yōu)化迭代方程。

2 俯仰速率控制律設(shè)計與分析

2.1 俯仰速率控制系統(tǒng)

以F-16飛機為例,利用時變加權(quán)LQT輸出反饋設(shè)計方法進行縱向俯仰速率控制律線性設(shè)計。選取設(shè)計狀態(tài)點參數(shù)為:高度為海平面;Ma=0.45,對應表速VC=550 km/h。依據(jù)工程經(jīng)驗構(gòu)造出俯仰速率控制系統(tǒng)框圖如圖2所示。

圖2 F-16飛機俯仰速率控制系統(tǒng)Fig.2 Pitch rate control system of F-16

2.2 飛機和控制系統(tǒng)動態(tài)模型

飛機采用二階線性模型,升降舵作動器模型采用二階模型。包含飛機、作動器、濾波器和積分器的增廣狀態(tài)變量x和輸出變量y為:

(20)

系統(tǒng)動態(tài)模型利用狀態(tài)方程矩陣來描述,參數(shù)見表1和隨后的矩陣。

表1 系統(tǒng)參數(shù)取值Table 1 Parameters of control system

A=[A1Α2]

B=[000wact20000]T

G=[00000100]T

F=[0001]T

H=[0000000cr2d]T

A1=

作動器和濾波器參數(shù)根據(jù)工程經(jīng)驗選取?？刂戚斎雞為升降舵指令:

(21)

2.3 性能指標和控制增益的確定

考慮三種性能指標,分別對應性能指標(6)中的k=2,1,0。前兩種為時變加權(quán)指標,設(shè)計時選擇P=HTH,Q=0,R=ρI，則只需要調(diào)節(jié)一個設(shè)計參數(shù)ρ,即

(22)

而第三種為定常加權(quán)指標,設(shè)計時需要調(diào)節(jié)兩個設(shè)計參數(shù)ρ和Q。

根據(jù)經(jīng)驗,K的初值取[-0.1,-0.1,0.5,0.1],能夠使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。對于k=2,1,分別選取不同ρ值,利用MATLAB平臺下的無約束多變量尋優(yōu)算法求解設(shè)計方程得到最優(yōu)增益。然后進行閉環(huán)系統(tǒng)線性階躍響應、開環(huán)系統(tǒng)頻率響應及穩(wěn)定裕度分析,并進行等效系統(tǒng)擬配獲得短周期頻率、CAP、阻尼比等飛行品質(zhì)指標,從中選取滿意的設(shè)計結(jié)果。對于k=0,積分器輸出加權(quán)系數(shù)固定為Q=100I。對于k=1,2利用同樣方法獲得滿意的設(shè)計結(jié)果。表2 給出了三種指標對應的設(shè)計結(jié)果,三種情況的迭代優(yōu)化過程都在數(shù)秒內(nèi)收斂。由表2可以看出,k=2的迭代次數(shù)最少,最終的性能指標也最小,k=1次之,k=0最差。

表2 優(yōu)化設(shè)計結(jié)果Table 2 Optimized design results

2.4 數(shù)字仿真與分析

飛機模型使用四階線性模型,狀態(tài)變量x和輸出變量y分別為:

(23)

飛機狀態(tài)方程和輸出方程如下:

(24)

其中:

B=[0.173 7-0.002 15-0.175 550]T

D=[0000-0.048 52]T

其他模型與設(shè)計模型相同。

圖3給出了閉環(huán)系統(tǒng)單位階躍響應。無論是快速性、控制誤差,還是阻尼特性,k=2對應的時變加權(quán)結(jié)果最好;k=1稍差,但與k=2無本質(zhì)差別;k=0最差。

圖4為開環(huán)系統(tǒng)尼克爾斯圖,斷開點位于升降舵指令處?？梢钥闯?，三個系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度都滿足規(guī)范要求。但k=0的尼克爾斯圖進入2.3 dB圓,系統(tǒng)的動態(tài)特性較差。

圖3 閉環(huán)系統(tǒng)單位階躍響應Fig.3 Unit step response of closed-loop control system

圖4 開環(huán)系統(tǒng)尼克爾斯圖Fig.4 Open-loop Nichols diagram

通過等效系統(tǒng)頻域擬配方法,獲得三個系統(tǒng)對應的飛機縱向短周期頻率ωsp、操縱期望參數(shù)Ke和阻尼比ζsp。飛行品質(zhì)指標見表3?？梢钥闯?計算結(jié)果均滿足一級品質(zhì)要求,k=2,1的結(jié)果位于最優(yōu)區(qū)。

表3 飛行品質(zhì)指標計算結(jié)果Table 3 Results of flight quality indexes

3 結(jié)束語

本文利用矩陣運算公式和極值原理對時變加權(quán)性能指標下的LQT設(shè)計方程進行了理論推導,并以F-16飛機為例進行了俯仰速率控制系統(tǒng)單個狀態(tài)點的參數(shù)設(shè)計,初步驗證了該方法的工程可行性和有效性。

本文僅就縱向單操縱面飛機的控制律進行了應用研究,下一步希望推廣應用于多操縱面高度靜不安定飛機的飛行控制律設(shè)計。

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(編輯：李怡)

Derivation and application of LQT design method with time-dependent-weighting performance index

LI Jian-ping1, TAO Cheng-gang1, LI Dao2

(1.Department of Flight Control, CADI, Chengdu 610091, China;2.School of Aeronautics, Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710072, China)

Using the matrix and extreme principles, the iteration equation focusing on Linear-Quadratic-Tracker (LQT) design method with time-dependent-weighting performance index was inferred. Pitch rate control system of F-16 was designed based on the flight control experience. Using the MATLAB/Simulink tool and multivariable optimization algorithm, LQT controllers were designed at a single state point with two different time-weighting performance indexes and a constant weighting performance index, the time domains and frequency domains responses were analyzed. The results verified that the feasibility and efficacy of time-weighting LQT method when applying to engineering design.

linear-quadratic-tracker; linear-quadratic-regulator; time-dependent-weighting performance index; control law; multivariable optimization algorithm

2014-04-17;

2014-09-17;

時間:2014-11-18 16:56

成都飛機設(shè)計研究所創(chuàng)新基金資助(GCDSC170)

李建平(1963-)，男，河南偃師人，研究員，碩士，主要從事飛行品質(zhì)和飛行控制研究。

V249.1

A

1002-0853(2015)01-0092-05