取值于局部凸空間向量測(cè)度的變差、半邊差與有界性

烏仁其其格，楊梅榮（赤峰學(xué)院　數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，內(nèi)蒙古　赤峰　024000）

取值于局部凸空間向量測(cè)度的變差、半邊差與有界性

烏仁其其格，楊梅榮
（赤峰學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，內(nèi)蒙古赤峰024000）

摘要：提出取值于局部凸空間向量測(cè)度的p-變差與p-半邊差的概念，通過(guò)給出有關(guān)p-變差與p-半邊差的幾個(gè)結(jié)論，給出了取值于局部凸空間有界向量測(cè)度族一致有界的充分條件.

關(guān)鍵詞：局部凸空間；向量測(cè)度；p-變差；p-半邊差；Nikodym有界性定理

1　預(yù)備知識(shí)

2有關(guān)p-變差與p-半邊差的幾個(gè)結(jié)論

容易驗(yàn)證，取值于局部凸分離空間的向量測(cè)度F的每個(gè)變差和半變差具有下列性質(zhì)：

（1）變差|?|p和半變差||?||p具有單調(diào)性；

（2）變差和半變差具有非負(fù)性；

（3）變差|?|p具有有限可加性，半變差||?||p具有半可加性；

（4）對(duì)任意的E∈F有||F||p（E)≤|F|p（E).

其中（4）的證明如下

||F||p（E)=sup{|x*F|（E):x*∈B（X*（p))}

例1.1取值于局部凸分離空間向量測(cè)度的例.

F（E)=（μn（E))，?E∈F

顯然F是取值于ω上的向量測(cè)度.

一般的，設(shè){μτ:τ∈T}是有限可加數(shù)值測(cè)度族.KT表示所有函數(shù)f:T→K構(gòu)成的線性空間，賦予點(diǎn)點(diǎn)收斂拓?fù)涫峭陚涞木植客狗蛛x空間，定義F:F→KT如下

F（E)（τ)=μτ（E)，?E∈F，τ∈T

F是取值于KT上的向量測(cè)度.

引理1.2對(duì)任意的x*∈X*（p)和x∈X，有|x*（x)|≤||x*||pp （x).

證明

引理1.3設(shè)（X，P)是局部凸分離空間，則對(duì)任意的p∈P和x∈X，有

定理1.4設(shè)（X，σP)是局部凸分離空間，F(xiàn):F→X是向量測(cè)度，p∈P，E∈F則

（2）sup{p[F（H)]:H?E，H∈F}≤||F||p（E)≤4sup{p[F（H)]:H?E，H∈F}

證明（1）設(shè)p∈P，E∈F

對(duì)每個(gè)A∈Π令

這樣|εA|≤1，且

因?yàn)閤*∈B（X*（p)根據(jù)引理1.2有

又根據(jù)引理1.3對(duì)E的任意F分劃和滿足條件|εA|≤1的有限族{εA，A∈Π}，有

所以

||F||p（H)≤||F||p（E)

故

sup{p[F（H)]:H?E，H∈F}≤||F||p（E).

對(duì)任意的x*∈B（X*（p)，設(shè)Π是E的關(guān)于F的任意分劃，當(dāng)X是實(shí)的局部凸分離空間時(shí)，記

這里Π+是使x*F（A)＞0的集合A構(gòu)成的有限族，Π-是使x*F（A)≤0的集合A構(gòu)成的有限族

當(dāng)X是復(fù)的局部凸分離空間時(shí)

x*F（A)=x1*F（A)-ix2*F（A)

其中x1*F（A)表示x*F（A)的實(shí)部，x2*F（A)表示x*F

（

A)的虛部，我們有||x1*||p≤||x*||p≤1，||x2*||p≤||x*||p≤1，所以

≤4sup{p[F（H)]:H?E，H∈F}

這樣

||F||p（E)≤4sup{p[F（H)]:H?E，H∈F}

從而

sup{p[F（H)]:H?E，H∈F}≤||F||p（E)

≤4sup{p[F（H)]:H?E，H∈F}

參考文獻(xiàn)：

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中圖分類(lèi)號(hào)：O177.99

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1673-260X（2015）09-0005-02