改進(jìn)的蒲豐投針問(wèn)題探究

代永嘉（吉林師范大學(xué)　數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林　四平　136000）

改進(jìn)的蒲豐投針問(wèn)題探究

代永嘉
（吉林師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林四平136000）

摘要：在蒲豐投針問(wèn)題的基礎(chǔ)上，將針投入平行線內(nèi)改進(jìn)到投入到正方形或正三角組成的平面內(nèi)，從而得到幾種新的概率結(jié)果和相關(guān)規(guī)律，同樣估計(jì)出了π的值.并對(duì)求出的π值進(jìn)行了方差分析，從而得到更有效的求π值的方法.

關(guān)鍵詞：蒲豐投針；相交概率；正多邊形；方差分析

1　引言

2　經(jīng)典蒲豐投針?biāo)玫母怕?/h2>

設(shè)將長(zhǎng)度為l的針投向一組距離為d的平行線中，求針與平面內(nèi)的直線相交的概率.

圖1

如圖1所示，用x表示針的中點(diǎn)到一條最近的直線的距離其夾角為α，則有

則

所以估計(jì)值π

3　正三角形組成的平面內(nèi)投針?biāo)玫母怕?/h2>

設(shè)平面是由邊長(zhǎng)為d的正三角形組成的平面，向平面內(nèi)投長(zhǎng)度為l的針，求針與平面內(nèi)的直線相交的概率.

Nh：針與水平的平行線相交；

Nk1：針與向右傾斜的平行線相交；

Nk2：針與向左傾斜的平行線相交.

假設(shè)在n次投針實(shí)驗(yàn)中，三次發(fā)生的事件分別是nh、nk1、nk2并帶入經(jīng)典蒲豐投針實(shí)驗(yàn)的估計(jì)值中

4　正四邊形組成的平面內(nèi)投針?biāo)玫母怕?/h2>

設(shè)平面是由邊長(zhǎng)為d的正方形組成的平面，向平面內(nèi)投長(zhǎng)度為l的針，求針與平面內(nèi)的直線相交的概率.

解由四邊形組成的平面，我們可以看成由兩組距離為d的平行線組成的平面考慮針與平面內(nèi)的直線相交的情況：

Nr：針與水平線相交；

Nc：針與垂直線相交.

假設(shè)上述事件發(fā)生分別是nr和nc

5　三種π值估計(jì)的方差比較

其最小方差無(wú)偏估計(jì)（UMVUR）中方差為

當(dāng)l/d=1時(shí)有最小值，此時(shí)π的漸進(jìn)方差為

其方差為

當(dāng)l/d=1時(shí)有最小值，漸進(jìn)方差為

方差為

可以看出我們通過(guò)新的方法求出的π2值比經(jīng)典蒲豐投針實(shí)驗(yàn)更加精確并且在運(yùn)算的過(guò)程中效率更高.由于在平面內(nèi)只有正四邊形，正三角形，才能構(gòu)成一個(gè)沒(méi)有縫隙的平面，其他正多邊行想要鋪滿整個(gè)平面的話只有與其它的圖形相組合，構(gòu)成內(nèi)角和為360度才可以，所以正多邊行組成的平面向內(nèi)投針研究起來(lái)比較復(fù)雜，但通過(guò)上述運(yùn)算我們發(fā)現(xiàn)同樣由其它圖形所構(gòu)成的平面我們?nèi)匀豢梢詷?gòu)造出多條平行線，并且通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)當(dāng)平行線越多時(shí)我們的計(jì)算結(jié)果越精確，相對(duì)來(lái)說(shuō)效率更高.還要指出的是在研究中我們僅考慮了針的長(zhǎng)度比平行線之間距離小的情況，沒(méi)有考慮其針的長(zhǎng)度比平行線的距離大的情況，相對(duì)來(lái)說(shuō)存在著一些誤差需要進(jìn)一步研究.

參考文獻(xiàn)：

〔1〕楊自強(qiáng).你也需要蒙特卡羅方法.2007，26（1）：110－120.

〔2〕馬麗，楊小雪.蒲豐(Buffon)投針問(wèn)題的一些推廣.2013，26 （2）.

〔3〕宋立新，王洪仁.蒲豐彎針問(wèn)題求解.2012，15（4）.

〔4〕茆詩(shī)松，程依明，濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程.北京：高等教育出版社，2004.24－25．

中圖分類(lèi)號(hào)：O211.5

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1673-260X（2015）09-0003-02