石博強(qiáng),段國晨,申焱華,余國卿

(北京科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,100083,北京)

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復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng)時(shí)變不確定性設(shè)計(jì)方法

石博強(qiáng),段國晨,申焱華,余國卿

(北京科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,100083,北京)

考慮機(jī)械系統(tǒng)參數(shù)隨時(shí)間的演化,基于連續(xù)時(shí)間模型和伊藤引理,推導(dǎo)建立了多參數(shù)復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng)時(shí)變不確定性計(jì)算模型,將系統(tǒng)整體時(shí)變不確定性由其漂移函數(shù)和波動(dòng)函數(shù)表達(dá),系統(tǒng)漂移函數(shù)和波動(dòng)函數(shù)則由底層時(shí)變參數(shù)的漂移率和波動(dòng)率決定,從而解析了機(jī)械系統(tǒng)時(shí)變不確定性設(shè)計(jì)的原理。與傳統(tǒng)方法相比,該多參數(shù)復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng)時(shí)變不確定性設(shè)計(jì)方法既可以針對(duì)各零件(或子系統(tǒng))進(jìn)行時(shí)變不確定性設(shè)計(jì),也可以建立統(tǒng)一的系統(tǒng)狀態(tài)方程,針對(duì)復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng)進(jìn)行不確定性設(shè)計(jì),并且算得的系統(tǒng)可靠度是動(dòng)態(tài)的,可以預(yù)測(cè)未來任意時(shí)刻的可靠度,從而為系統(tǒng)的未來發(fā)展趨勢(shì)提供先期預(yù)警,為設(shè)備維護(hù)提供指導(dǎo)。通過具體算例,說明了該設(shè)計(jì)方法的應(yīng)用。該設(shè)計(jì)方法具有普適性,可以推廣應(yīng)用于城市公交系統(tǒng)、城市給排水系統(tǒng)、燃?xì)庀到y(tǒng)、核電系統(tǒng)等的時(shí)變不確定性設(shè)計(jì)和可靠性分析。

時(shí)變不確定性設(shè)計(jì);機(jī)械系統(tǒng);可靠度

多參數(shù)復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng)的可靠性問題一直備受關(guān)注。目前,傳統(tǒng)的可靠性設(shè)計(jì)仍以概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)為基礎(chǔ),其思路是將機(jī)械系統(tǒng)的設(shè)計(jì)參數(shù)視為隨機(jī)變量,對(duì)各參數(shù)計(jì)算分布概率。在這種可靠性設(shè)計(jì)中,對(duì)任一設(shè)計(jì)參數(shù)一般是將時(shí)間的效應(yīng)一統(tǒng)歸于一個(gè)隨機(jī)變量,即將設(shè)計(jì)參數(shù)沿著時(shí)間坐標(biāo)軸的隨機(jī)演化壓縮成不隨時(shí)間演化的隨機(jī)變量。這樣處理較好地保持了數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性,但同時(shí)也要面對(duì)確定所謂的“聯(lián)合概率密度”的難題。

機(jī)械系統(tǒng)在其工作期間的演化過程非常復(fù)雜,時(shí)間在設(shè)計(jì)參數(shù)的不確定性(隨機(jī)性)中發(fā)揮著重要作用。從機(jī)械系統(tǒng)演化角度出發(fā),設(shè)計(jì)參數(shù)是一個(gè)沿時(shí)間坐標(biāo)軸的隨機(jī)過程。如何對(duì)這個(gè)不確定性過程進(jìn)行表達(dá)、模型化并解析出設(shè)計(jì)變量參數(shù)呢?另外,機(jī)械系統(tǒng)演化的隨機(jī)性,導(dǎo)致了機(jī)械系統(tǒng)特別是復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng)未來的不確定性,那么人們會(huì)問:我們所設(shè)計(jì)的機(jī)械系統(tǒng)會(huì)按照預(yù)先路徑走完它的生命歷程嗎?它的不確定性如何?或者它在將來任意時(shí)刻的可靠性如何?這些成為復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng)從設(shè)計(jì)角度需要解答的問題。

機(jī)械系統(tǒng)是指具有特定功能、由相互具有聯(lián)系的2個(gè)或2個(gè)以上的要素組成的整體。一個(gè)大的系統(tǒng)可以由若干個(gè)小系統(tǒng)組成,這些小系統(tǒng)常稱作子系統(tǒng),子系統(tǒng)可包含更小的子系統(tǒng)。機(jī)械零件是機(jī)械系統(tǒng)中最小的子系統(tǒng)。機(jī)械系統(tǒng)的不確定性取決于各子系統(tǒng)的不確定性,子系統(tǒng)的不確定性又與各零件的不確定性密切相關(guān)。復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng)多是混聯(lián)系統(tǒng),子系統(tǒng)(零件)既有串聯(lián)也有并聯(lián)。系統(tǒng)不確定性可歸結(jié)為各個(gè)子系統(tǒng)和零件的不確定性以及它們的構(gòu)成關(guān)系,因此機(jī)械系統(tǒng)的不確定性設(shè)計(jì)就轉(zhuǎn)化為各零件的不確定性設(shè)計(jì)。

本文考慮了時(shí)間效應(yīng)對(duì)系統(tǒng)不確定性的影響,使時(shí)間坐標(biāo)下的不確定性效應(yīng)不再被人為“壓縮”。文中提出的時(shí)變不確定性設(shè)計(jì)方法可以針對(duì)各零件(或子系統(tǒng))進(jìn)行時(shí)變不確定性設(shè)計(jì),或者建立統(tǒng)一的系統(tǒng)狀態(tài)方程,針對(duì)系統(tǒng)設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行不確定性設(shè)計(jì)。

本文提出的時(shí)變不確定性設(shè)計(jì)方法涉及到隨機(jī)集理論、定量風(fēng)險(xiǎn)分析和魯棒性分析等多種理論[1-3]。國內(nèi)外的學(xué)者已在許多領(lǐng)域?qū)r(shí)變不確定因素的影響進(jìn)行了大量研究:方永鋒等人基于應(yīng)力-強(qiáng)度干涉理論和隨機(jī)過程理論,建立了結(jié)構(gòu)強(qiáng)度退化條件下的結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)可靠性預(yù)測(cè)模型,獲得了隨時(shí)間變化的結(jié)構(gòu)可靠度[4];王澤群等人通過建立時(shí)間響應(yīng)曲面,將時(shí)變可靠性分析轉(zhuǎn)化為時(shí)間無關(guān)的可靠性分析,然后使用傳統(tǒng)的可靠性分析方法來解決問題[5];Andrieu-Renaud等人基于異型雜交,使用傳統(tǒng)的可靠性分析方法來解決時(shí)變可靠性分析的問題[6];Grigorin等人基于變量極值理論,求解了隨機(jī)環(huán)境下動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的可靠性[7];Jiang等人借助凸面模型建立了變量特征函數(shù),利用非概率分析方法解決結(jié)構(gòu)時(shí)變不確定性問題[8]。本文以作者先前的研究成果[9-10]為基礎(chǔ),建立了多參數(shù)機(jī)械系統(tǒng)的時(shí)變不確定性設(shè)計(jì)方法,并給出了設(shè)計(jì)算例。與作者先前的方法相比,本文提出的設(shè)計(jì)方法不再局限于對(duì)單個(gè)零件的設(shè)計(jì)分析,而是對(duì)整個(gè)機(jī)械系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計(jì)分析。

1 數(shù)學(xué)模型

設(shè)G為系統(tǒng)特征函數(shù),是x(t)和t的可微函數(shù),其中x(t)是一個(gè)伊藤過程,它滿足

dx(t)=μ(x(t),t)dt+σ(x(t),t)dwt

(1)

式中:μ和σ分別是隨機(jī)過程xt的漂移函數(shù)和波動(dòng)函數(shù);wt表示一個(gè)維納過程。維納過程是一個(gè)特殊的伊藤過程,滿足式(1)中取μ(x(t),t)=0、σ(x(t),t)=1的情形。

對(duì)于隨機(jī)變量x(t),常假定其服從一個(gè)特殊的伊藤過程

dx(t)=λx(t)dt+δx(t)dwt

(2)

式中:λ為漂移率,δ為波動(dòng)率,它們均為定值。漂移函數(shù)為μ(x(t),t)=λx(t),波動(dòng)函數(shù)為σ(x(t),t)=δx(t),則根據(jù)伊藤引理[11]有

(3)

但是在工程實(shí)際中,一個(gè)系統(tǒng)常需要考慮多個(gè)隨機(jī)過程的影響,因此需要對(duì)伊藤引理進(jìn)行推廣。

系統(tǒng)特征函數(shù)為G(x(t),y(t),t),x(t)、y(t)均為伊藤過程。對(duì)系統(tǒng)特征函數(shù)進(jìn)行泰勒展開,變?yōu)?/p>

(4)

伊藤過程xt、yt的離散形式為

(5)

根據(jù)式(5)可得

(6)

式(5)兩式的第一項(xiàng)滿足

E(σ2ε2Δt)=σ2Δt; var(σ2ε2Δt)=2σ4(Δt)2

dG=μGdt+σGdwt

(7)

式中

μG、σG是μG(x(t),y(t),t)和σG(x(t),y(t),t)省略了變?cè)男问?。推廣至擁有n個(gè)伊藤過程的多參數(shù)系統(tǒng)G(x1,x2,…,xn,t),仍然可推得式(7),所不同的是

對(duì)方程(7)積分可得

(8)

式中:G(0)表示系統(tǒng)在零時(shí)刻的初始值;右面最后一項(xiàng)是一個(gè)隨機(jī)積分。

2 設(shè)計(jì)方法

在機(jī)械系統(tǒng)設(shè)計(jì)中,常常引入許用值的概念,通過建立系統(tǒng)特征參數(shù)實(shí)際值與許用值的干涉模型來求解機(jī)械系統(tǒng)可靠度。本文所提出的系統(tǒng)時(shí)變不確定性設(shè)計(jì)方法在建立干涉模型時(shí)考慮了時(shí)間演變的影響,求解的是系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)可靠度。工程實(shí)際經(jīng)驗(yàn)表明,系統(tǒng)參數(shù)多服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。

以強(qiáng)度 [S]-應(yīng)力S干涉模型為例,考慮時(shí)變因素的動(dòng)態(tài)干涉模型如圖1所示。在t=0時(shí)刻,系統(tǒng)的可靠度

R(0)=P(G[S](0)>GS(0))=

P(lnG[S](0)-lnGS(0)>0)

在t=T時(shí)刻,系統(tǒng)的可靠度

R(T)=P(G[S](T)>GS(T))=

P(lnG[S](T)-lnGS(T)>0)

對(duì)上述公式進(jìn)行推導(dǎo)可得

(9)

圖1 動(dòng)態(tài)干涉模型

3 漂移率與波動(dòng)率估計(jì)

對(duì)于復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng)的時(shí)變不確定性設(shè)計(jì),時(shí)變可靠度的計(jì)算需要根據(jù)歷史觀測(cè)數(shù)據(jù)獲得其子系統(tǒng)的隨機(jī)過程xt的漂移率λ和波動(dòng)率δ2,然后通過式(7)計(jì)算得到總系統(tǒng)的漂移函數(shù)μG和波動(dòng)函數(shù)σG。

根據(jù)伊藤引理有

(10)

(11)

(12)

4 設(shè)計(jì)算例

采用螺栓組聯(lián)結(jié)時(shí),由于各螺栓的空間位置不同,所以各螺栓的工作條件也有所不同,這就造成了各個(gè)螺栓在所聯(lián)結(jié)的機(jī)械系統(tǒng)中的工作狀況的復(fù)雜性,其應(yīng)力隨之表現(xiàn)為隨時(shí)間演化的復(fù)雜性變化。如圖2所示,對(duì)稱布置的緊螺栓組聯(lián)結(jié)的初始條件為:所受傾覆力矩M=40 kN·m,各螺栓到回轉(zhuǎn)中心軸線的距離r=125 mm,預(yù)緊力Fp=160 kN,螺栓屈服強(qiáng)度 [S]=575 MPa。1、4號(hào)螺栓與2、3號(hào)螺栓的高度不同;1、4號(hào)螺栓暴露在空氣中,2、3號(hào)螺栓浸在液體中,各螺栓的工作條件不同。各螺栓的傾覆力矩、回轉(zhuǎn)半徑、螺栓直徑、預(yù)緊力和屈服強(qiáng)度均服從不同參數(shù)的伊藤過程。按10 a(年)后螺栓的可靠度R(10 a)=95%設(shè)計(jì)螺栓。

圖2 螺栓組布置示意圖

根據(jù)力矩平衡及變形協(xié)調(diào)條件,可得各螺栓所受工作載荷

4個(gè)螺栓的回轉(zhuǎn)半徑相同,所以有

(13)

(14)

式中:c1、c2分別為螺栓和被連接件的剛度。

設(shè)計(jì)時(shí)引入扭矩影響系數(shù),取1.3,則螺栓拉應(yīng)力

(15)

由式(7)可得

由式(13)得

所以

(16)

相對(duì)剛度和各螺栓到翻轉(zhuǎn)軸線的距離的變化對(duì)各螺栓所受載荷影響極小,故可忽略,這里取相對(duì)剛度c1/(c1+c2)=0.25。觀測(cè)值的時(shí)間間隔Δ=10 d。傾覆力矩及強(qiáng)度的歷史觀測(cè)數(shù)據(jù)如圖3所示。

(a)傾覆力矩

(b)強(qiáng)度圖3 傾覆力矩及強(qiáng)度的歷史觀測(cè)數(shù)據(jù)

對(duì)傾覆力矩和強(qiáng)度進(jìn)行歷史數(shù)據(jù)仿真,可得

根據(jù)R(10 a)=95%,可求得d1≥22.594 mm。初選M30螺栓,其螺紋小徑d1=27.727 mm。

1號(hào)螺栓螺紋小徑d1和預(yù)緊力Fp的歷史觀測(cè)數(shù)據(jù)如圖4所示。

(a)螺紋小徑

(b)預(yù)緊力圖4 1號(hào)螺栓螺紋小徑和預(yù)緊力的歷史觀測(cè)數(shù)據(jù)

對(duì)螺紋小徑和預(yù)緊力進(jìn)行歷史觀測(cè)數(shù)據(jù)仿真,可得

μM=λMF(t);σM=δMF(t)

μFp=λFpFp(t);σFp=δFpFp(t)

μd1=λd1d1(t);σd1=δd1d1(t)

將其代入式(9),10、11、12 a后的可靠度計(jì)算中取T=3 650 d, 4 015 d, 4 380 d,得

R(3 650 d)=Φ(3.37)=0.999 6

R(4 015 d)=Φ(2.61)=0.988 1

R(4 380 d)=Φ(0.62)=0.732 4

2號(hào)螺栓d1和Fp的歷史觀測(cè)數(shù)據(jù)如圖5所示。

(a)螺紋小徑

(b)預(yù)緊力圖5 2號(hào)螺栓螺紋小徑和預(yù)緊力的歷史觀測(cè)數(shù)據(jù)

對(duì)d1和Fp進(jìn)行歷史觀測(cè)數(shù)據(jù)仿真,可得

將其代入式(9),10、11、12 a后的可靠度計(jì)算中取T=3 650 d, 4 015 d, 4 380 d,得

R(3 650 d)=Φ(1.77)=0.961 6

R(4 015 d)=Φ(1.20)=0.884 9

R(4 380 d)=Φ(0.54)=0.705 4

5 結(jié) 語

本文基于機(jī)械系統(tǒng)隨時(shí)間演化的不確定性思想,利用隨機(jī)積分中的伊藤引理,推導(dǎo)建立了多參數(shù)系統(tǒng)時(shí)變不確定性計(jì)算模型,提出了考慮時(shí)間效應(yīng)的機(jī)械系統(tǒng)時(shí)變不確定性設(shè)計(jì)方法。該方法將系統(tǒng)整體時(shí)變不確定性由系統(tǒng)的漂移函數(shù)和波動(dòng)函數(shù)表達(dá),而系統(tǒng)漂移函數(shù)和波動(dòng)函數(shù)則由底層多個(gè)時(shí)變參數(shù)的漂移率和波動(dòng)率表達(dá),從而解析了復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng)時(shí)變不確定性設(shè)計(jì)的原理。另外,通過該方法計(jì)算的可靠度是動(dòng)態(tài)的,在設(shè)計(jì)階段就能“預(yù)先”已知系統(tǒng)任一時(shí)刻的可靠性,

從而可為系統(tǒng)的未來發(fā)展趨勢(shì)提供先期預(yù)警,對(duì)設(shè)備維護(hù)提供指導(dǎo)。文中給出了算例,說明了該方法的應(yīng)用。同時(shí),本文的方法對(duì)于其他系統(tǒng)設(shè)計(jì)具有普適性,可以推廣應(yīng)用于城市公交系統(tǒng)、城市給排水系統(tǒng)、燃?xì)庀到y(tǒng)、核電系統(tǒng)等其他領(lǐng)域的時(shí)變不確定性設(shè)計(jì)和可靠性分析中。

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(編輯 葛趙青)

Evolution-Based Uncertainty Design for Complex Mechanical Systems

SHI Boqiang,DUAN Guochen,SHEN Yanhua,YU Guoqing

(School of Mechanical Engineering, University of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, China)

Considering the evolution of mechanical system parameters, and based on the continuous-time model and Ito Lemma, a time-varying reliability calculation model of multi-parameter complex mechanical system is established. In this model the systems’ time-varying uncertainty can be expressed by drift functions and volatility functions, which are dependent on the drift rate and volatility rate known from basic design parameters. Thus the principle of evolution-based uncertainty design (EBUD) for complex mechanical systems is expounded. Compared with the traditional methods, this method can be applied to either the evolution-based uncertainty design of the elements (or subsystems), or the uncertainty design for complex mechanical systems by establishing uniform system state equations. By this means, the dynamic system reliability can be obtained, and the reliability at any time in the future can be calculated. Thereby the time-varying reliability calculation model can forecast the system’s future development trend and offer early warnings, giving proper advice for the equipment maintenance. Taking the design of bolt group as an example and with the model applied, the time-varying reliabilities of screws in different positions are calculated and compared. In this example, the basic time-varying parameters include the turning torqueM, the pre-loadFp, the minor diameterd1and the yield strength [S] of the screws. This method can also be used in other fields, such as evolution-based uncertainty design and reliability analysis of urban traffic control system, urban water-supply and drainage system, urban gas supply system, and so on.

evolution-based uncertainty design (EBUD); mechanical system; reliability

2014-08-11。 作者簡介:石博強(qiáng)(1962—),男,教授,博士生導(dǎo)師。 基金項(xiàng)目:國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51075029)。

時(shí)間: 2014-12-24

網(wǎng)絡(luò)出版地址: http:∥www.cnki.net/kcms/detail/61.1069.T.20141224.1607.004.html

10.7652/xjtuxb201503014

TH122

A

0253-987X(2015)03-0080-05