y=a₁x²+b₁+c₁/a₂x²+b₂+c₂（a₁，a₂不同時(shí)為零）值域的求法探討

朱鴻

【關(guān)鍵詞】函數(shù) 值域

【中圖分類號(hào)】O119 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2015）01-0117-02

比較多，但這些方法的出現(xiàn)往往都是為了應(yīng)用函數(shù)的某個(gè)性質(zhì)或知識(shí)點(diǎn)的需要，如函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式等，比較凌亂，缺乏系統(tǒng)性。在什么情況下用什么方法比較好，在什么情況下那些方法不能用，沒(méi)有進(jìn)一步探討和甄別，結(jié)果出現(xiàn)情況發(fā)生了改變，而仍然沿用某個(gè)方法，導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤. 下面本人就求解這類函數(shù)值域問(wèn)題，略作探討。

一、判別式法

當(dāng)函數(shù)的定義域是由函數(shù)本身確定，沒(méi)有任何人為的限制，這時(shí)用判別式法比較好。

的形式，此時(shí)可把方程（2）看作關(guān)于的一元二次方程。因?yàn)楹瘮?shù)的定義域不為空集，所以方程（2）有實(shí)數(shù)根，因此判別式

△[b（y）]2-4a（y）c（y）≥0 （3）

解不等式（3），記所得到的y的取值范圍為M.那么M是否為函數(shù)（1）的值域？關(guān)鍵要看從函數(shù)（1）變形到方程（2）是否為同解變形，自變量x的取值范圍是否擴(kuò)大或縮小，方程（2）解的討論是否影響y的取值范圍？下面就這個(gè)問(wèn)題分情況進(jìn)行討論。

1.當(dāng)函數(shù)的定義域是R，即對(duì)任意實(shí)數(shù)x，a2x2+b2x+c2≠0時(shí)，從函數(shù)（1）變形到方程（2）是同解變形。

顯然x=x0不是方程（2）的解。所以，從函數(shù)（1）變形到方程（2）也是同解變形。

即在定義域的這兩種情況下，從函數(shù)（1）變形到方程（2），自變量的取值范圍沒(méi)發(fā)生變化，不會(huì)影響y的取值范圍，那么再看方程（2）解的討論是否會(huì)對(duì)y的取值范圍產(chǎn)生影響。

（I）若對(duì)于任意的y∈M，有a（y）≠0，由一元二次方程根判別式可知，方程（2）有實(shí)根與不等式（3）是互為充要條件，對(duì)y的取值范圍沒(méi)影響，所以函數(shù)（1）的值域是M。

（II）若存在y0∈M，使a（y0）=0，此時(shí)方程（2）是關(guān)于的一次方程：

b（y0）x+c（y0）=0 （4）

若[b（y0）]2-4a（y0）c（y0）>0，則b（y0）≠0，方程（4）有解，對(duì)y取值范圍沒(méi)影響，所以函數(shù)（1）的值域是M。

若[b（y0）]2-4a（y0）c（y0）=0，則b（y0）=0，此時(shí)，當(dāng)c（y0）=0時(shí)，方程（4）恒成立，顯然有解，對(duì)y的取值范圍沒(méi)影響，所以函數(shù)（1）的值域是M。當(dāng)c（y0）≠0時(shí)，方程（4）無(wú)解，這時(shí)y0不是函數(shù)（1）的函數(shù)值，所以函數(shù)（1）的值域是M中剔除y0所得的集合。

綜上討論，有下面結(jié)論：

解∵ x2+x+1>0

∴函數(shù)的定義域?yàn)镽

將原函數(shù)變形，得

（y-1）x2+（y+1）x+y+1=0

當(dāng)y≠1時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域不為空集，所以，上面方程有解，因此

△=（y+1）2-4（y-1）2≥0

解∵x2-x-2≠0

∴x≠-1且x≠2

∴函數(shù)的定義域?yàn)閧x∈R|x≠-1且x≠2}，并且x=-1或x=2時(shí)，分子x+4≠0

將原函數(shù)變形，得

yx2-（y+1）x-（2y+4）=0

當(dāng)y≠0時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域不為空集，所以，上面方程有解，因此

△=（y+1）2+8y（y+2）≥0

當(dāng)y=0時(shí)，解得x=-4，且-4∈{x∈R|x≠-1且x≠2}

所以函數(shù)的值域?yàn)?/p>