單相受熱管動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型的改進(jìn)

徐嘯虎 周克毅 韋紅旗 黃軍林

(東南大學(xué)能源熱轉(zhuǎn)換及其過(guò)程測(cè)控教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京210096)

單相受熱管集總參數(shù)建模是電站鍋爐實(shí)時(shí)仿真領(lǐng)域中的重要研究?jī)?nèi)容之一［1-8］.動(dòng)態(tài)過(guò)程中，管壁與工質(zhì)存在蓄熱、儲(chǔ)質(zhì)變化，管壁對(duì)工質(zhì)的放熱量一般與穩(wěn)態(tài)計(jì)算值并不一致.但建模時(shí)，管壁與工質(zhì)間的放熱量基本都采用靜態(tài)方程計(jì)算，這不利于受熱管仿真精度的進(jìn)一步提高.理論分析表明，以出口參數(shù)為代表參數(shù)的一維集總參數(shù)模型，單段上的精度僅同一階迎風(fēng)格式相當(dāng)［8-9］.盡管通過(guò)各種分多段方式，如多段串聯(lián)方法［2］、兩段嵌套方法［10］和三段鏈?zhǔn)椒椒ǎ?1］等，理論上可以提高受熱管整體的仿真精度，但就單段控制體而言，上述建模方式并沒(méi)有本質(zhì)的區(qū)別，單段控制體的精度也沒(méi)有提高.

為提高集總參數(shù)模型在單個(gè)控制體上的仿真精度，20 世紀(jì)90年代以來(lái)，出現(xiàn)了基于動(dòng)態(tài)補(bǔ)償或修正的建模方法［12-15］.通過(guò)對(duì)比分析集總參數(shù)模型與分布參數(shù)模型在系統(tǒng)傳遞函數(shù)上的差異，進(jìn)而建立用以補(bǔ)償或修正的數(shù)學(xué)模型［12-13］，或在集總參數(shù)的選擇上采用“移動(dòng)參數(shù)”，用以修正模型的輸運(yùn)延遲［14-15］.因補(bǔ)償或修正環(huán)節(jié)的特征參數(shù)與研究對(duì)象有關(guān)，此類方法對(duì)于特定物理參數(shù)及工況的受熱管易取得較好的效果.

為使管壁放熱量計(jì)算能反映管內(nèi)工質(zhì)動(dòng)態(tài)過(guò)程，提高單段上控制體模型的精度，同時(shí)保持多段模型易于顯式求解的優(yōu)點(diǎn)，本文從描述單相受熱管動(dòng)態(tài)過(guò)程的一維偏微分方程出發(fā)，將方程中的時(shí)空分離，采用解析和集總參數(shù)相結(jié)合的方法，建立了一種新的單相受熱管動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型(以下簡(jiǎn)稱混合模型).其中，管壁對(duì)工質(zhì)放熱量的計(jì)算模型不再是靜態(tài)計(jì)算公式，而是同管內(nèi)工質(zhì)蓄熱和儲(chǔ)質(zhì)過(guò)程相關(guān)的動(dòng)態(tài)方程.理論分析和仿真結(jié)果表明，相同情況下(集總參數(shù)均取出口參數(shù))，混合模型比以往采用靜態(tài)傳熱公式的集總參數(shù)模型更接近分布參數(shù)模型;模型在入口溫度階躍響應(yīng)方面的改進(jìn)尤為明顯，可以更好地反映系統(tǒng)響應(yīng)的輸運(yùn)延遲特性.

1 建模原理

1.1 描述單相管動(dòng)態(tài)過(guò)程的一維微分方程組

一維集總參數(shù)的物理模型是在空間上對(duì)三維分布參數(shù)物理模型進(jìn)行一維簡(jiǎn)化后得到的［1-2］，物理模型如圖1所示.

描述單相管動(dòng)態(tài)過(guò)程的一維微分方程有:

質(zhì)量守恒方程(連續(xù)性方程)

圖1 單相受熱管物理模型

式中，D 為工質(zhì)流量;ρ 為工質(zhì)密度;z 為長(zhǎng)度;τ 為時(shí)間;F 為管內(nèi)橫截面積.

能量守恒方程

式中，Q2為單位長(zhǎng)度上管壁對(duì)工質(zhì)的放熱量;h 為工質(zhì)焓;P 為工作壓力.

單位長(zhǎng)度上管壁對(duì)工質(zhì)的放熱方程

式中，T 為工質(zhì)溫度;Tj為管壁金屬溫度;α2為管內(nèi)壁對(duì)工質(zhì)的放熱系數(shù)，精度和理論分析時(shí)近似認(rèn)為與流量的n 次方成正比，并取n=0.8;K2為比例系數(shù);d2為管內(nèi)直徑;U2為管內(nèi)壁周長(zhǎng).

動(dòng)量守恒方程

式中，Pd為單位長(zhǎng)度的壓損.

熱力學(xué)狀態(tài)方程

管壁金屬熱平衡方程

式中，Q1為單位長(zhǎng)度上煙氣對(duì)管壁的放熱量;cj為金屬比熱;mj為單位長(zhǎng)度的金屬質(zhì)量.

式(7)僅在時(shí)間維上對(duì)管壁溫度有熱平衡約束，沿長(zhǎng)度方向上，管壁溫度為集總參數(shù)，即0.在采用強(qiáng)制熱流量分析受熱管動(dòng)態(tài)特性時(shí)，方程組不包括煙氣側(cè)放熱方程.此時(shí)，Q1作為預(yù)先計(jì)算值或邊界條件代入計(jì)算.以下在精度分析時(shí)也將Q1作強(qiáng)制熱流量處理.

1.2 工質(zhì)出口溫度和管壁放熱量動(dòng)態(tài)方程

由式(6)可得到如下鏈?zhǔn)奖磉_(dá)式:

式中，cp為工質(zhì)比熱.對(duì)于同樣有:

將式(8)和(9)代入式(2)，得

式中，ω 為工質(zhì)流速.

考慮到壓力-流量通道的動(dòng)態(tài)過(guò)程遠(yuǎn)快于焓-溫通道，在進(jìn)行焓-溫通道計(jì)算時(shí)，通常認(rèn)為壓力-流量通道的動(dòng)態(tài)過(guò)程已經(jīng)結(jié)束，即另一方面，對(duì)于阻力集中于入口或出口的壓力-流量通道模型，認(rèn)為管內(nèi)壓力是沿空間均勻分布的，即Pd=0.進(jìn)一步簡(jiǎn)化式(10)，得

式(11)為時(shí)變的非線性偏微分方程，若任一τ 時(shí)刻，等式右邊項(xiàng)可確定上述方程可轉(zhuǎn)換為常系數(shù)的非齊次微分方程.積分并代入τ 時(shí)刻的邊界條件(Tj－T)z=0=Tj－T1，其解為

式中，T1，T2分別為管內(nèi)工質(zhì)入口和出口溫度;L 為受熱管總長(zhǎng)度;A2為管內(nèi)表面積，A2=U2L.

同樣，利用式(11)也可得到沿管長(zhǎng)方向任意位置的工質(zhì)溫度，將其代入式(3)并積分，得到管壁對(duì)工質(zhì)的放熱量的動(dòng)態(tài)方程:

式(7)、(12)和(13)構(gòu)成了新的單相受熱管動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型.模型的推導(dǎo)過(guò)程是按照傳熱微元積分的方法進(jìn)行的，因此管壁放熱量模型反映了管內(nèi)工質(zhì)的動(dòng)態(tài)過(guò)程，而以往的集總參數(shù)模型均不具備這一特點(diǎn).

為了考察混合模型的最終穩(wěn)態(tài)值，令式(12)和(13)中的時(shí)變項(xiàng)得到

式中，下標(biāo)0 表示穩(wěn)態(tài)時(shí)參數(shù).由傳熱學(xué)可知，式(14)、(15)與按對(duì)數(shù)傳熱溫差計(jì)算傳熱量的穩(wěn)態(tài)方程是等價(jià)的，且同參數(shù)T*的選擇無(wú)關(guān).

對(duì)于參數(shù)T*，從建模的角度分析，也可認(rèn)為是管內(nèi)工質(zhì)的集總參數(shù)，可按已有集總參數(shù)模型選擇.如選擇工質(zhì)出口溫度T2，此時(shí)方程組待求量為和用矩陣形式可描述為A·y=S，其中

式中，Mj為管壁金屬總質(zhì)量，Mj=mjL;ˉQ1為煙氣對(duì)受熱管的總放熱量.

由于混合模型與傳統(tǒng)的集總參數(shù)模型在形式上存在明顯差別，因此有必要對(duì)其進(jìn)行精度分析和仿真實(shí)驗(yàn).在以下分析和計(jì)算中，混合模型均采用T2代替T*的形式.

2 模型精度分析

由基本方程(7)、(12)和(13)分別得到工質(zhì)在入口溫度、熱流量和流量這3 種擾動(dòng)下的對(duì)象傳遞函數(shù)，并對(duì)其在零點(diǎn)(s=0)作泰勒展開(kāi)，以考察混合模型與分布參數(shù)模型［1-2］的逼近程度，以及混合模型相對(duì)傳統(tǒng)集總參數(shù)模型(以下稱集總參數(shù)模型)的優(yōu)勢(shì).

2.1 傳遞函數(shù)

分別對(duì)式(7)、(12)和(13)進(jìn)行線性化處理，并以時(shí)間τ 為自變量進(jìn)行Laplace 變換，得到入口溫度擾動(dòng)時(shí)的傳遞函數(shù)Wη(s)為［16］

式中，Tm為管壁金屬蓄熱時(shí)間常數(shù);ad為動(dòng)態(tài)參數(shù)，ad=α20A2/(D0cp);τ0為流動(dòng)時(shí)間，τ0=L/ω0.

熱流量擾動(dòng)時(shí)的傳遞函數(shù)Wq(s)為［16］

流量擾動(dòng)時(shí)的傳遞函數(shù)Wd(s)為［16］

2.2 精度分析

理論上常用時(shí)域分析法來(lái)比較分析熱工環(huán)節(jié)的動(dòng)態(tài)特性.通過(guò)對(duì)比傳遞函數(shù)在s=0 點(diǎn)的Taylor 展開(kāi)式，可定性地分析模型間的逼近程度.對(duì)于模型在擾動(dòng)初始時(shí)刻和穩(wěn)態(tài)終值方面的響應(yīng)特性，則可應(yīng)用Laplace 變換的初值定理和終值定理進(jìn)行分析.簡(jiǎn)化的分布參數(shù)模型的傳遞函數(shù)有如下形式［2］:

在相同條件下，集總參數(shù)模型的傳遞函數(shù)為［1］

根據(jù)Laplace 初值定理和終值定理，易得到在s→∞和s→0 時(shí)混合模型的3 個(gè)傳遞函數(shù)均與分布參數(shù)模型對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)的計(jì)算結(jié)果一致.這表明，混合模型在動(dòng)態(tài)響應(yīng)的初值和終值方面均無(wú)誤差.將式(16)～(24)在s=0 處作Taylor 展開(kāi)，省略高階項(xiàng)后得到3 種模型入口溫度擾動(dòng)傳遞函數(shù)的Taylor 展開(kāi)式:

得到的3 種模型熱流量擾動(dòng)傳遞函數(shù)的Taylor 展開(kāi)式如下:

得到的3 種模型流量擾動(dòng)傳遞函數(shù)的Taylor 展開(kāi)式如下:

分別將混合模型、集總參數(shù)模型與分布參數(shù)模型所對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)相減，對(duì)于入口溫度擾動(dòng)的傳遞函數(shù)，二階精度上的比較結(jié)果為

對(duì)于熱流量擾動(dòng)的傳遞函數(shù)，一階精度上的比較結(jié)果為

對(duì)于流量擾動(dòng)的傳遞函數(shù)(n=0.8)，一階精度上的比較結(jié)果為

以上分析表明，同樣選擇工質(zhì)出口參數(shù)為集總參數(shù)的情況下，混合模型比集總參數(shù)模型更加接近于分布參數(shù)模型.

2.3 仿真結(jié)果比較

2.2 節(jié)理論精度分析是在不分段的情況下進(jìn)行的，分析內(nèi)容也僅限于在s=0 處作Taylor 展開(kāi).為進(jìn)一步說(shuō)明3 種模型在動(dòng)態(tài)過(guò)程的差異，有必要進(jìn)行仿真計(jì)算比較.仿真計(jì)算的對(duì)象為某超超臨界壓力鍋爐的過(guò)熱器，管內(nèi)工質(zhì)壓力為26.7 MPa，特征參數(shù)τ0=4.0 s，Tm=21.8 s.三種擾動(dòng)的仿真結(jié)果對(duì)比如圖2所示.

圖2 入口參數(shù)階躍擾動(dòng)后出口溫度響應(yīng)(物性不變)

從仿真結(jié)果可看出，集總參數(shù)模型和混合模型的響應(yīng)趨勢(shì)與分布參數(shù)基本一致，但混合模型的響應(yīng)過(guò)程均介于集總參數(shù)模型和分布參數(shù)模型之間.即在相同分段數(shù)情況下，混合模型的計(jì)算結(jié)果都更接近于分布參數(shù)模型，尤其是在入口溫度擾動(dòng)時(shí)，3段混合模型的精度明顯高于5 段集總參數(shù)模型.

3 考慮物性變化的混合數(shù)學(xué)模型

為考慮工質(zhì)儲(chǔ)質(zhì)和蓄熱過(guò)程對(duì)管壁放熱量的影響，還需補(bǔ)充連續(xù)性方程.結(jié)合傳統(tǒng)的多段集總參數(shù)建模思想，將受熱管沿管長(zhǎng)均分為n 段，其中第i 段的物理模型如圖3所示.

圖3 考慮物性變化的單個(gè)控制體物理模型

3.1 考慮物性變化的連續(xù)性方程

密度對(duì)時(shí)間的偏導(dǎo)數(shù)存在如下鏈?zhǔn)疥P(guān)系:

將式(25)代入式(1)，推導(dǎo)得到第i 段內(nèi)工質(zhì)的連續(xù)性方程:

式中，V 為管內(nèi)總?cè)莘e，V=FL;Din為受熱管入口流量.

式(26)與式(7)、(12)、(13)一起構(gòu)成了考慮物性變化的混合模型.各段模型中的待求量分別為工質(zhì)出口溫度、管壁金屬壁溫、流量和管壁對(duì)工質(zhì)的放熱量，且均為顯式形式.當(dāng)受熱管均分為n 段時(shí)，待求參數(shù)向量y 共有4n 個(gè)元素，表示為

3.2 考慮物性變化時(shí)的仿真結(jié)果對(duì)比

分別建立單相受熱管多段混合模型與多段集總參數(shù)模型.仿真對(duì)象與2.3 節(jié)一致，時(shí)間步長(zhǎng)均取0.1 s.計(jì)算結(jié)果如圖4所示.其中，用來(lái)比較的分布參數(shù)模型是通過(guò)流體力學(xué)計(jì)算軟件FLUENT建立的.采用FLUENT 數(shù)值模型可充分利用其中已有的大量經(jīng)驗(yàn)證的、較成熟的數(shù)學(xué)模型及其算法，確?；旌夏Ｐ?、集總參數(shù)模型對(duì)比驗(yàn)證的合理性.

圖4 入口參數(shù)階躍擾動(dòng)后出口溫度響應(yīng)(物性變化)

計(jì)算結(jié)果顯示，在相同條件下，混合模型比集總參數(shù)模型更接近分布參數(shù)模型的計(jì)算結(jié)果.尤其是在入口溫度階躍響應(yīng)方面，3 段混合模型的初始響應(yīng)便可較好地表現(xiàn)出管內(nèi)工質(zhì)特有的輸運(yùn)延遲現(xiàn)象，且同分布參數(shù)模型基本一致，而集總參數(shù)模型則與分布參數(shù)模型相差較大.

此外，混合模型的穩(wěn)態(tài)方程與按對(duì)數(shù)傳熱溫差求解傳熱量的計(jì)算公式是等價(jià)的，但兩者在形式上并不一致.混合模型不會(huì)出現(xiàn)對(duì)數(shù)傳熱溫差計(jì)算病態(tài)問(wèn)題，其動(dòng)態(tài)方程對(duì)大擾動(dòng)也有很好的適應(yīng)性，可用于鍋爐全工況的實(shí)時(shí)仿真計(jì)算［16］.

4 結(jié)論

1)混合模型是從描述受熱管傳熱和流動(dòng)的一維偏微分方程出發(fā)，按照傳熱微元積分的方式推導(dǎo)得到的，符合單相受熱管動(dòng)態(tài)過(guò)程機(jī)理.

2)由于管壁放熱量的動(dòng)態(tài)方程反映了管內(nèi)工質(zhì)蓄熱和儲(chǔ)質(zhì)過(guò)程對(duì)其計(jì)算值的影響，且其穩(wěn)態(tài)值與按對(duì)數(shù)傳熱溫差計(jì)算傳熱量的方程是等價(jià)的，使得模型在單個(gè)控制體上的仿真精度優(yōu)于常用的多段集總參數(shù)模型;精度分析表明，即使不考慮物性變化，混合模型的仿真精度也高于傳統(tǒng)的集總參數(shù)模型.

3)仿真結(jié)果表明，相比入口流量和熱流量的階躍響應(yīng)，混合模型對(duì)入口溫度階躍響應(yīng)的改進(jìn)尤為突出，能更好地反映系統(tǒng)響應(yīng)的輸運(yùn)延遲特性.

4)管內(nèi)工質(zhì)集總參數(shù)的選擇具有獨(dú)立性，這給模型的具體應(yīng)用帶來(lái)較高的自由度和通用性.既可以按多段串聯(lián)的方式建模，也可按多段嵌套或鏈?zhǔn)椒绞浇?對(duì)于特定研究對(duì)象，也可以按照移動(dòng)參數(shù)方式建立相關(guān)數(shù)學(xué)模型.

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