彈性力學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)與力學(xué)問題的美學(xué)探討

劉章軍++雷進生

摘要：考慮工科本科生教學(xué)特點，在彈性力學(xué)教學(xué)中，抓住數(shù)學(xué)和力學(xué)問題的內(nèi)在聯(lián)系，采用矩陣表達(dá)的形式闡述直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的變換關(guān)系，以及物理量（如位移、體力、應(yīng)力、應(yīng)變）的坐標(biāo)變換關(guān)系，并利用坐標(biāo)變換從直角坐標(biāo)中的基本方程直接導(dǎo)出極坐標(biāo)中的基本方程。按照這一教學(xué)思路，將數(shù)學(xué)知識與彈性力學(xué)有機結(jié)合，簡化基本方程的推導(dǎo)過程，在對知識點深入和透徹講解的同時，可與學(xué)生共同體會和分享數(shù)學(xué)與力學(xué)完美融合過程中的美學(xué)感受。

關(guān)鍵詞：彈性力學(xué)；本科教學(xué)；坐標(biāo)變換；基本方程；美學(xué)

中圖分類號：G6420文獻標(biāo)志碼：A文章編號：10052909（2015）01005905審美和求知是人類與生俱來的天性。數(shù)學(xué)和力學(xué)中的美學(xué)思想是科學(xué)美學(xué)的一個重要研究方向。自然界在本質(zhì)層次上是美的，揭示與描述數(shù)學(xué)與力學(xué)具有的簡潔美、對稱美、和諧美、統(tǒng)一美、奇異美等美學(xué)特征[1]，可以讓人們感受科學(xué)并不僅僅是繁瑣的計算、枯燥的實驗、冗長的資料，還可以帶來更多美的享受。

力學(xué)教學(xué)中有大量枯燥乏味的公式，深入、透徹地講解這些系統(tǒng)知識，幫助學(xué)生構(gòu)筑力學(xué)知識體系，是力學(xué)教師永恒的主題[2]。作為師者既要注重基礎(chǔ)力學(xué)的系統(tǒng)性，又要讓力學(xué)教學(xué)呈現(xiàn)豐富多彩的一面，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)掘其中的數(shù)學(xué)與力學(xué)之美。筆者結(jié)合彈性力學(xué)本科教學(xué)，以矩陣表達(dá)的形式統(tǒng)一介紹直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的變換關(guān)系，以及物理量（如位移、體力、應(yīng)力、應(yīng)變）的坐標(biāo)變換關(guān)系，并利用這些坐標(biāo)變換關(guān)系，直接從直角坐標(biāo)中的基本方程導(dǎo)出極坐標(biāo)中的基本方程，通過這一教學(xué)實踐來闡述數(shù)學(xué)與力學(xué)問題的美學(xué)感受?；跀?shù)學(xué)、力學(xué)與美學(xué)的關(guān)聯(lián)性開展教學(xué)，分享數(shù)學(xué)方法與力學(xué)技巧的美學(xué)感受，可加深對力學(xué)理論內(nèi)涵的理解，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)新能力。

一、坐標(biāo)變換關(guān)系中的美學(xué)

在彈性力學(xué)平面問題中，直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的變換關(guān)系、以及物理量（如位移、體力、應(yīng)力、應(yīng)變）的坐標(biāo)變換關(guān)系一般采用展開形式來表達(dá)，這種形式既繁瑣、難記憶，又不利于發(fā)現(xiàn)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的內(nèi)在聯(lián)系。雖然采用張量指標(biāo)記法可以達(dá)到更為簡潔的書寫目的，但對于初學(xué)者而言難于理解，在工科本科生的教學(xué)中不宜采用張量指標(biāo)記法。采用矩陣形式可以充分利用已學(xué)的數(shù)學(xué)知識[3]，能直觀地展現(xiàn)坐標(biāo)變換關(guān)系中的數(shù)學(xué)與力學(xué)美。

（一）直接坐標(biāo)與極坐標(biāo)的變換關(guān)系

直角坐標(biāo)（x，y）與極坐標(biāo)（ρ，φ）的一階導(dǎo)數(shù)變換公式，采用展開形式為[4]

采用矩陣形式表達(dá)，可以清晰地展現(xiàn)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的對應(yīng)關(guān)系：

自然地，從式（3）中能衍生出一些結(jié)論，例如算子：

總之，采用矩陣形式，體現(xiàn)了坐標(biāo)變換關(guān)系中的數(shù)學(xué)美：（1） 簡潔美，表達(dá)形式簡潔，容易記憶；（2）和諧美，體現(xiàn)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的內(nèi)在對應(yīng)關(guān)系；（3）對稱美，變換矩陣β是一個正交矩陣，即β-1=βT，這一優(yōu)良特性體現(xiàn)了直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)相互變換的對稱性。上述坐標(biāo)變換關(guān)系展示了以簡潔、和諧、對稱為主要形式的古典美。

（二）位移、體力的坐標(biāo)變換關(guān)系

在彈性力學(xué)問題中，位移和體力都屬于矢量，矢量的坐標(biāo)變換關(guān)系式，可直接采用矩陣形式來表達(dá)。例如，位移分量的坐標(biāo)變換關(guān)系[5]：

其中，fx和fy為直角坐標(biāo)中的體力分量，fρ和fφ為極坐標(biāo)中的體力分量。

可見，位移分量的坐標(biāo)變換式（5）、體力分量的坐標(biāo)變換式（6）與一階導(dǎo)數(shù)變換公式（1b）具有完全相同的變換形式，展現(xiàn)了數(shù)學(xué)和力學(xué)問題的統(tǒng)一性。因此，可將式（1b）、式（5）及式（6）統(tǒng)稱為一次坐標(biāo)變換關(guān)系式。

（三）應(yīng)力、應(yīng)變的坐標(biāo)變換關(guān)系

應(yīng)力張量或應(yīng)力矩陣的坐標(biāo)變換關(guān)系類似于坐標(biāo)的二階導(dǎo)數(shù)變換式（2b），采用矩陣形式表達(dá)為[5]：

為張量剪應(yīng)變。由此可見，應(yīng)力的坐標(biāo)變換式（7）、應(yīng)變的坐標(biāo)變換式（11）以及二階導(dǎo)數(shù)變換公式（2b），也具有完全統(tǒng)一的二次坐標(biāo)變換形式，進一步地展現(xiàn)了數(shù)學(xué)和力學(xué)問題的統(tǒng)一美。因此，可將式（2b）、式（7）和式（11）統(tǒng)稱為二次坐標(biāo)變換關(guān)系式。上述有關(guān)坐標(biāo)變換關(guān)系的矩陣表達(dá)形式，展現(xiàn)了數(shù)學(xué)和力學(xué)問題中的簡潔美、統(tǒng)一美和對稱美，對上述坐標(biāo)變換關(guān)系的深入探索可以獲得極坐標(biāo)中基本方法推導(dǎo)的奇異美。二、極坐標(biāo)中基本方程推導(dǎo)的美學(xué)在一般的本科彈性力學(xué)教材中，對于平面問題極坐標(biāo)中的基本方程，多采用與直角坐標(biāo)相類似的微元推導(dǎo)方法，其推導(dǎo)過程較為繁冗，學(xué)生學(xué)習(xí)比較困難。利用上述坐標(biāo)變換關(guān)系，將直角坐標(biāo)中的基本方程直接變換到極坐標(biāo)中，既是數(shù)學(xué)變換的自然結(jié)果，也是力學(xué)問題在直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)中表達(dá)的內(nèi)在統(tǒng)一結(jié)果。事實上，采用坐標(biāo)變換推導(dǎo)極坐標(biāo)中的基本方程，能進一步感受到數(shù)學(xué)與力學(xué)的神奇與美妙，展示出以統(tǒng)一和奇異為主要形式的浪漫美。

（一）平衡微分方程的推導(dǎo)根據(jù)式（1a），可知：

由式（16）可知，平衡微分方程的坐標(biāo)變換屬于一次坐標(biāo)變換關(guān)系式，體現(xiàn)了平衡微分方程在直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)中表達(dá)的內(nèi)在統(tǒng)一性。上述推導(dǎo)過程簡單、嚴(yán)謹(jǐn)、明了，清晰地展現(xiàn)了數(shù)學(xué)和力學(xué)問題的完美融合。采用矩形表達(dá)形式，能抓住力學(xué)問題的本質(zhì)，可對力學(xué)問題作更新、更深層次的探索。

（二）幾何方程的推導(dǎo)根據(jù)式（1a），有：

式（24）即為極坐標(biāo)中的物理方程（平面應(yīng)力情況）。對于平面應(yīng)變情況，只需將式（24）中的彈性模量E換成E/（1-μ2），泊松比μ換成μ/（1-μ）即可。在上述基本方程的推導(dǎo)中，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)和力學(xué)問題的統(tǒng)一美與奇異美，同時也表現(xiàn)出簡潔美。利用坐標(biāo)變換關(guān)系式，從直角坐標(biāo)中的基本方程直接導(dǎo)出極坐標(biāo)中的基本方程，相比于一般本科教材中的微元推導(dǎo)方法，其推導(dǎo)過程更為簡潔易懂，相比于張量指標(biāo)記法則更直觀明了，更便于彈性力學(xué)初學(xué)者理解。三、結(jié)語審美決定了人的價值取向，更是研究人員從事科學(xué)研究的驅(qū)動力。在力學(xué)教學(xué)和研究中，發(fā)現(xiàn)和分享數(shù)學(xué)與力學(xué)之美能帶給人愉悅的美學(xué)感受。抓住力學(xué)問題的本質(zhì)，深入探索力學(xué)問題中的數(shù)學(xué)美與力學(xué)美，有助于對力學(xué)教學(xué)和研究作更新和更深層次的探索，甚至可能會做出某些具有重要意義的科學(xué)發(fā)現(xiàn)。開展數(shù)學(xué)、力學(xué)與美學(xué)的關(guān)聯(lián)性教學(xué)，在講授力學(xué)公式推導(dǎo)和解題方法的同時，將數(shù)學(xué)和力學(xué)問題的美學(xué)魅力展現(xiàn)給學(xué)生，讓學(xué)生在獲得知識的同時，加深對力學(xué)理論豐富內(nèi)涵的理解，分享美學(xué)感受和接受美學(xué)熏陶，可激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)力學(xué)的興趣，啟迪學(xué)生思維，開闊研究視野，有助于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新能力。