數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的新視角

數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)的維度非常多，但其中依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知方式是其最為重要的標(biāo)準(zhǔn)之一。只有依據(jù)學(xué)生認(rèn)知方式的教學(xué)設(shè)計(jì)才可能是有效的，才能實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)，因而，教師要充分理解具體的學(xué)生發(fā)生具體的數(shù)學(xué)知識(shí)的心理活動(dòng)環(huán)節(jié)，以此依據(jù)適應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知方式展開(kāi)數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)。

認(rèn)知方式 數(shù)學(xué)教學(xué) 教學(xué)設(shè)計(jì)

數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)是一項(xiàng)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)性的整體工程，它的構(gòu)成要素體現(xiàn)于互相關(guān)聯(lián)的三個(gè)側(cè)面：理解所要傳授的具體數(shù)學(xué)知識(shí)所呈現(xiàn)的環(huán)節(jié)及其聯(lián)結(jié)中介的組成序列（簡(jiǎn)稱“教材分析”）；把握學(xué)生生成數(shù)學(xué)知識(shí)環(huán)節(jié)及其聯(lián)結(jié)中介的心理活動(dòng)環(huán)節(jié)及其過(guò)渡性中介（簡(jiǎn)稱“學(xué)情分析”）；通過(guò)創(chuàng)造性工作找到關(guān)聯(lián)這兩方面組成環(huán)節(jié)之間的切合點(diǎn)（可以溝通的元素），實(shí)現(xiàn)兩者之間的貫通（簡(jiǎn)稱“關(guān)聯(lián)分析”）（如框架圖1所示[1]）。本文主要探討適應(yīng)學(xué)生認(rèn)知方式的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的實(shí)現(xiàn)途徑。

圖1 數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)框架圖

一、發(fā)生數(shù)學(xué)知識(shí)認(rèn)知方式的涵義

學(xué)習(xí)心理學(xué)將認(rèn)知方式與認(rèn)知風(fēng)格等價(jià)。施良方先生寫(xiě)道，認(rèn)知風(fēng)格這一術(shù)語(yǔ)，一般用來(lái)描述學(xué)生加工信息（包括接受、儲(chǔ)存、轉(zhuǎn)化、提取和使用信息）時(shí)習(xí)慣采用的不同方式[2]?！冬F(xiàn)代漢語(yǔ)詞典》（商務(wù)印書(shū)館，第五版）將“方式”釋義為“談話做事所采取的方法和形式”，由此，我們可以將認(rèn)知方式界定為，主體發(fā)生認(rèn)識(shí)所采用的方法和形式。認(rèn)知方式具有三項(xiàng)特征：1.它們是學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)發(fā)生心理活動(dòng)環(huán)節(jié)的理智傾向性；2.它們所描述的是那些在時(shí)間上相對(duì)穩(wěn)定的過(guò)程；3.學(xué)生在完成類似的任務(wù)時(shí)始終表現(xiàn)出這種穩(wěn)定性。

不同的人的認(rèn)知方式可能處于兩個(gè)極端，但是，認(rèn)知方式?jīng)]有先進(jìn)與落后之分。例如，有些人偏于求異思維的認(rèn)知方式，另一些人偏于求同思維的認(rèn)知方式，對(duì)此，我們不能說(shuō)哪一種就好些，因?yàn)?，某些?wèn)題的解決可能求異思維好些，另一些問(wèn)題的解決可能求同思維要好些。大多數(shù)人在不同情況下，會(huì)從多種不同的認(rèn)知方式中選擇某種來(lái)解決他面對(duì)的有特定性質(zhì)的問(wèn)題。

在數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師需要特別注意學(xué)生發(fā)生具體數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)的特定認(rèn)知方式。教師只有把握學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知方式，才能由此模擬學(xué)生在特定認(rèn)知方式發(fā)生作用時(shí)的心理活動(dòng)途徑來(lái)設(shè)計(jì)出合適的發(fā)生數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)流程，才能通過(guò)教學(xué)活動(dòng)的實(shí)現(xiàn)優(yōu)化原有的或構(gòu)建新的認(rèn)知方式，進(jìn)而幫助學(xué)生生成更有活力的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，從而有效地將發(fā)生具體知識(shí)時(shí)生成的數(shù)學(xué)活動(dòng)基本經(jīng)驗(yàn)與認(rèn)知方式遷移到應(yīng)對(duì)新的問(wèn)題情境中去。

學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體。教師只有準(zhǔn)確地認(rèn)識(shí)、把握與辨別學(xué)生運(yùn)用某種認(rèn)知方式發(fā)生特定數(shù)學(xué)知識(shí)的有效性程度是高、還是低的，萌生的數(shù)學(xué)觀念是清晰正確、還是模糊錯(cuò)誤的，取得的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是成熟、還是素樸的等，在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)才能揚(yáng)長(zhǎng)避短，針對(duì)學(xué)生發(fā)生數(shù)學(xué)知識(shí)的心理環(huán)節(jié)及其過(guò)渡性的中介，選擇適宜的教學(xué)策略，設(shè)計(jì)有效的教學(xué)流程，促進(jìn)學(xué)生正確理解所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，生成具有活力的、動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)活動(dòng)基本經(jīng)驗(yàn)等。

學(xué)生的認(rèn)知方式的標(biāo)識(shí)包括：學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)是容易的、還是困難的；學(xué)生在哪種層次（如是素樸的生活概念層次、還是規(guī)范的數(shù)學(xué)概念層次等）上發(fā)生并理解數(shù)學(xué)知識(shí)；發(fā)生數(shù)學(xué)知識(shí)的心理環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)、承、啟、合的大致路徑中哪些是接近正確的運(yùn)行程式，哪些是典型錯(cuò)誤的運(yùn)行方式；是什么使學(xué)生學(xué)習(xí)具體數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生了困難、或產(chǎn)生了錯(cuò)誤理解等。教師據(jù)此進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)才具有針對(duì)性，從而提高教學(xué)效率，對(duì)于學(xué)生容易理解的內(nèi)容就可以少講、甚至讓學(xué)生自學(xué)，難于理解或容易造成誤解的內(nèi)容要進(jìn)行更為精致的教學(xué)設(shè)計(jì)。

學(xué)生的認(rèn)知方式不是先天的、惟一的，而是在實(shí)踐中建構(gòu)、發(fā)展與完善起來(lái)的，這為發(fā)揮知識(shí)不同層級(jí)教育價(jià)值提供了發(fā)生學(xué)上的依據(jù)，也是教學(xué)設(shè)計(jì)存在的關(guān)鍵依據(jù)。在具體數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，學(xué)生發(fā)生數(shù)學(xué)知識(shí)的途徑?jīng)Q定著學(xué)生認(rèn)知方式的優(yōu)化或生成，從而決定了數(shù)學(xué)知識(shí)的不同等級(jí)層次的教育價(jià)值。如果數(shù)學(xué)知識(shí)的教育價(jià)值總是客觀的、僵死不變的，那就沒(méi)有必要研究學(xué)生認(rèn)知方式，也沒(méi)有必要進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)。

因此，有的教學(xué)設(shè)計(jì)發(fā)生知識(shí)可能離學(xué)生合適的認(rèn)知方式近些，有的可能遠(yuǎn)些，從而對(duì)優(yōu)化學(xué)生認(rèn)知方式的效果會(huì)大相徑庭；有的教學(xué)設(shè)計(jì)針對(duì)學(xué)生的具體認(rèn)知方式可能更為合理些因而更有價(jià)值些，它有利于促進(jìn)學(xué)生形成更具活力、更具適應(yīng)性的認(rèn)知方式，也有利于萌生優(yōu)秀的心理品質(zhì)，反之，就會(huì)阻礙這些實(shí)現(xiàn)。在具體數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師應(yīng)做好預(yù)判發(fā)生數(shù)學(xué)知識(shí)的基本條件：學(xué)生在發(fā)生知識(shí)之前，需要產(chǎn)生學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，形成學(xué)習(xí)心向；在知識(shí)發(fā)生過(guò)程中，需要提供動(dòng)力，維持認(rèn)知活動(dòng)的延伸；在知識(shí)發(fā)生之后，需要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)反思感悟自己的認(rèn)知方式有效性發(fā)生的條件，以利于認(rèn)知方式遷移到新情境中去。

二、例示適應(yīng)學(xué)生發(fā)生數(shù)學(xué)知識(shí)認(rèn)知方式的教學(xué)設(shè)計(jì)

教師分析與選擇學(xué)生發(fā)生數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)知方式進(jìn)行教學(xué)活動(dòng)的取向在于：是否有利于學(xué)生正確理解數(shù)學(xué)知識(shí)而避免錯(cuò)誤理解，是否有利于學(xué)生激活原有的數(shù)學(xué)知識(shí)的活力，是否有利于為學(xué)生發(fā)生新數(shù)學(xué)知識(shí)起到鋪墊或?qū)б饔?，是否有利于學(xué)生將素樸的數(shù)學(xué)概念轉(zhuǎn)化為規(guī)范的數(shù)學(xué)概念，是否有利于加強(qiáng)學(xué)生所學(xué)的新數(shù)學(xué)知識(shí)與原有的數(shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系，是否有利于促進(jìn)學(xué)生將剛剛學(xué)習(xí)所掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用到新的問(wèn)題情境中去，是否有利于學(xué)生在問(wèn)題解決過(guò)程中的思維活動(dòng)的展開(kāi)與維持，等等。

例1已知：如圖2，在△ABC中，∠ADC=∠BAC。求證：∠CAD=∠CBA。

教師甲一節(jié)課共講了四道題，時(shí)間有富余。他對(duì)例1作了簡(jiǎn)要的分析，然后規(guī)范性地板書(shū)了證明，實(shí)錄他的分析過(guò)程如下。

要證明∠CAD=∠CBA，因?yàn)椤螦DC=∠CBA+∠BAD，∠BAC=∠CAD+∠BAD，由∠BAD為公共角，希望證明∠ADC=∠BAC，這正是已知。

教師乙一節(jié)課只講了這道題，時(shí)間較緊迫。將其課堂教學(xué)設(shè)計(jì)的主要片段比較詳細(xì)地實(shí)錄如下（說(shuō)明，下文的省略號(hào)表示學(xué)生思維環(huán)節(jié)中斷之處）。

師：請(qǐng)用不同標(biāo)識(shí)在圖2中標(biāo)示出所求結(jié)論與已知條件中各存在的一對(duì)相等角。

生1：在圖3中，已知條件∠ADC=∠BAC中的∠BAC被AD分割開(kāi)來(lái)，圖形的覆蓋影響了探索問(wèn)題的思路。首先解決覆蓋問(wèn)題，使我們?nèi)菀卓辞鍒D形本質(zhì)，……

師：這是一個(gè)好建議！大家動(dòng)手試一試。

學(xué)生活動(dòng)：首先把圖3中的△ADC平移出來(lái)，得到了圖3與圖5，其次，根據(jù)已知條件∠ADC=∠BAC①和要證明的結(jié)論∠CAD=∠CBA②，把圖4變換成圖5的位置形態(tài)。學(xué)生成功地運(yùn)用標(biāo)識(shí)標(biāo)示出圖3中的兩對(duì)相等角，即①，②兩個(gè)等式。

師：大家做得非常好！請(qǐng)對(duì)比圖4與圖5，有新發(fā)現(xiàn)嗎？

生2：比較圖4和圖5中的這兩個(gè)三角形之間角的關(guān)系可得（教師精心設(shè)計(jì)板書(shū)）：

已知條件是∠ADC=∠BAC①，

所求結(jié)論是∠CAD=∠CBA②，

還有公共角∠ACD=∠BCA③。

這三個(gè)等式中，①和③成立，②是求證的結(jié)論，應(yīng)該成立?！?/p>

生3：應(yīng)用“三角形的內(nèi)角和等于180°”，……

生4：①，②，③三個(gè)等式的左邊的三個(gè)角是△DAC的三個(gè)內(nèi)角，右邊的三個(gè)角是△ABC的三個(gè)內(nèi)角。于是，我們把這三個(gè)角的等式左、右兩邊分別相加就得到了這兩個(gè)三角形各自的內(nèi)角和，都等于180°，即

∠DAC+∠ADC+∠DCA=180°，

∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°，……

生5：兩個(gè)等式的右邊相等（180°），知∠DAC+∠ADC+∠DCA=∠ABC+∠BAC+∠ACB④。將④的左、右兩邊分別對(duì)應(yīng)地減去①與③的左、右兩邊，就可得到②成立[3]。

三、適應(yīng)學(xué)生認(rèn)知方式的教學(xué)設(shè)計(jì)結(jié)果分析

教師的教學(xué)設(shè)計(jì)要遵循不拂逆學(xué)生思考某一問(wèn)題時(shí)心理活動(dòng)展開(kāi)的路徑，即充分理解認(rèn)識(shí)學(xué)生展開(kāi)自己的認(rèn)知方式，做到因勢(shì)利導(dǎo)；即使在學(xué)生思維走勢(shì)的分叉口，也不能輕易地告知學(xué)生思維延伸的標(biāo)志物，而是啟發(fā)學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)某種標(biāo)志。這種啟發(fā)的過(guò)程，不一定就是教師將自己的思考擺在學(xué)生面前，而是通過(guò)選擇學(xué)生經(jīng)由活動(dòng)已經(jīng)生成的材料，選擇恰如其分的表征形式表征這些材料，學(xué)生感受這種表征形式，從中得到啟發(fā)，促進(jìn)自己思維的延伸。通過(guò)如此教學(xué)設(shè)計(jì)，使學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到自己內(nèi)在能力的發(fā)揮，從而形成情感體驗(yàn)。

教師甲的教學(xué)設(shè)計(jì)基于平面幾何證明的邏輯過(guò)程的認(rèn)知方式，它的特點(diǎn)是洗盡鉛華、褪去塵滓，簡(jiǎn)練到一塵不染。但是，按巴洛的觀點(diǎn)，邏輯性是由對(duì)事物的內(nèi)在秩序的猜測(cè)所組成的——但只有當(dāng)確實(shí)有一種明確無(wú)誤的內(nèi)在秩序可作猜測(cè)時(shí)。我們打一個(gè)比方，邏輯的過(guò)程仿佛已經(jīng)淘去砂粒而留下金子，而不把淘沙那種艱難的過(guò)程展示在琳瑯滿目的黃金展示臺(tái)上。邏輯是論題的一種屬性而非精神過(guò)程的屬性，也即猜測(cè)不論在心算中還是在創(chuàng)造性思維中都是最本質(zhì)的東西[4]。證明的表達(dá)已經(jīng)將發(fā)現(xiàn)這一邏輯過(guò)程的種種心理猜想活動(dòng)的曲折過(guò)程略而不計(jì)，我們讀下去很可能感到某種令人信服的力量，但是，可能不知道我們自己是否也可以獲得這種說(shuō)服他人的力量。

因此，教師甲的這種教學(xué)設(shè)計(jì)，只是將自己組織題設(shè)條件信息的精致結(jié)果告訴了學(xué)生，至于這種結(jié)果是如何得來(lái)的，大多數(shù)學(xué)生可能不得而知。這種教學(xué)設(shè)計(jì)的缺陷就在于教師甲沒(méi)有通過(guò)學(xué)情分析，充分認(rèn)識(shí)與理解學(xué)生發(fā)生這一證明邏輯過(guò)程的認(rèn)知方式。其實(shí)，除了少數(shù)學(xué)生，絕大多數(shù)學(xué)生不可能立即就想到∠ADC=∠CBA+∠BAD，∠BAC=∠CAD+∠BAD這兩個(gè)等式，教師估計(jì)學(xué)生的認(rèn)知方式的主要支點(diǎn)就是追問(wèn)這兩個(gè)等式是如何從心理上產(chǎn)生的。

事實(shí)上，教師甲幾乎沒(méi)有考慮學(xué)生發(fā)生數(shù)學(xué)知識(shí)的心理活動(dòng)環(huán)節(jié)，遑論對(duì)知識(shí)脈絡(luò)與學(xué)生心理線索聯(lián)結(jié)過(guò)程的思考。他只是將自己的發(fā)現(xiàn)思路整理成了精致的邏輯過(guò)程，在課堂上將這一過(guò)程展示給了學(xué)生，學(xué)生可以讀懂這一過(guò)程，但是，必須要有記憶的幫助代償了這一尋找的過(guò)程。艾芙·居禮說(shuō)，“第一句叫學(xué)生記憶意義不明的知識(shí)，或者第一件叫他盲從地接受而不讓他理解其意義的事物，就是毀滅學(xué)生理解力與判斷力的開(kāi)始。”[5]如此，教師甲的這種設(shè)計(jì)不可能實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)新課程所設(shè)計(jì)的目標(biāo)，也很難發(fā)揮數(shù)學(xué)知識(shí)的教育價(jià)值。

教師乙的教學(xué)設(shè)計(jì)充分利用平面圖形的直觀性、可操作性，通過(guò)要求學(xué)生從標(biāo)識(shí)“圖3中的兩對(duì)相等的角”出發(fā)，鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)題設(shè)條件信息進(jìn)行有序觀察、比較，啟發(fā)學(xué)生對(duì)圖形進(jìn)行操作、變換與定位，幫助學(xué)生利用圖形中已知明確的兩項(xiàng)信息①、②組構(gòu)成“支點(diǎn)式”信息。再由圖形直觀生成外圍信息③，“支點(diǎn)式”信息①、②與外圍信息③組構(gòu)成了信息結(jié)構(gòu)輪廓（教師乙用非常合適的表征突出了它），學(xué)生由此確定了知識(shí)框架。從教學(xué)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，這不是一件容易的事，是經(jīng)過(guò)許多學(xué)生的接力思考與不懈努力，對(duì)信息不斷地發(fā)掘與調(diào)整而得到。如此，學(xué)生對(duì)解決問(wèn)題時(shí)如何確定這個(gè)知識(shí)框架體驗(yàn)深刻，必將生成深度數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)[6]。

對(duì)教師乙設(shè)計(jì)的這一整套過(guò)程，我們聽(tīng)課者為之動(dòng)容。這奠基于教師乙透徹理解學(xué)生發(fā)生知識(shí)的心理環(huán)節(jié)，特別是誘導(dǎo)學(xué)生萌生關(guān)聯(lián)分散信息的心理動(dòng)力的設(shè)計(jì)與執(zhí)行，令人拍手叫絕！通過(guò)恰如其分的板書(shū)設(shè)計(jì)（傳統(tǒng)媒體：黑板與粉筆），得到有利于學(xué)生思維發(fā)揮作用的表征形式的提示——板書(shū)等式①、②、③成規(guī)則形態(tài)的排列很有效值，它恰到好處地幫助學(xué)生生成了信息結(jié)構(gòu)輪廓。這些看上去似乎是教師乙的不經(jīng)意行為，其實(shí)正是他匠心獨(dú)運(yùn)之處，充分展示了他的教學(xué)設(shè)計(jì)能力，從而誘發(fā)學(xué)生萌生信息關(guān)聯(lián)的內(nèi)在動(dòng)力，生發(fā)了完形心理內(nèi)驅(qū)力（“格式塔”的經(jīng)典理論[2]），引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用“三角形內(nèi)角和定理”完滿地解決了問(wèn)題。

教師乙嚴(yán)格還原學(xué)生發(fā)生知識(shí)的心理環(huán)節(jié)，依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知方式，在此基礎(chǔ)上，將這道題的證明思路發(fā)現(xiàn)過(guò)程的主體部分放手交給學(xué)生，讓學(xué)生自己去做，使他們探究問(wèn)題的各種手段都得到充分地發(fā)揮，利用學(xué)生通過(guò)自己的操作、觀察、比較、類比、聯(lián)想、想象與思維等要素的展開(kāi)認(rèn)識(shí)活動(dòng)。教師通過(guò)設(shè)計(jì)合適的表征形式表征學(xué)生生成對(duì)形成問(wèn)題思路有價(jià)值的材料（教師經(jīng)由選擇），由此表征提示學(xué)生思維延伸的方向與走勢(shì)，而不是將思維前進(jìn)的可借助的條件材料直接奉獻(xiàn)給學(xué)生。

教師甲沒(méi)有充分尊重學(xué)生，利用學(xué)生的認(rèn)知方式展開(kāi)思維過(guò)程；教師乙充分依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知方式，在證明思路的發(fā)現(xiàn)中，步步按照學(xué)生思維展開(kāi)路徑的提示。從這個(gè)例子中，盡管沒(méi)有某種意義上的標(biāo)準(zhǔn)，我們還是可以感受到，教師乙的設(shè)計(jì)優(yōu)于教師甲的設(shè)計(jì)。

數(shù)學(xué)教學(xué)所要傳授的知識(shí)相對(duì)固定（其最低限度已經(jīng)寫(xiě)入課程標(biāo)準(zhǔn)）。但是，通過(guò)何種方式來(lái)傳授這種已經(jīng)設(shè)定了的知識(shí)，卻隨著教師的教學(xué)理念不同，預(yù)設(shè)的教學(xué)目標(biāo)不同，持有的教學(xué)觀念不同，獲得的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)不同，理解特定數(shù)學(xué)知識(shí)性質(zhì)不同，揣摩發(fā)生特定知識(shí)的學(xué)生認(rèn)知方式不同，估計(jì)發(fā)生知識(shí)時(shí)學(xué)生現(xiàn)場(chǎng)心理活動(dòng)意向不同，存在多種選擇。不同的教學(xué)設(shè)計(jì)對(duì)發(fā)揮數(shù)學(xué)知識(shí)的教育價(jià)值、促進(jìn)學(xué)生素質(zhì)發(fā)展的結(jié)果迥然有別。在不同理念指導(dǎo)下的教學(xué)設(shè)計(jì)中，適應(yīng)學(xué)生認(rèn)知方式的教學(xué)設(shè)計(jì)是一種基礎(chǔ)性的要求。

參考文獻(xiàn)

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