小學生數(shù)字線估計中的分段策略

邢 強，徐爭鳴，蔡新華

（廣州大學 教育學院 心理學系，廣東 廣州 510006）

小學生數(shù)字線估計中的分段策略

邢 強，徐爭鳴，蔡新華

（廣州大學 教育學院 心理學系，廣東 廣州 510006）

摘要：采用3[數(shù)字線估計任務(wù)類型：0-100 (15 cm)、0-100 (10 cm)、0-1 000(15 cm)]×3(年級：二、四、六)的混合實驗設(shè)計，探討小學生數(shù)字線估計的發(fā)展特點及分段策略的作用.結(jié)果發(fā)現(xiàn)：（1）隨著年級的增長，小學生的數(shù)字線估計準確性不斷提升.（2）數(shù)字線估計任務(wù)中，表征模式發(fā)展趨勢為：二年級主要采用對數(shù)函數(shù)，四、六年級主要采用線性函數(shù).（3）二、四年級學生使用分半策略，六年級學生使用偶分策略.

關(guān)鍵詞：小學生；數(shù)字線估計；表征模式；分段策略

1　問題提出

數(shù)字線估計作為一種重要的數(shù)學認知能力，是以內(nèi)部近似準確的量化標準為依據(jù)對實際的線段進行的操作，兒童在數(shù)字線估計上的表現(xiàn)是其對“數(shù)”精確加工程度的體現(xiàn)[1]，數(shù)字線估計是數(shù)估計研究中常用的研究范式.所謂數(shù)估計就是由一種數(shù)量表征轉(zhuǎn)換為另一種數(shù)量表征的過程中，只要有一種表征形式涉及到數(shù)字的估計便可稱為數(shù)估計[2].數(shù)字線估計是一種純數(shù)估計，控制了數(shù)字單位和生活經(jīng)驗等額外變量，有很高的生態(tài)效度，具體做法是讓被試估計一個數(shù)在一條線段上的位置，即要求被試把數(shù)字表征轉(zhuǎn)化為以長度來表征的數(shù)量.當前對數(shù)字線估計的研究取得了大量成果[3~6]，形成了對數(shù)規(guī)則模型、存儲器模型、線性規(guī)則模型、重疊波理論等一系列理論模型[7].前3種模型都把數(shù)字線估計的內(nèi)部表征模式視為單一的策略或運算模式，即對數(shù)表征（指數(shù)字估計的估計值與估計數(shù)量呈對數(shù)函數(shù)圖象）、等級可變性表征（是指數(shù)字估計的協(xié)方差即估計值的標準化差除以被估計的數(shù)字是恒定的這一現(xiàn)象）和線性表征（是指數(shù)字任務(wù)中按照線性函數(shù)來表征所要估計的數(shù)字），這些策略或模式不會隨文化教育、情境等因素的改變而改變.但不同模型所采用的不同精確度的表征模式引起人們對數(shù)估計心理表征發(fā)展的思考，促使重疊波理論的產(chǎn)生.重疊波理論認為，兒童的數(shù)估計會從不精確的對數(shù)表征發(fā)展到精確的線性表征，且變化是突然的、整體性的.出現(xiàn)這種變化的原因是隨著年級的增長，會不斷積累數(shù)字線估計的表征經(jīng)驗，在獲得表征的適當性信息前，個體會重復常用的表征，隨著經(jīng)驗的增加，選擇不常用表征的可能性越來越大.當人們通過反饋獲得了有關(guān)精確表征的經(jīng)驗后，個體會突然放棄常用的對數(shù)表征，選擇不常用的線性表征.例如：在對0-100數(shù)字線估計任務(wù)中，幼兒園的孩子遵循對數(shù)模式，二年級學生遵循線性模式[8~10].在0-1 000數(shù)字線的估計任務(wù)中，二年級學生的估計遵循對數(shù)模式，四年級學生中一半的人遵循對數(shù)模式，一半的人遵循線性模式，大多數(shù)六年級的學生采用線性表征[11]，但是另一項研究顯示在0-1 000范圍內(nèi)大部分四年級學生掌握了線性表征[7].

同時，已有研究認為表征是一種策略或者估計模式，可以通過積累數(shù)字線估計的經(jīng)驗，獲取對表征適當性進行反饋的信息以強化線性表征并消退對數(shù)表征，或在更加熟悉的數(shù)標尺中進行估計以提高估計精確度[2].年級和經(jīng)驗增長能解釋數(shù)字線估計精確性的提高和表征模式的發(fā)展，而兒童在數(shù)字線估計過程中采用的策略能進一步解釋年級和經(jīng)驗是如何促進數(shù)字線估計發(fā)展的[11].國外已有研究證實兒童及成人最常使用的策略是將數(shù)字線分段[12~13]，分段策略是指在數(shù)字線估計前根據(jù)特殊比例將數(shù)字線分段.被試會內(nèi)隱地按特殊分段點劃分數(shù)字線，把特殊分段點作為參照點來引導估計，數(shù)字離最近的參照點越遠，估計變異性越大.按照不同的特殊比例，可把分段策略分為奇分策略和偶分策略，奇分是指根據(jù)1/N（N為奇數(shù)）分段；偶分策略是指根據(jù)1/N（N為偶數(shù)）分段，如果是根據(jù)中點分段的話就叫做分半策略，它是一種特殊的偶分策略，即在選取參照點時首先會采用中點[4].研究主要探討偶分策略，因為人們更習慣把線段分為偶數(shù)段，使線段在分段后仍然有對稱性.

小學兒童在數(shù)估計任務(wù)中，由對數(shù)表征模式突然地完全轉(zhuǎn)變到線性表征模式，從而顯著提升了數(shù)估計成績，這到底是由年級的增長、知識經(jīng)驗的增加所造成的，還是因為在表征過程中兒童使用了不同的策略，又或者這兩個原因都導致了重疊波理論中的表征轉(zhuǎn)換呢？首先，研究者試圖探討不同年級數(shù)估計表征模式的發(fā)展性特點；其次，試圖通過比較分半點、偶分點和其它點的估計準確性探討分段策略中的分半策略和偶分策略是否能提高數(shù)估計的準確性.數(shù)字線估計能力的發(fā)展體現(xiàn)為表征轉(zhuǎn)換，那么它是怎么發(fā)生的呢？研究者將從縱向上考察這個表征模式的變化，同時從橫向上比較兒童在不同數(shù)范圍下是否會選擇不同的表征模式.因此，研究選取了二、四、六年級的學生為被試，以探討清楚在0-100 和0-1 000數(shù)范圍的數(shù)字線估計任務(wù)上表征模式的發(fā)展特點.

綜上所述，研究的基本假設(shè)是：

H1：隨著年級的增長，兒童的數(shù)估計表征會從對數(shù)表征轉(zhuǎn)向線性表征，數(shù)字線估計的準確性也不斷提高；

H2：數(shù)字線長度和數(shù)范圍的變化會影響小學生數(shù)字線估計的精確性和估計模式；

H3：數(shù)字線估計中的分段策略表現(xiàn)為從分半策略向偶分策略的過渡，是數(shù)字線估計中的常用策略，但存在年級差異.

2　研究方法

2.1被 試

二、四、六年級小學生共360人，每個年級分別為114、88和158人，其中男生185人，女生175人.

2.2設(shè) 計

兩因素混合設(shè)計，組間變量是年級，分為：二、四、六年級；組內(nèi)變量是任務(wù)類型，有3種：15 cm長0-100數(shù)標尺的數(shù)字線，即0-100(15 cm)、10 cm長0-100數(shù)標尺的數(shù)字線，即0-100(10 cm)、15 cm長0-1 000數(shù)標尺的數(shù)字線，即0-1 000(15 cm).

2.3材 料

材料做成了3個小冊子，每個冊子有11頁紙，分別呈現(xiàn)3種類型的任務(wù)：0-100(15 cm)、0-100(10 cm)和0-1 000(15 cm).每一頁中間有一條標出端點數(shù)的線段，在線段中間上方2.5 cm處標數(shù)字，0-100數(shù)范圍內(nèi)呈現(xiàn)的數(shù)字有7、13、19、25、43、50、61、75、83、88、和97；0-1 000數(shù)范圍內(nèi)呈現(xiàn)的數(shù)字有70、130、190、250、430、500、610、750、830、880、和970.這些數(shù)字均隨機呈現(xiàn).

第一種任務(wù)采用了莫雷、周廣東和溫紅博（2010）研究中的材料，線段長度為15 cm，端點為“0”和“100”；第二種任務(wù)中的線段改變了其長度，變?yōu)?0 cm，端點為“0”和“100”；第三種任務(wù)中的線段則改變了它的數(shù)范圍，變?yōu)?-1 000，線段長度為15 cm，端點為“0”和“1 000”.改變數(shù)字線長度和數(shù)范圍一方面是為了檢驗數(shù)字線長度和數(shù)范圍是否影響數(shù)字線估計任務(wù)的難度進而影響估計精確性和估計模式，另一方面是為了檢驗同一年級的兒童在不同類型數(shù)字線上是否會選擇不同的表征模式.這3種數(shù)字線上被估計的點所對應的位置在數(shù)字線上的比例都為7%、13%、19%、25%、43%、50%、61%、75%、83%、88%和97%，其中13%接近1/8，25%為1/4，50%為1/2，75%為3/4，88%接近7/8，選擇這些分段比例以探討數(shù)字線估計中的偶分策略.

2.4程 序

主試為經(jīng)過培訓的心理系研究生.首先主試給全班同學發(fā)小冊子，然后按照指導語引導進行集體施測，指導語如下：“同學們：我們今天做一個‘猜數(shù)字在哪里’的小游戲.在這個小本子上，每一頁上都有一條線段，線段的左端點表示‘0’，右端點表示‘100’或‘1 000’，它們之間有很多數(shù)字，但沒把這些數(shù)字標在線段上，現(xiàn)在就請你猜一猜線段上方的數(shù)字在線段上的哪個地方，你認為數(shù)字在哪里，就請你在線段上的這個地方畫一條豎線.請不要用直尺或三角板量.”

施測過程中保持教室安靜，不給予被試任何反饋.實驗持續(xù)20分鐘，結(jié)束后回收所有題冊.

2.5計分與數(shù)據(jù)處理

估計結(jié)果由主試以直尺測量，精確到毫米，然后轉(zhuǎn)換為估計值.

數(shù)估計成績的指標為絕對誤差百分比（percent absolute error，簡稱PAE），其計算公式為：PAE=|估計值－實際值|÷被估計的數(shù)值范圍×100%.采用統(tǒng)計分析軟件SPSS18.0進行統(tǒng)計處理.

3　結(jié)果與分析

3.1小學兒童數(shù)字線估計的準確性

兒童在數(shù)字線估計任務(wù)中的估計成績的PAE反映了其數(shù)估計的精確性.表1描述了二、四、六年級在0-100(15 cm)、0-100(10 cm)、0-1000(15 cm)這3種數(shù)字線估計任務(wù)中的估計PAE.

表1　二四六年級兒童在3種數(shù)字線估計任務(wù)中PAE的描述統(tǒng)計

為了了解兒童數(shù)字線估計準確性的發(fā)展情況，分別對在0-100(15 cm)、0-100(10 cm)、0-1 000(15 cm)這3種數(shù)字線估計任務(wù)中，二、四和六年級估計的PAE進行了單因素方差分析，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，在0~100(15 cm)數(shù)字線估計任務(wù)中，二、四和六年級之間估計的PA E差異顯著，F(xiàn) (2 , 3 960)=127.47，p<0.001；在0-1 000(15 cm)數(shù)字線估計任務(wù)中，二、四年級和六年級之間估計的PAE差異顯著，F(xiàn)(2, 3 960)=87.88，p<0.001；在0-100(10 cm)數(shù)字線估計任務(wù)中，二、四和六之間估計的PAE差異顯著，F(xiàn)(2, 3 960)=125.98，p<0.001.進一步事后檢驗（LSD）發(fā)現(xiàn)，在0-100(15 cm)、0-100(10 cm)、0-1 000(15 cm)這3種數(shù)字線估計任務(wù)中，二年級的PAE顯著高于四和六年級的PAE，四年級的PAE顯著高于六年級的PAE.

分別比較二、四和六年級在0-100(15 cm)和0-100(10 cm)數(shù)字線估計任務(wù)中的PAE，考察數(shù)字線長度的變化對兒童數(shù)字線估計精確性的影響.通過獨立樣本T檢驗發(fā)現(xiàn)，二年級在0-100(15 cm)和0-100(10 cm)數(shù)字線估計任務(wù)中的PAE無顯著差異，t(1 253)=0.10，p>0.05.四年級在0-100(15 cm)和0-100(10 cm)數(shù)字線估計任務(wù)中的PAE無顯著差異，t(967)=-1.77，p>0.05.六年級在0-100(15 cm)和0-100(10 cm)數(shù)字線估計任務(wù)中的PAE無顯著差異，t(1 737)=-1.10，p>0.05.

分別比較二、四和六年級在0-100(15 cm)和0-1 000(15 cm)數(shù)字線估計任務(wù)中的PAE，考察數(shù)字線范圍的變化對兒童數(shù)字線估計精確性的影響.通過獨立樣本T檢驗發(fā)現(xiàn)，二年級在0-100(15 cm)數(shù)字線估計任務(wù)中的PAE顯著低于在0-1 000(15 cm)數(shù)字線估計任務(wù)中的PAE，t(1 253)=-11.00, p<0.001.四年級在0-100(15 cm)數(shù)字線估計任務(wù)中的PAE顯著低于在0-1 000(15 cm)數(shù)字線估計任務(wù)中的PAE，t(967)=-8.02，p<0.001.六年級在0-100(15 cm)數(shù)字線估計任務(wù)中的PAE顯著低于在0-1 000(15 cm)數(shù)字線估計任務(wù)中的PAE，t(1 737)=-8.11，p<0.001.

3.2小學兒童數(shù)字線估計的表征模式

以實際呈現(xiàn)的數(shù)值為自變量，以兒童估計值的中位數(shù)作為因變量（選中位數(shù)而不是平均數(shù)作為因變量是為了排除極值的影響），曲線估計檢驗了各個年級對3種類型數(shù)字線估計的中位數(shù)對線性、對數(shù)函數(shù)的擬合度（分別表示為LinR2和Log R2），結(jié)果見表2.

表2　不同年級兒童3種類型數(shù)字線下估計中位數(shù)擬合度分析

由表2可知，3個年級兒童數(shù)字線估計的中位數(shù)對這兩種函數(shù)的擬合度都很高，回歸方程也都有顯著性.在0-100(15 cm)、0-100(10 cm)、0-1 000(15 cm)3種數(shù)字線任務(wù)中，各個年級兒童估計的中位數(shù)對線性函數(shù)比對對數(shù)函數(shù)的擬合度都更高.

為了驗證擬合度差異的顯著性，對兩模型預測值的絕對誤差進行了配對樣本T檢驗，比較了以下兩個量的差異：對數(shù)函數(shù)對二、四、六年級學生在0-100(15 cm)、0-100(10 cm)、0-1 000(15 cm) 3種數(shù)字線任務(wù)中實際呈現(xiàn)數(shù)與估計值中位數(shù)關(guān)系的擬合度（二、四、六年級學生在3種數(shù)字線任務(wù)中估計值中位數(shù)與對數(shù)函數(shù)對實際呈現(xiàn)數(shù)預測值之差），線性函數(shù)對二、四、六年級學生在0-100(15 cm)、0-100(10 cm)、0-1 000(15 cm) 3種數(shù)字線任務(wù)中實際呈現(xiàn)數(shù)與估計值中位數(shù)關(guān)系的擬合度（二、四、六年級學生在三種數(shù)字線任務(wù)中估計值中位數(shù)與線性函數(shù)對實際呈現(xiàn)數(shù)預測值之差）.結(jié)果見表3.

表3　對數(shù)和線性函數(shù)對3個年級在3種任務(wù)中實際呈現(xiàn)數(shù)與估計值中位數(shù)關(guān)系的擬合度的差異分析

由表3可知，二年級在0-100(15 cm)、0-100(10 cm)、0-1 000(15 cm)這3種數(shù)字線任務(wù)中，對數(shù)函數(shù)與線性函數(shù)對實際呈現(xiàn)數(shù)與估計值中位數(shù)擬合度的差異均顯著（t(10)=3.60，p<0.05；t(10)=-3.12，p<0.05；t(10)=-6.32，p<0.001），說明二年級在所有的數(shù)字線估計任務(wù)中采用了線性表征.

四年級在0-100(10 cm)、0-1 000(15 cm)這兩種數(shù)字線任務(wù)中，對數(shù)函數(shù)與線性函數(shù)對實際呈現(xiàn)數(shù)與估計值中位數(shù)擬合度的差異均顯著（t(10)=-3.13，p<0.05；t(10)=-5.02，p<0.001），說明四年級在0-100(10 cm)、0-1 000(15 cm)這兩種數(shù)字線任務(wù)上采用了線性表征.

六年級在0-100(15 cm)、0-100(10 cm)、0-1 000(15 cm) 這3種數(shù)字線任務(wù)中，對數(shù)函數(shù)與線性函數(shù)對實際呈現(xiàn)數(shù)與估計值中位數(shù)擬合度的差異（t(10)=-5.11，p<0.001；t(10)=-4.63，p=0.001；t(10)=-5.11，p<0.001）.說明六年級在所有的數(shù)字線估計任務(wù)中采用了線性表征.

3.3不同年級對3種類型數(shù)字線上不同點估計準確性比較3.3.1 0-100(15 cm)數(shù)字線上估計不同點的準確性

表4描述了在0-100(15 cm)數(shù)字線估計任務(wù)中，二、四、六年級估計7、13、19、25、43，50、61、75、83、88和97這11個點的PAE，采用方差分析，發(fā)現(xiàn)：二、四、六年級估計不同點的PAE均有顯著差異（F(10, 1 244)=10.95，p<0.001；F(10, 958)=25.86，p<0.001；F(10, 1 728)=16.64，p<0.001）.

進一步事后檢驗（LSD）發(fā)現(xiàn)，二年級學生估計50（分半點）的PAE顯著高于估計13、19、25、43、75的PAE （ps<0.05），而估計7、61、83和88這幾個點的PAE無顯著差異.四年級學生估計50的PAE顯著低于估計13、19、25、43、61、75、83、88和97這9個數(shù)的PAE（ps<0.05）；六年級學生估計50的PAE顯著低于估計13、19、25、43、61、75、83和88這8個數(shù)的PAE（ps<0.05），而與估計7和97的PAE無顯著差異.

表4　不同年級估計0-100(15 cm)數(shù)字線上不同點的PAE

根據(jù)1/N（N為偶數(shù)）分段，得出偶分點有13、25、75、88，估計偶分點的PAE和估計其它數(shù)字的PAE進行比較發(fā)現(xiàn)，二年級學生估計88的PAE要顯著低于估計19、43的PAE（ps<0.05），估計75的PAE顯著低于估計19、25的PAE （ps<0.05），估計13、25的PAE顯著低于估計7、61、83的PAE（ps<0.05）.四年級估計25的PAE顯著低于估計83的PAE（p<0.05），估計75、88的PAE顯著高于估計19、43、61、97的PAE（ps<0.05）.六年級估計88的PAE顯著低于估計83的PAE（p<0.05）.

3.3.2 0-100(10 cm)數(shù)字線上估計不同點的準確性

表5描述了在0-100(10 cm)數(shù)字線估計任務(wù)中，二、四、六年級對7，13，19，25，43，50，61，75，83，88和97這幾個點的估計準確性均有顯著差異（F(10, 1 244)=10.62，p<0.001; F(10, 958)=18.1，p<0.001；F(10, 1 728)=12.71，p<0.001）.

表5　不同年級估計0-100(10 cm)數(shù)字線上不同點的PAE

進一步事后檢驗（LSD）發(fā)現(xiàn)，3個年級的學生估計50（分半點）的PAE顯著低于估計其它數(shù)的PAE（ps<0.05），說明他們在估計這條數(shù)字線時均準確掌握了分半策略.

根據(jù)1/N（N為偶數(shù)）分段，得出偶分點有13，25，75，88，估計偶分點的PAE和估計其它數(shù)字的PAE進行比較發(fā)現(xiàn)，二年級中，估計13的PAE顯著高于估計7、43、61、97的PAE（ps<0.05）；估計25的PAE顯著高于估計7、43、61和83的PAE（ps<0.05）；估計25的PAE顯著高于估計43的PAE（p<0.05），四年級估計75、88的PAE顯著高于估計61的PAE（ps<0.05）；六年級估計25、75、88的PAE顯著高于估計97的PAE（ps<0.05）；估計13的PAE顯著低于估計19的PAE（p<0.05）；估計25的PAE顯著低于估計19的PAE（p<0.05）.

3.3.3 0-1 000(15 cm)數(shù)字線上估計不同點的準確性

表6描述了在0-1 000(15 cm)數(shù)字線估計任務(wù)中，二、四、六年級對7，13，19，25，43，50，61，75，83，88 和97這幾個點估計的PAE均有顯著差異（F(10, 1 244)=29.14，p<0.001；F(10, 958)=82，p<0.001，F(xiàn)(10, 1 728)=40.21，p<0.001）.

表6　不同年級估計0-1 000（15 cm）數(shù)字線上不同點的PAE

進一步事后檢驗（LSD）發(fā)現(xiàn)，二年級估計500的PAE顯著低于估計70，130，190，250，430的PAE（ps<0.05），估計500的PAE與估計610、750、830、880、970的PAE無顯著差異；四年級估計500的PAE顯著低于估計其他數(shù)的PAE（ps<0.05）；六年級估計500的PAE顯著低于估計70，130，190，830和880的PAE（ps<0.05），雖然估計其他數(shù)與估計500的PAE無顯著差異，但PAE都很低.

根據(jù)1/N（N為偶數(shù)）分段，得出偶分點有130，250，750，880，估計偶分點的PAE和估計其他數(shù)字的PAE進行比較發(fā)現(xiàn)，二年級估計750、880的PAE顯著低于估計70、190、430的PAE（ps<0.05），估計130的PAE顯著高于估計610、830、970的PAE（ps<0.05）.四年級估計各個偶分點的PAE與估計其他數(shù)字的PAE無顯著差異.六年級估計750的PAE顯著低于估計190、430、830的PAE（ps<0.05）；估計250的PAE顯著低于估計190的PAE（ps<0.05）.

4　討 論

4.1小學兒童數(shù)字線估計準確性

對二、四、六年級數(shù)字線估計任務(wù)的PAE的分析表明：隨著年級的增長，小學生的數(shù)字線估計準確性不斷提升，說明教育會提升兒童數(shù)字線估計的準確性.例如：Siegler和Ramani也曾通過玩線性棋類游戲的方法提升了兒童數(shù)字線估計的成績[14].

通過分別對二年級、四年級和六年級在0-100(15 cm) 和0-100(10 cm)數(shù)字線估計任務(wù)中的PAE比較發(fā)現(xiàn)，二、四和六年級在0-100(15 cm)數(shù)字線估計任務(wù)中的PAE與在0-100(10 cm)數(shù)字線估計任務(wù)中的PAE無顯著差異.而莫雷等（2010）的研究發(fā)現(xiàn)一年級兒童在0-100(10 cm)數(shù)字線估計中的PAE低于他們在0-100(20 cm)數(shù)字線估計任務(wù)中的PAE，即隨著數(shù)字線長度增長，估計的PAE降低.與莫雷等人研究的結(jié)果[15]相對比，不能判斷數(shù)字線長度對數(shù)字線估計準確性有何影響，因此，還需再控制一些額外變量（如“數(shù)字線長度的變化幅度”）的基礎(chǔ)上，進一步研究該問題.盡管數(shù)字線估計不受長度單位的影響，仍不能得出數(shù)字線估計精確性與測量知識無關(guān)的結(jié)論.通過分別對二、四和六年級在0-100(15 cm)和0-1 000(15 cm)數(shù)字線估計任務(wù)中的PAE進行比較發(fā)現(xiàn)，二、四和六年級在0-100(15 cm)數(shù)字線估計任務(wù)中的PAE顯著低于在0-1 000(15 cm)數(shù)字線估計任務(wù)中的PAE，說明數(shù)字線估計任務(wù)數(shù)范圍的擴展提升了任務(wù)難度，降低了數(shù)字線估計的精確性.只有當兒童掌握了0-1 000范圍內(nèi)的數(shù)知識，才能在0-1 000數(shù)范圍數(shù)字線估計任務(wù)中有較高準確性.

4.2小學兒童數(shù)字線估計的表征模式

分別對二、四、六年級在0-100(15 cm)、0-100(10 cm)、0-1 000(15 cm)數(shù)字線估計任務(wù)中的數(shù)據(jù)進行分析，把每種類型估計值的中位數(shù)視為因變量，做實際呈現(xiàn)數(shù)的對數(shù)函數(shù)和線性函數(shù)的擬合（作群體估計模式的擬合），把單個被試的估計值視為因變量作實際呈現(xiàn)數(shù)的對數(shù)函數(shù)和線性函數(shù)的擬合（作個體估計模式的擬合）.通過比較對群體估計模式的擬合結(jié)果與對個體估計模式的擬合結(jié)果，發(fā)現(xiàn)一個不一致之處：對群體估計模式的擬合，四年級在0-100(15 cm)數(shù)字線估計任務(wù)中，與線性函數(shù)而非對數(shù)函數(shù)有較優(yōu)擬合，但對數(shù)擬合與線性擬合的差異不顯著.二、六年級估計0-100(15 cm)數(shù)字線任務(wù)時，線性函數(shù)的擬合度顯著優(yōu)于對數(shù)函數(shù)的擬合度.因此，在0-100(15 cm)數(shù)字線估計任務(wù)中，數(shù)字線估計的心理表征模式在年級間沒有出現(xiàn)對數(shù)函數(shù)向線性函數(shù)的轉(zhuǎn)變.對個體估計模式的擬合，在0-100(15 cm)數(shù)字線估計任務(wù)中，二年級更符合線性函數(shù)的人數(shù)比顯著低于四、六年級，說明數(shù)字線估計的心理表征模式從二年級主要采用對數(shù)函數(shù)轉(zhuǎn)向四、六年級主要采用線性函數(shù).出現(xiàn)這種不一致的原因是：做群體估計模式的擬合是對實際呈現(xiàn)數(shù)與估計值的中位數(shù)的函數(shù)關(guān)系作對數(shù)函數(shù)或線性函數(shù)的擬合，做個體估計模式的擬合是對實際呈現(xiàn)數(shù)與單個被試估計值的函數(shù)關(guān)系進行擬合，當取眾多單個被試估計值的中位數(shù)來概括多個被試的估計值時，會出現(xiàn)一些誤差，比如說：估計值沒有分析一些極端值.

因此，對個體估計模式的擬合結(jié)果比對群體估計模式的擬合結(jié)果更能解釋兒童數(shù)字線估計的表征模式.對個體估計模式的擬合結(jié)果表明：在0-100(15 cm)數(shù)字線估計任務(wù)中，出現(xiàn)了從二年級主要采用對數(shù)表征轉(zhuǎn)向四、六年級主要采用線性表征的變化情況，體現(xiàn)了表征模式的發(fā)展趨勢，驗證了重疊波理論的觀點，即不同年級的孩子都擁有多重數(shù)估計心理表征.并且隨著年齡和經(jīng)驗的增長，從主要采用不精確的對數(shù)表征，變得越來越多地采用精確的線性表征.

4.3小學生數(shù)字線估計中的分段策略

研究發(fā)現(xiàn)二、四、六年級估計0-100(10 cm)、0-1 000(15 cm)時均采用的是線性表征，那么在這兩個任務(wù)中不同點估計錯誤百分比的差異不是因為采用了不精確的對數(shù)表征，有可能是受到分段策略的影響.如果估計分半點的錯誤百分比顯著低于估計其它數(shù)的錯誤百分比，那么兒童采用了分半策略，在0-100范圍的數(shù)字線估計任務(wù)中，分半點為50，在0-1 000范圍的數(shù)字線估計任務(wù)中，分半點為500.如果在0-100范圍的數(shù)字線估計任務(wù)中，估計13、25、75、88的錯誤百分比顯著低于估計7、19、43、61、83、97的錯誤百分比，在0-1 000范圍的數(shù)字線估計任務(wù)中，估計130、250、750、880的錯誤百分比性顯著低于估計70、190、430、610、830、970的準確性，那么兒童采用了偶分策略，在數(shù)字線1/N（N為偶數(shù)）處進行分段.

通過對二、四、六年級學生在估計0-100(15 cm)、0-100(10 cm)、0-1 000(15 cm)數(shù)字線估計任務(wù)中不同點估計錯誤百分比的差異分別進行分析，發(fā)現(xiàn)二、四、六年級在三條數(shù)字線上均采用了分半策略.并且，二、四年級學生沒有采用偶分策略，六年級學生采用了偶分策略.

研究證實低年級兒童已經(jīng)掌握了分半策略：采用分半策略的四年級兒童人數(shù)比例與采用分半策略的六年級人數(shù)比例都很高，因為中點是線段上與兩端距離相等的點，根據(jù)中點分段就很容易，只需要判斷該點的左端和右端是否大致相等即可，兒童可以通過將繩子對折來模擬將線段分半，在他們判斷出線段中點之前，他們會對中點兩端數(shù)字線長度不斷做出調(diào)整.盡管分半策略可以提供分半點與線段兩端距離相等的信息，但Barth & Paladino發(fā)現(xiàn)[4]，進行數(shù)字線估計時，把中點作為參照點的兒童的估計成績與沒有采用中點為參照點的兒童的估計成績無顯著差異，主要原因是她們選用了平均年齡為5歲和7歲的被試，年幼兒童不能把整體量和部分量很好地聯(lián)系起來，即使這個部分量是整體量的一半.

認為偶分策略的使用情況存在年齡差異的原因是五年級下學期開始學習因數(shù)和倍數(shù)、分數(shù)等與比例有關(guān)的數(shù)學知識，而六年級上學期進一步深化了分數(shù)的學習，并接觸了百分數(shù).所以六年級學生估計某些偶分點的PAE與估計某些非偶分點的PAE的差異不顯著.因為分段通常不是為了把數(shù)字線分解為單位長度來轉(zhuǎn)換標準單位，而是在估計前先在心里將估計物分解為較小的連續(xù)量，再用其它策略進行估計.比如他們常把分段策略與重組策略配合使用：將較小部分的估計相加或相乘.

5　結(jié) 論

隨著年級的增長，小學生的數(shù)字線估計準確性不斷提升；數(shù)字線估計任務(wù)中，表征模式發(fā)展趨勢為：從不精確的對數(shù)模型向精確線性模型的過渡；數(shù)字線估計中的分段策略表現(xiàn)為從分半策略向偶分策略的過渡.

［參 考 文 獻］

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[責任編校：周學智]

Partitioning Strategy in Pupils Number Line Estimation

XING Qiang, XU Zheng-ming, CAI Xin-hua
(Department of Psychology, Guangzhou University, Guangdong Guangzhou 510006, China)

Abstract:A 3[(task: 0-100(15cm), 0-100(10cm), 0-1000(15cm)]cross 3 (grade: two, four, six) mixed design was used to investigate the mental representation of pupils and the efficiency of partitioning strategy in number line estimation. The results showed that: (1) The correlation between age and performance is high; (2) In number line estimation task, students of grade two rely on less accurate logarithmic number representations, students of grade four and grade six rely on more accurate linear representations with age; (3) Students of grade two and grade four use central partitioning strategy, and students of grade six apply even partitioning strategy.

Key words:pupils; number line estimation; representation pattern; partitioning strategy

作者簡介：邢強（1973—），男，甘肅會寧人，教授，博士，主要從事認知與學習研究.

基金項目：教育部人文社會科學“十一五”規(guī)劃項目——小學生數(shù)學問題表征特點與表征能力培養(yǎng)研究（09YJA880023）

收稿日期：2015-03-06

中圖分類號：G420

文獻標識碼：A

文章編號：1004-9894（2015）04-0082-06