雙變量問題常用解決策略

姚晶

雖然高中研究的函數(shù)問題基本都是單變量問題，但是雙變量問題也時常出現(xiàn)，特別在最近幾年高考中出現(xiàn)次數(shù)比較頻繁，學生對于此類問題的處理往往苦無對策，造成失分.所以把握好此類的問題的解決策略，對于高考的復(fù)習和備考有著重要的意義.筆者根據(jù)多年的高三教學經(jīng)歷，對此類問題茲舉幾例和讀者一起探討問題的背景和解決策略.

一、問題

二、解法分析

上面的解答中（1）學生很容易理：第一問是關(guān)于的恒等式求參數(shù)f（0），f′（1），可通過賦值法建立關(guān)于這兩個參數(shù)的方程解決問題.但是（2）問中求（a+1）b的最大值的過程學生要想到會有一定的困難，實質(zhì)上高考題（2）問中使用不等式放縮（a+1）b到（a+1）-（a+1）ln（a+1），從而實現(xiàn)變量的化歸：將雙變量的（a+1）b的最大值轉(zhuǎn)化為單變量（a+1）-（a+1）ln（a+1）的函數(shù)最值問題.

三、背景研究

本題的求最大值標準答案采用的辦法是利用不等式進行化歸將雙變量變成單變量的函數(shù)求最值，是雙變量求最值問題的一種常用解法，有著深刻的數(shù)學背景.對此很多高考問題都與之相關(guān).下面筆者對雙變量的最值問題的常規(guī)解法作總結(jié)和研究.

（一）數(shù)形結(jié)合法

點評：

（二）均值不等式法

分析：上述問題具備條件和目標中具備和、積、平方和、倒數(shù)和等結(jié)構(gòu)特征，可使用均值不等式處理此類問題.

點評：均值不等式法處理雙變量最值問題需要條件和目標都具備和與積等一定的結(jié)構(gòu)特征才能使用，但是要注意的是若多次使用均值不等式求取表達式的最值，則需驗證多次均值不等式的等號能否同時成立.

（三）多變量轉(zhuǎn)化為單變量的函數(shù)法

點評：當題目條件提供了適合等式或不等式條件時條件時，可將變量通過條件進行轉(zhuǎn)化如例3中的用變量b表示變量a，實現(xiàn)目標表達式化為關(guān)于變量b的函數(shù)問題；本文開頭2012全國新課標高考題的第二問通過變量b與變量a的不等關(guān)系將（a+1）b的最大值轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量a的超越函數(shù)求最值問題.需要注意的是不等式進行轉(zhuǎn)化最后需要驗證等號成立的情況.

此外，出現(xiàn)雙變量的等式條件若最高次為二次的時候則可以嘗試使用判別式法.例2中3）令t=x+y，則y=t-x代入條件等式中得到關(guān)于x的一元二次方程參數(shù)為可通過判別式求t的取值范圍.endprint

雖然高中研究的函數(shù)問題基本都是單變量問題，但是雙變量問題也時常出現(xiàn)，特別在最近幾年高考中出現(xiàn)次數(shù)比較頻繁，學生對于此類問題的處理往往苦無對策，造成失分.所以把握好此類的問題的解決策略，對于高考的復(fù)習和備考有著重要的意義.筆者根據(jù)多年的高三教學經(jīng)歷，對此類問題茲舉幾例和讀者一起探討問題的背景和解決策略.

一、問題

二、解法分析

上面的解答中（1）學生很容易理：第一問是關(guān)于的恒等式求參數(shù)f（0），f′（1），可通過賦值法建立關(guān)于這兩個參數(shù)的方程解決問題.但是（2）問中求（a+1）b的最大值的過程學生要想到會有一定的困難，實質(zhì)上高考題（2）問中使用不等式放縮（a+1）b到（a+1）-（a+1）ln（a+1），從而實現(xiàn)變量的化歸：將雙變量的（a+1）b的最大值轉(zhuǎn)化為單變量（a+1）-（a+1）ln（a+1）的函數(shù)最值問題.

三、背景研究

本題的求最大值標準答案采用的辦法是利用不等式進行化歸將雙變量變成單變量的函數(shù)求最值，是雙變量求最值問題的一種常用解法，有著深刻的數(shù)學背景.對此很多高考問題都與之相關(guān).下面筆者對雙變量的最值問題的常規(guī)解法作總結(jié)和研究.

（一）數(shù)形結(jié)合法

點評：

（二）均值不等式法

分析：上述問題具備條件和目標中具備和、積、平方和、倒數(shù)和等結(jié)構(gòu)特征，可使用均值不等式處理此類問題.

點評：均值不等式法處理雙變量最值問題需要條件和目標都具備和與積等一定的結(jié)構(gòu)特征才能使用，但是要注意的是若多次使用均值不等式求取表達式的最值，則需驗證多次均值不等式的等號能否同時成立.

（三）多變量轉(zhuǎn)化為單變量的函數(shù)法

點評：當題目條件提供了適合等式或不等式條件時條件時，可將變量通過條件進行轉(zhuǎn)化如例3中的用變量b表示變量a，實現(xiàn)目標表達式化為關(guān)于變量b的函數(shù)問題；本文開頭2012全國新課標高考題的第二問通過變量b與變量a的不等關(guān)系將（a+1）b的最大值轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量a的超越函數(shù)求最值問題.需要注意的是不等式進行轉(zhuǎn)化最后需要驗證等號成立的情況.

此外，出現(xiàn)雙變量的等式條件若最高次為二次的時候則可以嘗試使用判別式法.例2中3）令t=x+y，則y=t-x代入條件等式中得到關(guān)于x的一元二次方程參數(shù)為可通過判別式求t的取值范圍.endprint

雖然高中研究的函數(shù)問題基本都是單變量問題，但是雙變量問題也時常出現(xiàn)，特別在最近幾年高考中出現(xiàn)次數(shù)比較頻繁，學生對于此類問題的處理往往苦無對策，造成失分.所以把握好此類的問題的解決策略，對于高考的復(fù)習和備考有著重要的意義.筆者根據(jù)多年的高三教學經(jīng)歷，對此類問題茲舉幾例和讀者一起探討問題的背景和解決策略.

一、問題

二、解法分析

上面的解答中（1）學生很容易理：第一問是關(guān)于的恒等式求參數(shù)f（0），f′（1），可通過賦值法建立關(guān)于這兩個參數(shù)的方程解決問題.但是（2）問中求（a+1）b的最大值的過程學生要想到會有一定的困難，實質(zhì)上高考題（2）問中使用不等式放縮（a+1）b到（a+1）-（a+1）ln（a+1），從而實現(xiàn)變量的化歸：將雙變量的（a+1）b的最大值轉(zhuǎn)化為單變量（a+1）-（a+1）ln（a+1）的函數(shù)最值問題.

三、背景研究

本題的求最大值標準答案采用的辦法是利用不等式進行化歸將雙變量變成單變量的函數(shù)求最值，是雙變量求最值問題的一種常用解法，有著深刻的數(shù)學背景.對此很多高考問題都與之相關(guān).下面筆者對雙變量的最值問題的常規(guī)解法作總結(jié)和研究.

（一）數(shù)形結(jié)合法

點評：

（二）均值不等式法

分析：上述問題具備條件和目標中具備和、積、平方和、倒數(shù)和等結(jié)構(gòu)特征，可使用均值不等式處理此類問題.

點評：均值不等式法處理雙變量最值問題需要條件和目標都具備和與積等一定的結(jié)構(gòu)特征才能使用，但是要注意的是若多次使用均值不等式求取表達式的最值，則需驗證多次均值不等式的等號能否同時成立.

（三）多變量轉(zhuǎn)化為單變量的函數(shù)法

點評：當題目條件提供了適合等式或不等式條件時條件時，可將變量通過條件進行轉(zhuǎn)化如例3中的用變量b表示變量a，實現(xiàn)目標表達式化為關(guān)于變量b的函數(shù)問題；本文開頭2012全國新課標高考題的第二問通過變量b與變量a的不等關(guān)系將（a+1）b的最大值轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量a的超越函數(shù)求最值問題.需要注意的是不等式進行轉(zhuǎn)化最后需要驗證等號成立的情況.

此外，出現(xiàn)雙變量的等式條件若最高次為二次的時候則可以嘗試使用判別式法.例2中3）令t=x+y，則y=t-x代入條件等式中得到關(guān)于x的一元二次方程參數(shù)為可通過判別式求t的取值范圍.endprint