順序小波包圖像壓縮感知方法*

周四望,羅孟儒

(湖南大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院,湖南 長(zhǎng)沙 410082)

順序小波包圖像壓縮感知方法*

周四望,羅孟儒?

(湖南大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院,湖南 長(zhǎng)沙 410082)

針對(duì)壓縮感知中測(cè)量次數(shù)不確定的問(wèn)題，提出了順序小波包圖像壓縮感知方法.該方法選用小波包變換分解圖像，降低信號(hào)稀疏度，將圖像劃分為大小相等的小波包系數(shù)塊，利用小波包系數(shù)塊數(shù)學(xué)期望與稀疏度之間的關(guān)系，對(duì)初始采樣信號(hào)y0的長(zhǎng)度進(jìn)行預(yù)測(cè)；同時(shí)變長(zhǎng)設(shè)置順序壓縮感知過(guò)程中采樣信號(hào)y1,…,yn的長(zhǎng)度，來(lái)減少解壓縮端重構(gòu)次數(shù)以及兩端的通信次數(shù)，從而解決傳統(tǒng)順序壓縮感知方法中存在的不足.實(shí)驗(yàn)表明該方法在重構(gòu)次數(shù)和重構(gòu)精度上優(yōu)于傳統(tǒng)順序壓縮感知方法.

小波變換；壓縮感知；數(shù)學(xué)期望；圖像

壓縮感知理論(Compressed Sensing，CS)[1]已經(jīng)在圖像處理等領(lǐng)域[2-3]引起了極大的重視.CS中對(duì)于稀疏度為K的信號(hào)，可以通過(guò)M大小的采樣值進(jìn)行重構(gòu).文獻(xiàn)[4]指出，當(dāng)M=4K時(shí)信號(hào)能近乎完美重構(gòu)，因此在大部分應(yīng)用中，CS的采樣長(zhǎng)度選擇上限4K.隨著研究的深入，研究人員發(fā)現(xiàn)對(duì)于含噪聲的K稀疏信號(hào)，只需M=O(Klog (N/K))就能夠在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)魯棒地恢復(fù)原信號(hào)[5].在基于模型的壓縮感知方法中[6]，Baraniuk等人證明，若能增加小波樹(shù)結(jié)構(gòu)的先驗(yàn)信息，則CoSaMP算法僅需滿(mǎn)足M=Ο(K)即可實(shí)現(xiàn)魯棒重構(gòu).由于不同圖像的結(jié)構(gòu)等先驗(yàn)信息不盡相同，研究人員只能盡力尋找壓縮感知重構(gòu)所需M的界，不可能從數(shù)學(xué)上推導(dǎo)出M的值.因此在實(shí)際應(yīng)用中，有時(shí)M取值過(guò)大，則會(huì)增加設(shè)備的采樣負(fù)擔(dān)、耗費(fèi)更多的網(wǎng)絡(luò)延時(shí)和其它資源[7-8].因而在保證圖像恢復(fù)質(zhì)量的前提下，盡可能地減少采樣值是圖像壓縮感知處理中值得考慮的一個(gè)問(wèn)題.

(1)

SequentialCS為盡可能減少采樣值提出了解決方案，然而SequentialCS仍有以下2個(gè)方面值得考慮.其一，如何確定初始采樣信號(hào)y0的長(zhǎng)度.y0的長(zhǎng)度直接影響著信號(hào)的傳送以及重構(gòu)次數(shù).若y0的長(zhǎng)度設(shè)置合理，重構(gòu)和通信次數(shù)就會(huì)越少.然而SequentialCS相關(guān)方法對(duì)于如何確定y0的長(zhǎng)度沒(méi)有提出相應(yīng)的解決方法.其二，如何確定y1,…,yn的長(zhǎng)度.在實(shí)際應(yīng)用中，如果重構(gòu)信號(hào)間的誤差很大，采樣信號(hào)的長(zhǎng)度相對(duì)取大些，這樣能加快SequentialCS處理進(jìn)程，從而減少通信次數(shù)及計(jì)算量；若誤差相差不大，采樣信號(hào)的長(zhǎng)度取小些，就不會(huì)造成采樣浪費(fèi).然而SequentialCS中，y1,…,yn的長(zhǎng)度設(shè)定都是相同的，不能根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行變長(zhǎng)處理來(lái)減少計(jì)算量.

1 順序小波包圖像壓縮感知方法

本文設(shè)計(jì)的順序小波包圖像壓縮感知方法將解決以上兩個(gè)問(wèn)題.本文采用小波包變換對(duì)圖像進(jìn)行分解，進(jìn)一步提高圖像稀疏度.另外由于小波包變換將圖像分為大小相等的小波包系數(shù)塊，因而我們以小波包系數(shù)塊為單位進(jìn)行壓縮感知測(cè)量，自然地降低了測(cè)量矩陣的維數(shù).

1.1 基于數(shù)學(xué)期望的初始采樣信號(hào)y0長(zhǎng)度設(shè)置方法

本小節(jié)研究基于數(shù)學(xué)期望來(lái)預(yù)測(cè)初始采樣信號(hào)y0長(zhǎng)度的方法.由式(1)可知，y0為SequentialCS中壓縮端首次傳遞給解壓縮端的采樣信號(hào).y0長(zhǎng)度的設(shè)置，對(duì)壓縮端采樣、解壓縮端信號(hào)重構(gòu)次數(shù)和信號(hào)傳遞次數(shù)都有著非常直接的影響.

我們知道小波包系數(shù)塊的稀疏度是通過(guò)大系數(shù)的多少來(lái)反映的.在系數(shù)都為正數(shù)的情況下，數(shù)學(xué)期望值小的小波包塊相對(duì)有更高的稀疏度.另外由于信號(hào)越稀疏，恢復(fù)信號(hào)所需的采樣值就越少.因而在本文中我們根據(jù)小波包系數(shù)塊之間數(shù)學(xué)期望與稀疏度的比例關(guān)系來(lái)對(duì)y0的長(zhǎng)度進(jìn)行預(yù)測(cè)，算法如圖1所示.

圖1 基于數(shù)學(xué)期望的初始采樣信號(hào)長(zhǎng)度設(shè)置算法

(2)

在圖1中，數(shù)學(xué)期望為中位數(shù)的小波包系數(shù)塊(i,j)是在計(jì)算需進(jìn)行壓縮感知處理的小波包系數(shù)塊的數(shù)學(xué)期望后，對(duì)那些不為0的數(shù)學(xué)期望進(jìn)行粗略排序得到；小波包系數(shù)塊(k,p)指第k行第p個(gè)小波包系數(shù)塊，它泛指除(i,j)外其他要進(jìn)行壓縮感知處理的小波包系數(shù)塊.MM為最大采樣長(zhǎng)度，即y0長(zhǎng)度最大不能超過(guò)MM.另外由于小波包系數(shù)塊(1,1)為低頻信號(hào)，它包含圖像大部分信息，一般采用線(xiàn)性傳輸，因而不參與此過(guò)程.

圖2更清楚地闡述了本算法的實(shí)質(zhì).從圖2可以看出，只要確定一個(gè)小波包系數(shù)塊(i,j)的最終采樣長(zhǎng)度，那其他小波包系數(shù)塊的初始采樣長(zhǎng)度就能根據(jù)(i,j)的數(shù)學(xué)期望和采樣長(zhǎng)度進(jìn)行確定.在對(duì)(i,j)進(jìn)行順序壓縮感知處理時(shí)，由于信息不充分，(i,j)的初始采樣長(zhǎng)度只能手動(dòng)設(shè)置，故壓縮端和解壓縮端之間計(jì)算時(shí)間和通信次數(shù)沒(méi)有太多的改變.但得到(i,j)最終采樣長(zhǎng)度后，就可以根據(jù)其數(shù)學(xué)期望和采樣長(zhǎng)度去預(yù)測(cè)其他小波包系數(shù)塊初始采樣長(zhǎng)度.這樣在對(duì)其他小波包系數(shù)塊進(jìn)行順序壓縮感知處理時(shí)，由于初始采樣值設(shè)定合理，既能盡量少采樣，又可以從整體上大大節(jié)省壓縮端和解壓縮端的計(jì)算壓力以及通信次數(shù).

圖2 基于數(shù)學(xué)期望的初始采樣信號(hào)長(zhǎng)度確定

1.2 變長(zhǎng)設(shè)置的y1,…,yn長(zhǎng)度

本節(jié)將變長(zhǎng)設(shè)置y1,…,yn的長(zhǎng)度.圖3采用時(shí)序圖的思路展示了對(duì)某一小波包系數(shù)塊進(jìn)行順序壓縮感知處理時(shí)，y1,…,yn的長(zhǎng)度確定過(guò)程.其中Emin為常數(shù).首先壓縮端發(fā)送采樣值yj-1給解壓縮端，解壓縮端收到信號(hào)后對(duì)其進(jìn)行重構(gòu)，計(jì)算兩重構(gòu)信號(hào)間的誤差Ej-1，然后比較Ej-1與Emin，若Ej-1≤Emin說(shuō)明重構(gòu)圖像滿(mǎn)足誤差要求，解壓縮端讓壓縮端停止傳送采樣值，重構(gòu)結(jié)束.若Ej-1>Emin則說(shuō)明不能重構(gòu)原信號(hào)，解壓縮端讓壓縮端再次傳送采樣值yj，yj的長(zhǎng)度nj=αEj-1*M，其中α為常系數(shù)，M為原始信號(hào)長(zhǎng)度.這樣依次傳遞直到滿(mǎn)足要求為止.

從圖3看出yj的長(zhǎng)度nj是基于上一次誤差進(jìn)行確定的，從而根據(jù)圖像重構(gòu)效果變長(zhǎng)設(shè)置y1,…,yn長(zhǎng)度.此方法是借鑒TCP流量控制的思想，其中窗口的大小(即y1,…,yn的長(zhǎng)度)由解壓縮端進(jìn)行控制，如yj的長(zhǎng)度nj=αEj-1*M，解壓縮端就是通過(guò)重構(gòu)信號(hào)之間的誤差Ej-1來(lái)控制下一次采樣信號(hào)yj的長(zhǎng)度，如圖4所示，α控制窗口的規(guī)模，我們可以根據(jù)圖像恢復(fù)的精度需要對(duì)α進(jìn)行設(shè)置，Ej-1確定窗口的大小.只要把α設(shè)置為正數(shù)，那么兩信號(hào)之間的誤差Ej-1越大，nj也會(huì)相應(yīng)地更長(zhǎng).這樣就可以根據(jù)每個(gè)小波包系數(shù)塊各自的特點(diǎn)，對(duì)y1,…,yn的長(zhǎng)度進(jìn)行自適應(yīng)地調(diào)整.

圖3 確定y1,…,yn長(zhǎng)度

圖4 yj窗口大小nj設(shè)置

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

本節(jié)進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn).實(shí)驗(yàn)平臺(tái)為matlab7.0，電腦主頻為2.53GHz，內(nèi)存大小為2G.測(cè)試圖像為L(zhǎng)ena,Cameraman和BABOON，其中Lena包含豐富的細(xì)節(jié)和紋理特征，Cameraman前景和背景對(duì)比較大，BABOON平滑區(qū)域和細(xì)節(jié)區(qū)域較為明顯.實(shí)驗(yàn)中，我們用“Symmlet”小波對(duì)圖像進(jìn)行4層小波包分解，觀(guān)測(cè)矩陣為高斯矩陣，重構(gòu)算法為OMP.

2.1 初始采樣信號(hào)y0長(zhǎng)度設(shè)置合理性驗(yàn)證

我們選取圖像中6個(gè)位置(數(shù)學(xué)期望相對(duì)很靠前)的小波包系數(shù)塊進(jìn)行驗(yàn)證.我們依次增加信號(hào)采樣比，觀(guān)察信號(hào)誤差隨采樣比的變化情況.

圖5～圖7分別是Lena，Cameraman，BABOON的小波包系數(shù)塊采樣比與誤差的關(guān)系.圖中橫坐標(biāo)為采樣值占信號(hào)總長(zhǎng)度百分比，縱坐標(biāo)為原小波包系數(shù)塊與重構(gòu)后小波包系數(shù)塊的誤差.如圖5所示(3,1)1.078表示小波包變換后，位于圖像第3行第1塊的小波包系數(shù)塊的數(shù)學(xué)期望為1.078.

采樣比

采樣比

采樣比

2.2 變長(zhǎng)設(shè)置y1,…,yn長(zhǎng)度合理性驗(yàn)證

本實(shí)驗(yàn)中，對(duì)比實(shí)驗(yàn)為文獻(xiàn)[9]中(即傳統(tǒng)順序壓縮感知方法)等長(zhǎng)設(shè)置y1,…,yn.設(shè)y0的采樣比為0.1，信號(hào)總采樣比不高于0.7.等長(zhǎng)方法設(shè)置y1,…,yn長(zhǎng)度時(shí)，y1,…,yn的采樣比為0.02.變長(zhǎng)設(shè)置時(shí)，我們根據(jù)Sj與Sj-1的誤差E(Sj,Sj-1)大小進(jìn)行設(shè)置，令α=0.1，則采樣比為E(Sj,Sj-1)×0.1，精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位.若E(Sj,Sj-1)=0.827，則yj+1的采樣比為0.08.圖中，“文獻(xiàn)[9]-重構(gòu)”表示文獻(xiàn)[9]中的等長(zhǎng)設(shè)置方法，“我們-重構(gòu)”表示我們提出的變長(zhǎng)設(shè)置方法.

圖8～圖10是Lena,Cameraman和BABOON等長(zhǎng)和變長(zhǎng)設(shè)置y1,…,yn采樣值的重構(gòu)次數(shù)比較結(jié)果.橫坐標(biāo)表示所處位置的小波包系數(shù)塊，如圖8中(3,1)指位于圖像第3行第1塊的小波包系數(shù)塊.縱坐標(biāo)為SequentialCS處理時(shí)解壓縮端的信號(hào)重構(gòu)次數(shù).從圖8～圖10中可以看出變長(zhǎng)設(shè)置y1,…,yn解壓縮端所需的重構(gòu)次數(shù)比等長(zhǎng)設(shè)置少.

小波包系數(shù)塊

小波包系數(shù)塊

小波包系數(shù)塊

圖11～圖13是Lena,Cameraman和BABOON等長(zhǎng)和變長(zhǎng)設(shè)置y1,…,yn重構(gòu)次數(shù)相同時(shí)各小波包系數(shù)塊的誤差比較結(jié)果.圖中橫坐標(biāo)表示所處位置的小波包系數(shù)塊，縱坐標(biāo)為重構(gòu)信號(hào)與原始信號(hào)之間的重構(gòu)誤差.實(shí)驗(yàn)中，重構(gòu)次數(shù)是每個(gè)小波包系數(shù)塊變長(zhǎng)設(shè)置y1,…,yn重構(gòu)誤差為0或者采樣總長(zhǎng)度到達(dá)最大采樣值MM時(shí)的重構(gòu)次數(shù).從圖11～圖13中看出，在重構(gòu)次數(shù)相同的情況下，變長(zhǎng)設(shè)置y1,…,yn的重構(gòu)誤差相比等長(zhǎng)設(shè)置的重構(gòu)誤差要小.

圖14展示了大小為512×512的Lena,Cameraman和BABOON采用等長(zhǎng)和變長(zhǎng)設(shè)置y1,…,yn重構(gòu)次數(shù)相同時(shí)重構(gòu)圖像對(duì)比.其中，低頻信號(hào)進(jìn)行線(xiàn)性傳遞，小波包系數(shù)塊(3,1),(2,1),(2,2),(1,4),(1,3),(1,2)分別采取等長(zhǎng)和變長(zhǎng)設(shè)置y1,…,yn方法得到，其他小波包系數(shù)塊不進(jìn)行信號(hào)采樣.從圖14可以更直觀(guān)地看出，在重構(gòu)次數(shù)相同的情況下，變長(zhǎng)設(shè)置y1,…,yn的重構(gòu)誤差比等長(zhǎng)設(shè)置的小.

小波包系數(shù)塊

小波包系數(shù)塊

小波包系數(shù)塊

圖14 重構(gòu)圖像對(duì)比

通過(guò)上述實(shí)驗(yàn)，可以看出在完全重構(gòu)信號(hào)時(shí)，變長(zhǎng)設(shè)置y1,…,yn采樣長(zhǎng)度解壓縮端所需重構(gòu)次數(shù)更少.當(dāng)重構(gòu)次數(shù)相同時(shí)，變長(zhǎng)設(shè)置y1,…,yn比等長(zhǎng)設(shè)置重構(gòu)得到的誤差小.

3 結(jié) 論

在CS中，減少采樣長(zhǎng)度意味著減少設(shè)備的采樣負(fù)擔(dān)、計(jì)算時(shí)間以及網(wǎng)絡(luò)傳輸壓力.SequentialCS為盡可能減少采樣值提出了新思路，但仍存在一些不足.本文提出的順序小波包圖像壓縮感知方法通過(guò)對(duì)圖像進(jìn)行小波包分解，從而對(duì)y0的長(zhǎng)度進(jìn)行預(yù)測(cè)，同時(shí)借鑒TCP流控制的思想變長(zhǎng)設(shè)置y1,…,yn的長(zhǎng)度，從整體上降低壓縮端和解壓縮端的通信次數(shù)和運(yùn)算負(fù)擔(dān).實(shí)驗(yàn)表明，根據(jù)小波包系數(shù)塊的期望值對(duì)y0進(jìn)行預(yù)測(cè)、變長(zhǎng)設(shè)置y1,…,yn的長(zhǎng)度是合理的.

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Sequential Image Compressed Sensing Based on Wavelet Packet

ZHOU Si-wang,LUO Meng-ru?

(College of Information Science and Engineering, Hunan Univ, Changsha,Hunan 410082,China)

Aiming at solving the problem of the times of measurements, a scheme of sequential compressed sensing based on wavelet packet was proposed. The wavelet packet transform was firstly employed and the image was decomposed into wavelet packet blocks with the same size. The length of the initial sampling signal was then estimated using the relationship between the mathematical expectation and the sparsity of wavelet packet blocks. Meanwhile, the lengths of sampling signals were set dynamically in order to reduce the reconstruction and communication overhead. The problem of uncertain times of measurements in the traditional compressed sensing was thus overcome. Experimental results show that our proposed scheme has less reconstruction times and lower reconstruction error than the existed ones.

wavelet transforms; compressed sensing; mathematical expectation; image

1674-2974(2015)04-0130-06

2014-02-27

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(60973127)，National Natural Science Foundation of China(60973127) ；教育部新世紀(jì)優(yōu)秀人才計(jì)劃基金資助課題(NCET-11-0136)，湖南省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(14JJ2051)

周四望(1971-)，男，湖南岳陽(yáng)人，湖南大學(xué)副教授，博士

?通訊聯(lián)系人，E-mail:loumengru1988@126.com

TN911.73

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