碟形橡膠準零剛度隔振器的設(shè)計和特性分析*

徐道臨, 周 杰,周加喜,張 敬

(湖南大學(xué) 汽車車身先進設(shè)計制造國家重點實驗室，湖南 長沙 410082)

碟形橡膠準零剛度隔振器的設(shè)計和特性分析*

徐道臨?, 周 杰,周加喜,張 敬

(湖南大學(xué) 汽車車身先進設(shè)計制造國家重點實驗室，湖南 長沙 410082)

設(shè)計了具有準零剛度(QZS)特性的碟形橡膠隔振器，并分析了其隔振特性.隔振器由負剛度元件碟形橡膠(內(nèi)含鋼材料的筋)與正剛度元件豎直橡膠柱并聯(lián)組裝而成.基于Abaqus有限元仿真分析，給出了隔振器在靜平衡位置處出現(xiàn)零剛度時，碟形橡膠元件和豎直橡膠元件分別需要滿足的構(gòu)型和尺寸參數(shù)條件，得到了隔振器的回復(fù)力曲線，并用僅含三次的多項式進行了擬合.進一步，建立隔振系統(tǒng)動力學(xué)方程，基于諧波平衡法分析了系統(tǒng)的隔振特性，并與Abaqus動力學(xué)仿真分析進行對比，結(jié)果表明，碟形橡膠準零系統(tǒng)隔振性能明顯優(yōu)于相應(yīng)的線性系統(tǒng).

準零剛度；碟形橡膠；隔振器；低頻隔振

準零剛度的實現(xiàn)一般是通過正剛度和負剛度的并聯(lián)，其典型的設(shè)計形式是用線性的豎直彈簧和兩根斜彈簧并聯(lián)來實現(xiàn)[1,2,3].其他方法有：利用空氣彈簧實現(xiàn)準零剛度[4]；利用受軸壓的梁和正剛度彈簧組合[5]；利用具有軟彈簧特性的高度變形的擠壓環(huán)[6,7];利用磁鐵或電磁鐵提供負剛度[8,9]；采用6根桿與1根拉簧組合[10]；利用凸輪-滾輪-彈簧機構(gòu)提供負剛度[11]；Zhou[12]通過磁鐵彈簧與機械彈簧并聯(lián)實現(xiàn)了高靜剛度低動剛度，并通過實驗驗證了其隔振效果.

上述空氣彈簧與電磁鐵準零剛度隔振器方案等存在體積大，難以實現(xiàn)工程化等缺點，而其他的像凸輪-滾輪-彈簧機構(gòu)也是原理性的驗證，在緊湊性上有所缺陷.本文提出可實現(xiàn)緊湊化設(shè)計的碟形橡膠準零剛度隔振器.首先，給出碟形橡膠準零剛度隔振器的設(shè)計方案，利用Abaqus仿真分析給出碟形橡膠元件的負剛度曲線及豎直橡膠元件的正剛度曲線，并調(diào)整正負剛度元件設(shè)計參數(shù)，使碟形元件壓至水平時的負剛度值與豎直橡膠元件剛度相等，以滿足零剛度條件，進而將正負剛度元件并聯(lián)組裝形成準零剛度隔振器，并給出其回復(fù)力曲線；其次，用僅含三次方的多項式對回復(fù)力進行擬合，得到近似解析表達式，并利用諧波平衡法給出力傳遞率近似解析表達式；最后，利用有限元動力學(xué)分析，評估系統(tǒng)隔振性能，并與線性系統(tǒng)對比，驗證碟形準零剛度隔振系統(tǒng)的優(yōu)越性.

1 碟形橡膠準零剛度隔振器設(shè)計

準零剛度特性一般是通過把負剛度單元和正剛度單元并聯(lián)組合起來實現(xiàn).本文的準零剛度隔振器是由產(chǎn)生負剛度的碟形橡膠(3)和提供正剛度的豎直橡膠塊(4)并聯(lián)組合而成的，如圖1所示.

系統(tǒng)隔振機理是：被隔振物通過(6)承載接頭與隔振器連接，碟形橡膠(3)被壓至水平位置(即系統(tǒng)的靜平衡位置)，此時蝶形橡膠提供負剛度與豎直橡膠塊(6)的正剛度并聯(lián)抵消而成為零剛度,系統(tǒng)在平衡位置附近振動時，固有頻率低，可實現(xiàn)低頻隔振.

(a)加載前

(b)加載后

2 碟形橡膠的設(shè)計和剛度分析

碟形橡膠是該QZS隔振器設(shè)計中的重要組成部分， 首先借鑒碟形彈簧的分析理論進行設(shè)計，再利用Abaqus仿真分析設(shè)計碟形彈簧的構(gòu)型和參數(shù).圖2為碟形橡膠的結(jié)構(gòu)示意圖，為達到提高剛度的效果，碟形橡膠里面加有鋼筋材料.圖中f為加載的力，x為碟形橡膠的變形量，t為碟形橡膠的斜面厚度，h0為碟形橡膠的斜面高度，D為碟形橡膠被壓平時的直徑.

圖2 碟形橡膠示意圖

2.1 碟形彈簧的理論計算

根據(jù)彈性力學(xué)理論[13]，碟形彈簧的軸向載荷f與位移變形量x的關(guān)系是：

(1)

式中：f為軸向載荷，N;t為彈簧厚度，mm；D為碟形彈簧的外徑，mm；x為碟形彈簧的變形量，mm；h0為碟形彈簧壓平時的變形量的計算值，mm；E為彈性模量，MPa；μ為泊松比；K1,K4為計算系數(shù)．

此處為無支撐面型，所以取K4=1,式(1)對位移求導(dǎo)得：

(2)

k=a(1.5X2-3bX+b2+1)．

(3)

2.2 碟形橡膠的有限元分析

考慮承載質(zhì)量m=11kg，隔振頻率低于4Hz.以上述理論分析為指導(dǎo)，初步設(shè)計了結(jié)構(gòu)參數(shù)h0=4 mm,D=140 mm，橡膠厚度t=10 mm.沿碟形橡膠面一周均布50根徑向筋，其橫截面半徑為r=0.6 mm.

由于設(shè)計中必須考慮上蓋(2)與碟形橡膠(3)硫化固結(jié)的圓滑過渡工藝要求，這會影響碟形橡膠剛度；另外加筋碟形橡膠的理論剛度很難確定，需要采用有限元分析獲得.圖3為碟形橡膠在受力狀態(tài)下的三維有限元模型，由于本模型具有軸對稱性，所以選擇一半的模型作為分析對象.橡膠部分的單元類型為C3D8RH，剛體部分為C3D8R, 筋單元為B31.由于本模型在平衡位置附近會呈現(xiàn)負剛度特性，故加力載荷在水平平衡位置附近會出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象，即負剛度部分的位移捕捉不到.所以采用位移載荷法，位移施加范圍0～8 mm.

圖3表示位移云圖，其中由于碟形橡膠與承載接頭的連接處存在應(yīng)力集中現(xiàn)象，所以網(wǎng)格比其他地方要密集，這是為了提高仿真結(jié)果的可靠性．本模型通過上表面與中心點耦合，把中心點作為加載點，通過采集加載點的位移與反力，可得碟形橡膠模型的力與位移曲線，進一步獲得剛度曲線.

圖4為微凸加筋模型，由圖2可知整個筋是埋在碟形橡膠的中性面上的.采用具有小弧度的加筋方式(圓弧拱高3mm)是為了防止受力加筋面屈曲而產(chǎn)生非連續(xù)跳躍現(xiàn)象，加微凸實質(zhì)是對筋引入一個初始缺陷，使其屈曲發(fā)生得更加平緩.圖5(a)為非微凸時的力與位移曲線，圖5(b)為微凸模型，比較可知，微凸模型可以得到光滑的力與位移曲線.

圖3 碟形橡膠的有限元模型

圖4 微凸加筋模型示意圖

Displacement/mm

Displacement/mm

Displacement/mm

2.3 準零剛度系統(tǒng)的Abaqus分析

圖7為碟形橡膠與豎向橡膠組合的準零剛度隔振器的三維有限元模型.在位移載荷作用下的變形位移云圖表征著彈性體各點的位移分布狀況.圖8為力與位移曲線，圖9為力對位移求導(dǎo)后得出的剛度曲線.圖8和圖9是確認組合系統(tǒng)是否實現(xiàn)準零剛度特性的依據(jù).

圖7 準零系統(tǒng)的有限元模型

為便于后面的準零剛度理論分析，采用只含三次項的多項式[14]來擬合有限元的力與位移曲線，利用最小二乘法擬合出力與位移的關(guān)系為：

f=k3x3=2.0918×109x3．

(4)

式中：f為系統(tǒng)所受外力；x為系統(tǒng)位移，初始位置為系統(tǒng)的靜平衡位置.圖8中的實線代表擬合曲線，虛點線代表有限元分析曲線.可以看出擬合曲線與仿真曲線在平衡點附近吻合得很好，在圖8中位移-1.12mm到1.12mm之間吻合程度達99.76%.針對毫米級振動環(huán)境而言，此擬合精度足可滿足工程設(shè)計要求.

Displacement/mm

圖9是通過有限元分析獲得的剛度曲線(經(jīng)過位移平移x=3.68 mm至平衡點).在平衡位置處，有限元分析的系統(tǒng)剛度實際上為135 N/m，相當(dāng)于豎直橡膠剛度的0.53%.值得指出，采用有限元方法要獲得絕對的零剛度是不容易的，系統(tǒng)組合剛度在平衡點處能降到正剛度的1%以下(接近零剛度)，符合工程設(shè)計要求.

Displacement/mm

3 準零剛度系統(tǒng)隔振性能的理論分析

準零剛度隔振系統(tǒng)包括豎直橡膠和碟形橡膠、被隔振物體，并將系統(tǒng)結(jié)構(gòu)阻尼近似為線性阻尼．當(dāng)幅值為F的激振力作用于被隔振物體上時，被隔振物體會在平衡位置附近振動，如圖1(b)所示.由式(4)可知:準零剛度系統(tǒng)回復(fù)力可由一個只含三次項的多項式表示，所以系統(tǒng)的運動方程可以近似表示為無線性項的達芬方程：

(5)

準零剛度隔振系統(tǒng)的回復(fù)力具有強非線性，利用諧波平衡法分析系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)特性.假設(shè)系統(tǒng)響應(yīng)頻率由激勵頻率主導(dǎo)，則可以運用單諧波的方法來求解非線性的響應(yīng).因此式(5)的解可以設(shè)為y=Acos(ωt+φ)，它的幅頻響應(yīng)方程可表示為：

(6)

激振力的幅值為F，傳遞至基礎(chǔ)的力為：

(7)

傳遞力的幅值為：

(8)

其中設(shè)計參數(shù)為k3=2.091 8×109N/m，m=11 kg，k=25 565 N/m.

力的傳遞率定義為傳遞到剛性基礎(chǔ)的力的幅值和激振力的幅值的比值：

(9)

當(dāng)阻尼比ζ=0.04，力幅值F=5時，系統(tǒng)的力傳遞率如圖10所示.圖中實線和虛線分別為準零剛度系統(tǒng)和相應(yīng)線性系統(tǒng)的傳遞率曲線.線性系統(tǒng)是指撤除碟形橡膠后僅由豎直橡膠塊支撐的系統(tǒng).

ω/(rad·s-1)

由圖10可知，準零剛度系統(tǒng)的向下跳躍頻率ω1=37 rad/s，峰值A(chǔ)1≈10；線性系統(tǒng)的固有頻率ω0=48 rad/s,峰值A(chǔ)2=12.9.當(dāng)傳遞率小于1時，系統(tǒng)具有隔振性能.從傳遞率曲線看，準零系統(tǒng)的隔振頻率起始于23 rad/s，而線性系統(tǒng)的隔振起始于68 rad/s；且在大頻率范圍內(nèi)準零系統(tǒng)的傳遞率遠遠低于線性系統(tǒng).相對于線性系統(tǒng)而言，準零系統(tǒng)可以將隔振頻帶向低頻區(qū)拓寬66.2%，這是傳統(tǒng)方法難以企及的優(yōu)越性.

4 準零剛度系統(tǒng)隔振性能有限元分析

當(dāng)系統(tǒng)處于靜平衡位置時，對動力學(xué)模型加載：

F=5cos(ωt)．

(10)

碟形橡膠準零剛度隔振器是典型的非線性系統(tǒng)，其響應(yīng)成分可能出現(xiàn)多諧波特性，如圖11顯示的響應(yīng)曲線.由于響應(yīng)具有周期性，對于非線性隔振系統(tǒng)，莊表中等[14]提出力傳遞率的計算公式：

(11)

其中E(x2),E(y2)分別為激勵與傳遞至基礎(chǔ)的力的時程響應(yīng)均方值.

Time/s

同理可得其他激勵頻率下的傳遞率曲線，見圖12.準零剛度系統(tǒng)(實線)起始隔振頻率為ω=27 rad/s，線性系統(tǒng)(虛線)起始隔振頻率大約為ω=56 rad/s.準零剛度系統(tǒng)可以將隔振頻帶向低頻區(qū)拓寬52%，且傳遞率遠遠小于線性系統(tǒng).雖然圖10和圖12是分別基于理論分析方法和有限元數(shù)值分析方法，其結(jié)果有些微差異，但展示的隔振特性趨勢基本相同.理論分析中準零剛度系統(tǒng)帶有一個彎頭部分，這部分為非線性方程的多解區(qū)間，系統(tǒng)響應(yīng)的解取決于初始條件.進行有限元數(shù)值分析時，初始條件均取為(0, 0)，因此只能得到單一解，但從有限元分析曲線可明顯觀察到解的跳躍現(xiàn)象，即典型的非線性特性.

ω/(rad·s-1)

5 參數(shù)影響分析

通過仿真過程得知，整個模型對剛度有影響的參數(shù)主要是筋的截面半徑r和筋的數(shù)量．由圖13和14可知r越大，數(shù)量越多，則該模型在靜平衡位置能承受的力越大，但是剛度曲線的開口就越小，也就是準零剛度起作用的區(qū)間越窄．所以在設(shè)計碟形橡膠準零剛度隔振器時，要在承載能力與起作用區(qū)間取得平衡，也就是要選擇合適的半徑r與筋的數(shù)量.

在2.2節(jié)的隔振器結(jié)構(gòu)尺寸情況下，僅通過改變加筋方式可以成倍提高模型在靜平衡位置承載能力(被隔振質(zhì)量可成倍提高)，說明該碟形準零剛度設(shè)計具有緊湊性等優(yōu)點，主要是因為碟形彈簧在不改變其結(jié)構(gòu)尺寸條件下可成倍提高其負剛度的特性.

Displacement/mm(a)力與位移曲線

Displacement/mm(b)剛度曲線

Displacement/mm(a)力與位移曲線

Displacement/mm(b)剛度曲線

6 結(jié) 論

本文提出了一種碟形橡膠準零剛度系統(tǒng)的緊湊型設(shè)計.結(jié)合碟形彈簧理論和有限元分析方法，詳盡地闡述了新型準零剛度隔振器的建模方法和隔振特性.理論分析和有限元數(shù)值仿真結(jié)果均表明：1)碟形橡膠準零剛度隔振器能夠?qū)崿F(xiàn)低頻隔振；2)可將隔振頻帶向低頻區(qū)拓展50%以上；3)在隔振頻帶區(qū)域的隔振效率要遠優(yōu)于傳統(tǒng)隔振方法.值得指出的是：本文僅描述了單層碟形設(shè)計，它可拓展到多層碟形準零剛度設(shè)計.由于受制于制造能力，目前尚未能進行實物試驗驗證，是個缺憾.但上述理論分析所揭示的碟形準零剛度系統(tǒng)的優(yōu)越特性仍有學(xué)術(shù)借鑒意義.

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Design and Analysis of a Disc Rubber Vibration Isolator with Quasi-zero-stiffness Characteristic

XU Dao-lin?，ZHOU Jie, ZHOU Jia-xi , ZHANG Jing

(State Key Laboratory of Advanced Design and Manufacturing for Vehicle Body, Hunan Univ, Changsha，Hunan 410082, China)

A disc rubber vibration isolator with quasi-zero stiffness (QZS) was designed, and the characteristics of vibration isolation were studied. The QZS isolator was devised by assembling a reinforced disc rubber with negative stiffness in parallel with a vertical rubber cylinder with positive stiffness. By using Finite Element Analysis (FEA), the geometrical parameters of the reinforced disc rubber and the vertical rubber cylinder were achieved to ensure that the isolator's stiffness is close to zero at the static equilibrium position. And then, the characteristics of restoring force were analyzed, and the expression of restoring force was given as a polynomial only having cubic item by fitting the FEA simulations data. Moreover, the equation of motion of the vibration isolation system was obtained, and the isolation performance was evaluated theoretically based on Harmonic Balanced method, which was compared with that by using dynamic FEA. The results have shown that the QZS isolator significantly outperforms the corresponding linear one.

quasi-zero-stiffness； disc rubber； vibration isolator； low-frequency vibration isolation

1674-2974(2015)08-0022-07

2014-07-07

國家自然科學(xué)基金資助項目(11102062)，National Natural Science Foundation of China(11102062) ；高等學(xué)校博士學(xué)科點專項科研基金資助項目(20130161110037，20110161120040)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費資助項目

徐道臨(1958-)，男，浙江寧波人，湖南大學(xué)教授，博士生導(dǎo)師

?通訊聯(lián)系人，E-mail: dlxu@hnu.edu.cn

O322；O328

A