關于偽Smarandache函數的一個混合均值

王曦浛，高　麗，魯偉陽

(延安大學 數學與計算機科學學院，陜西 延安 716000)

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關于偽Smarandache函數的一個混合均值

王曦浛，高麗，魯偉陽

(延安大學 數學與計算機科學學院，陜西 延安 716000)

摘要：對任意的正整數n，著名的偽Smarandache函數Z(n)定義為最小的正整數m使得n|m(m+1)/2，即Z(n)=min{m:n|m(m+1)/2,mN}.對任意的正整數n，算術函數定義(1)=0,當n>1且n=p1α·p2α...pkα為n的標準分解式時，利用初等方法和解析方法研究了偽Smarandache函數Z(n)與算術函數的混合均值問題，并得到一個較強的漸近公式.

關鍵詞：偽Smarandache函數； 算術函數； 混合均值； 漸近公式

對任意的正整數n，著名的偽Smarandache函數Z(n)定義為最小的正整數m使得n|m(m+1)/2，即

ChengLin[4]證明了漸近式

筆者曾討論了Smarandache雙階乘函數與偽Smarandache函數的復合函數Sdf(Z(n))均值[5]，即證明了

(1)

其中，ci(i=1,2,…,k)為可計算的常數且c1=π2/12.

定理1設k≥2是給定的正整數，則對任意的實數x≥2，有漸近式

(2)

其中，ai(i=1,2,…,k)為可計算的常數.

1相關引理

引理1[7-8]對任意的正整數n和k，有1≤Z(n)≤2n-1，當n=2k時，Z(n)=2n-1；當n=pk時，Z(n)=n-1，其中p為奇素數；若n為任意的合數時，Z(n)=max{Z(m):m|n}.

2定理的證明

(3)

其次在集合B中討論，由引理1知

(4)

由引理2及Abel求和公式[10]可得

(5)

(6)

其中，ai(i=1,2,…,k)為可計算的常數.

(7)

(8)

其中，di(i=1,2,…,k)為可計算的常數.

(9)

(10)

結合式(4)，(6)，(8)，(9)和(10)可得

其中，ai(i=1,2,…,k)為可計算的常數.

綜上可知，

，

其中，ai(i=1,2,…,k)為可計算的常數.

證畢.

參考文獻：

[1] Kenichiro K. Comments and Topics on Smarandache Notions and Problems[M]. Aarhus: Erhus University Press,1996.

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[4] Cheng Lin. On the mean value of the Pseudo-Smarandache function[J]. Scientia Magna, 2007, 3(3):97- 100.

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[9] 潘承洞, 潘承彪. 素數定理的初等證明[M]. 上海: 上海科學技術出版社, 1988.

[10] Tom M. Apostol. Introduction to analytic number theory[M]. New York: Spring-Verlag, 1976.

A Hybrid Mean Value of the Pseudo-Smarandache Function

Wang Xihan, Gao Li, Lu Weiyang

(College of Mathematics and Computer Science, Yan’an University, Yan’an 716000，China)

Abstract：For any positive integern, the famous Pseudo-Smarandache functionZ(n) is defined as the smallest positive integer m such thatn|m(m+1)/2, that isZ(n)=min{m:n}m(m+1)/2,mN}.Andforanypositiveintegern,thearithmeticalfunctionΩ(n)isdefinedasΩ(1)=0,ifn>1andn=p1α·p2α...pkαbethefactorizationofnintoprimepowers,(n)=α1p1+α2p2+…+αkpk.TheelementarymethodandanalyticmethodwereperformedtostudythehybridmeanvalueprobleminvolvingthePseudo-SmarandachefunctionZ(n)andthearithmeticalfunction(n),andashaperasymptoticformulawasproposed.

Keywords：Pseudo-Smarandachefunction;arithmeticalfunction;hybridmeanvalue;asymptoticformula

中圖分類號：O156.4

文獻標志碼：ADOl：10.15886/j.cnki.hdxbzkb.2015.0017

文章編號：1004-1729(2015)02-097-03

收稿日期：------------------------ 2015-01-21基金項目： 陜西省科技廳科學技術研究發(fā)展計劃項目(2013JQ1019); 延安大學校級科研計劃項目-引導項目(YD2014-05); 延安大學研究生教育創(chuàng)新計劃項目.

作者簡介：王曦浛(1990-), 女, 陜西乾縣人, 2014級碩士研究生.通信作者： 高麗(1966-), 女, 陜西綏德人, 教授, 碩士生導師, 研究方向：數論、函數論，E-mail:yadxgl@163.com