基于NSGA－Ⅱ的層間隔震體系參數(shù)優(yōu)化與能量響應分析

張尚榮， 譚 平， 杜永峰， 包 超， 周福霖

（1.蘭州理工大學 防震減災研究所，甘肅 蘭州 730050；2.寧夏大學 土木與水利工程學院，寧夏 銀川 750021；3.廣州大學 工程抗震研究中心，廣東 廣州 510405）

層間隔震體系作為一種新型的被動減震控制體系——通過減少地震能量傳遞到建筑物上的“隔震”和“制振”的被動控制體系［1］，目前在國內外有許多成功的工程應用實例并經(jīng)歷了大地震的考驗。層間隔震體系隔震層位置設置不同，會引起結構動力特性的變化，隔震結構的減震機理也會出現(xiàn)新的特征。因此，解決隔震體系參數(shù)的優(yōu)化問題、確定合理的優(yōu)化目標是分析層間隔震體系的前提。

文獻［1］提出以基底剪力最優(yōu)作為層間隔震體系參數(shù)優(yōu)化的目標，兼顧了隔震層上、下部子結構的性能，具有一定的指導意義；非支配排序遺傳算法Ⅱ（NSGA－Ⅱ）［2］作為目前最流行的遺傳算法之一，降低了非劣排序遺傳算法的復雜性，具有運行速度快、解集的收斂性好并且易于得到全局最優(yōu)解的優(yōu)點，成為其他多目標優(yōu)化算法性能的基準。地震對結構的作用是一種能量的傳遞、轉化和耗散的過程。G.W.Housner在20世紀50年代就曾引入“能量分析”的概念，將能量平衡關系應用于簡單的結構設計［3］。文獻［4］分析了智能隔震結構的能量響應，以多遇地震的情形為例，分析了線彈性智能隔震體系的瞬時能量傳遞的解析規(guī)律；文獻［5］從能量觀點出發(fā)，引入設計用能量譜的概念，分析了地震輸入能量在層間隔震結構中的分配和耗散。

層間隔震體系作為一種新型的結構體系，相關研究僅限于探討隔震層參數(shù)對地震響應及減震效果的影響［6］，對能量的變化規(guī)律及相關影響研究尚不明確。

本文基于NSGA－Ⅱ研究了層間隔震體系，以基底剪力最小為優(yōu)化目標，得到在不同質量比下的層間隔震結構最優(yōu)頻率比和最優(yōu)阻尼比，從能量角度分析了隔震層在結構不同位置時，層間隔震結構能量分布規(guī)律的特征。

1 分析模型和運動方程的建立

在線彈性情況下，兩質點層間隔震體系計算模型如圖1所示［7］（圖中“u”和“s”分別是“upstructure”和“substructure”的縮寫，分別表示上、下部子結構）。

圖1 層間隔震體系計算模型

其運動方程為：

其中，mup、keq、ceq分別為上部子結構的等效質量、等效水平剛度、等效阻尼；msub、csub、ksub分別為下部子結構的質量、阻尼、水平剛度；¨ug為地面運動加速度。

定義上、下部子結構的自振頻率分別為：

上、下部子結構的阻尼比分別為：

上、下部子結構的質量比為：

上、下部子結構的頻率比為：

2 基底剪力方差表示

兩質點層間隔震體系模型的基底剪力可表示為：

其中，〈·〉表示變量的平均值。設地震激勵的功率譜密度函數(shù)為（ω），子結構絕對加速度的傳遞函數(shù)為Hy（ω），則子結構加速度響應均方值和乘積的平均值為：

其中，S¨y（ω）為絕對加速度響應的功率譜密度；（ω）為交叉譜密度函數(shù)。

展開兩質點層間隔震體系運動方程（1）式并分別作Laplace變換，可得各子結構絕對加速度的傳遞函數(shù)如下：

其中

定義兩自由度體系的基底剪力功率譜密度函數(shù)為SF（ω），可得：

其中，Re［·］為取實部。則基底剪力的方差為：

3 參數(shù)優(yōu)化與分析

基底剪力是隔震結構設計中的一個重要指標。隨著隔震層剛度和阻尼參數(shù)的變化，基底剪力的分布將會隨之變化，因此，選取合理的隔震層參數(shù)將會對層間隔震體系產(chǎn)生有利影響。本文選取體系的基底剪力最小作為隔震層參數(shù)優(yōu)化目標，采用NSGA－Ⅱ進行優(yōu)化建模和實現(xiàn)。

3.1 帶有精英策略的非支配排序遺傳算法

基于多目標NSGA－Ⅱ算法層間隔震結構體系參數(shù)優(yōu)化的流程，如圖2所示。算法開始時首先隨機產(chǎn)生一個初始群體P0，在此基礎上采用二元錦標賽選擇、交叉和變異操作產(chǎn)生一個新群體Q0，P0和Q0的群體規(guī)模均為N；將Pt和Qt并入到Rt中（初始時t＝0），針對Rt構造其所有的邊界集，然后根據(jù)需要計算某個邊界集中所有個體的聚集距離，并定義偏序集；從偏序集依次選取個體進入Pt＋1，直至Pt＋1的規(guī)模為N［8］。

NSGA－Ⅱ在選擇過程中，采用非支配排序降低了計算復雜度，加快了收斂速度；形成支配集后引入的精英策略，提高了結果的優(yōu)化精度與種群水平；此外同時加入的擁擠度處理等方法，保證了種群的分布性與多樣性；然后經(jīng)過交叉變異等操作直到指定最大代數(shù)后終止，獲得全局最優(yōu)解集。具體參數(shù)優(yōu)化流程如圖2所示。

圖2 NSGA－Ⅱ參數(shù)優(yōu)化流程圖

3.2 參數(shù)優(yōu)化

本文選用結構的總質量為10t，下部子結構阻尼比為0.05，地震動加速度功率譜為白噪聲，上、下部子結構的質量比μ變化范圍為0.01～20，分析研究以基底剪力最小為優(yōu)化目標而得到的結構最優(yōu)頻率比和最優(yōu)阻尼比。

優(yōu)化過程中選用實值編碼方式對2個待優(yōu)化參數(shù)頻率比ρ、阻尼比ξup進行編碼，在取值范圍內隨機產(chǎn)生初始種群，設定算法的進化代數(shù)為200代，種群大小為100個，種群間的交叉概率為0.9，變異概率為0.1。參數(shù)優(yōu)化表達式為：

質量比μ＝2.0時NSGA－Ⅱ優(yōu)化過程如圖3所示，可以看出，NSGA－Ⅱ表現(xiàn)出快速的收斂能力，在20代以內已基本得到最優(yōu)參數(shù)，而且20代后保持穩(wěn)定進入全局最優(yōu)解。

圖3b參數(shù)聚集也證實了其在尋優(yōu)過程中算法的收斂性較好，可以看出其最優(yōu)值：阻尼比為0.30，頻率比為0.164 6。

圖3 NSGA－Ⅱ優(yōu)過程（μ＝2.0）

同理可得在不同質量比下結構最優(yōu)頻率比和最優(yōu)阻尼比，如圖4所示。

通過NSGA－Ⅱ優(yōu)化分析，結構在不同質量比下的最優(yōu)頻率比和最優(yōu)阻尼比的結果如圖4a所示，隨著上、下部子結構質量比增大，上部子結構的最優(yōu)頻率比逐漸減小并收斂于界限值0.01；最優(yōu)阻尼比逐漸增大并收斂于優(yōu)化變量界限值0.30。

圖4b給出了基底剪力方差的變化情況，隨著質量比增大，結構的基底剪力方差趨于一致。

圖4 NSGA－Ⅱ計算結果

4 層間隔震體系能量分析

4.1 能量方程

將運動方程（1）式分解為：

在（17）式兩邊對dusub積分，根據(jù)能量平衡原理，可得到結構各部分能量為［9－12］：

4.2 功率方程

在此定義：PK＝msub¨usubsub為子結構動能功率；PD＝csubsubsub為 子 結 構 阻 尼 耗 能 功 率；PS＝ksubusub˙usub為子結構應變能功率；PT＝ceqsub－up）sub＋keq（usub－uup）sub定義為子結構間轉移能功率；PI＝－msub¨ugsub為地震總輸入功率。

4.3 能量響應分析

文獻［1］研究指出層間隔震體系在不同質量比及對應最優(yōu)參數(shù)下，結構表現(xiàn)出不同的減震機理?；谖墨I［1］的研究結果，選取滿足頻率比為ρ＝0.85（μ＝0.1），ρ＝0.165（μ＝2.0），ρ＝0.028（μ＝6.0）對應結構分別作為上部隔震、中間層隔震和下部隔震結構的典型算例（以下分析中以質量比μ分別代表各結構體系），研究其在不同地震激勵下結構能量之間的分配和轉化。選取3條地震 波 分 別 為 Imperial Valley（1979）－EI Centro Array ＃ 13、Kobe （1995）－Kakogawa 和Northridge（1994）－Arcadia－Campus Dr.作為地震 動 輸 入 （以 下 簡 記 為 EI－Centro、Kobe、Northridge），其峰值加速度PGA均調整為0.2g（為清晰表現(xiàn)其規(guī)律，以下分析中均截取其響應較大時段）。

轉移能功率可以理解為單位時間內由下部子結構轉移至上部子結構的能量，也可以理解為單位時間內上部子結構對下部子結構所做的功。質量比μ為0.1、2.0、6.0的結構（參數(shù)最優(yōu)）在 EICentro波、Kobe波、Northridge波作用下的轉移能功率如圖5所示。

由圖5可以看出，隨著質量比的增大，單位時間內的轉移能逐漸減小。質量比μ＝0.1，上部子結構對下部子結構主要做負功，其機理表現(xiàn)為TMD調諧減震；μ＝2.0，上部子結構對下部子結構做功總和為負功，其機理表現(xiàn)為下部子結構部分減震；μ＝6.0，其轉移能較小。

結構的轉移能隨質量比的變化情況如圖6所示，可以看出，結構的轉移能隨質量比的增大表現(xiàn)為先增大后減小的趨勢，當質量比較小，在μ≤0.5范圍內，轉移能存在最大值，結構工作機理相當于TMD調諧系統(tǒng)，通過轉移下部子結構的能量，從而減小其運動；μ＞0.5，隨質量比的增大，其轉移能逐漸減小，當質量比μ≥10.0，轉移能較小且為一常數(shù)。

算 例 模 型 在 EI－Centro 波、Kobe 波、Northridge波作用下的下部子結構彈性應變能如圖7所示。

圖5 轉移能功率

圖6 轉移能隨質量比變化

圖7 下部子結構彈性應變能

由圖7可以看出，μ＝0.1時，下部子結構彈性應變能最大，μ＝2.0對應下部子結構彈性應變能次之，μ＝6.0對應下部子結構彈性應變能最小。即從選取最優(yōu)參數(shù)的角度可以理解為：層間隔震體系自上部隔震到中間層隔震再到下部隔震，下部子結構的彈性應變能逐漸減小。

算例最優(yōu)參數(shù)模型在EI－Centro波、Kobe波、Northridge波作用下的下部子結構阻尼耗能如圖8所示?？梢钥闯觯蹋?.1時，下部子結構阻尼耗能最大，μ＝2.0對應下部子結構阻尼耗能次之，μ＝6.0對應下部子結構阻尼耗能最??；隨著質量比的逐漸增大，下部子結構的結構阻尼耗能逐漸減小。即層間隔震體系自上部隔震到中間層隔震再到下部隔震，下部子結構阻尼耗能逐漸減小。

圖8 下部子結構阻尼耗能

5 結 論

（1）從轉移能功率的角度解釋了層間隔震體系轉移能的變化規(guī)律；當質量比較小時，上部子結構對下部子結構主要做負功，其機理表現(xiàn)為TMD調諧減震；隨著質量比的增大，轉移能逐漸減小，上部子結構對下部子結構不完全做負功，但做功總和為負功，其機理表現(xiàn)為層間隔震結構對下部子結構部分減震。

（2）層間隔震體系的轉移能隨質量比的增大先增大后減小，質量比在μ≤0.5范圍內，轉移能存在最大值，結構工作機理相當于TMD調諧系統(tǒng)，通過轉移下部子結構的能量，從而減小其運動；當質量比μ≥10.0，轉移能較小且為一常數(shù)。

（3）層間隔震體系自上部隔震到中間層隔震再到下部隔震，下部子結構的彈性應變能、阻尼耗能逐漸減小。

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