任意柔性擋墻變位誘發(fā)地表沉降的解析理論預(yù)測

顧劍波 ，錢建固

（1. 同濟(jì)大學(xué) 巖土及地下工程教育部重點實驗室，上海 200092；2. 同濟(jì)大學(xué) 地下建筑與工程系，上海 200092）

1 引 言

城市化的迅速發(fā)展導(dǎo)致高層建筑以及地鐵隧道的迅速發(fā)展，同時催生了許多深基坑開挖工程。由于公眾對基坑開挖引起的地面沉降關(guān)注的不斷上升，如何準(zhǔn)確預(yù)測土體位移以及評估風(fēng)險系數(shù)，成為城市基坑規(guī)劃、設(shè)計和施工中的重要問題。對基坑開挖的研究可以追溯到20世紀(jì)60年代，Peck[1]開始了這一方面的研究，基于芝加哥、奧斯陸等地的現(xiàn)場地面沉降監(jiān)測資料，提出了針對不同土層的墻后地表沉降和沉降范圍的經(jīng)驗關(guān)系曲線及相應(yīng)的經(jīng)驗計算方法。Goldberg等[2]認(rèn)為，剛性較大的圍護(hù)結(jié)構(gòu)，變形模式主要表現(xiàn)為剛體的平動和轉(zhuǎn)動，包括圍護(hù)墻的平行移動、繞墻趾轉(zhuǎn)動和繞墻頂轉(zhuǎn)動。對于自身剛度較小的圍護(hù)結(jié)構(gòu)，主要表現(xiàn)為向坑內(nèi)鼓脹，呈拋物線的變形模式。另一方面，大量的現(xiàn)場監(jiān)測[3]及彈塑性有限元分析表明[4－5]，基坑開挖產(chǎn)生的墻后地表沉降特性一般呈現(xiàn)為三角形和凹槽形兩種典型的沉降形態(tài)，前者最大沉降發(fā)生在墻背處，后者最大沉降一般位于距離墻后0.5倍開挖深度的位置，這一墻后沉降規(guī)律與Bolton等[6]建議的簡化地層移動原理相吻合。對于基坑擋墻變位引發(fā)的周圍土體沉降，前人的研究主要專注于經(jīng)驗方法與有限元模擬，尚缺少嚴(yán)格理論解析手段，錢建固等[7]通過求解在已知位移下的 Lame方程，得出了擋土墻在平移和轉(zhuǎn)動變位模式下，坑外地表土體的沉降半解析解。在此基礎(chǔ)上，本文推導(dǎo)在擋土墻柔性變位的條件下，基坑周圍的地表土體沉降理論解，并與實際工程數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，表明理論解的合理性。

2 數(shù)學(xué)模型及基本解析

本文將基坑視為平面應(yīng)變問題，力學(xué)模型如圖1所示。圖中，H為墻高；d1為墻腳位移；d2為墻頂位移；u(0，z)為擋墻變位函數(shù)。墻后地層豎向移動源于基坑擋墻水平變位，采用彈性位移邊值問題求解墻后土體的豎向位移。將擋墻水平變位作為已知位移邊界，考慮墻后地表無超載。此外，墻-土摩擦對地層豎向移動影響較小，這里忽略墻土界面的摩擦（與Loganathan等[8]分析隧道誘發(fā)地層移動解基于的假設(shè)一致）。

圖1 邊界條件Fig.1 Boundary conditions

在無體力的情況下，對于平面應(yīng)變靜力問題的Lame方程在X和Z方向可以表示為

式中：土體泊松比為v；變形模量為E。

采用錢建固等[7]提出的方法，可以得到任意擋墻變位下墻后土體水平與豎向位移場通解：

3 方程求解

將擋墻水平變位模式分為兩部分，一部分為拋物線柔性模式，另一部分為梯形剛性模式。下面分別求解。

3.1 柔性擋墻拋物線模式

圖2 墻體拋物線邊界Fig.2 Boundary for wall under parabola mode

式（4）中，令x=0，于是有

對u(0,z)進(jìn)行偶延拓并采用 Fourier余弦積分變換，可得

對比式（4）與式（7）可得

圖3 拋物線模式下地面沉降分布Fig.3 Distribution of ground settlement under parabola mode

此時真正引起地表沉降的應(yīng)是由第一部分得到的在地表處的應(yīng)力反向加載到地表所引起的，在式（8）中令z=0，根據(jù)應(yīng)力與位移的關(guān)系可得

由于直接求解顯式解存在困難，這里采用數(shù)值積分求解，設(shè)xref=2H，H=10 m。根據(jù)Hsieh等[9]的研究，基坑變形的主要影響范圍一般為基坑開挖深度的4倍，而上海市基坑規(guī)范[10]一般認(rèn)為擋墻深度為基坑開挖深度的 2倍，所以這里取xref=2H。分別作出d=0.1%H、0.3%H、0.5%H的地表沉降曲線如圖4（a）所示。對圖4（a）進(jìn)行歸一化得到無量綱墻后沉降規(guī)律如圖4（b）所示。不難看出，（1）當(dāng)擋墻發(fā)生拋物線變位模式時，地表沉降整體規(guī)律為向下凹槽型，最大沉降發(fā)生在距離墻背一定距離處；（2）從理論解的形式可以看出，基坑擋墻變位誘發(fā)的地表沉陷大小本質(zhì)上只依賴于擋墻水平變位大小，與地基變形模量以及泊松比無關(guān)。值得注意的是對于這類位移-位移邊值問題（即已知位移邊界求位移場的邊值問題），Loganathan等[8]在推導(dǎo)隧道開挖誘發(fā)地層位移的理論解時，得到相同的結(jié)論；（3）地表沉降與擋墻變位呈線性關(guān)系，且線性關(guān)系與土的變形模量無關(guān)，因此可應(yīng)用疊加原理。

3.2 剛性擋墻梯形模式

圖4 拋物線模式下地面沉降分布Fig.4 Distribution of ground settlement under parabola mode

根據(jù)錢建固等[7]的研究可知，其相應(yīng)地表土體沉降解析解為

由于一般的基坑擋墻變形為剛性變形或者拋物線變形以及兩者的組合形式，由此在工程實際中的任意擋墻變形所引起的土體沉降均可以用上述理論解及其組合形式來擬合。

4 工程實例與驗證

為了進(jìn)一步說明本文理論解的合理性，選取 4個基坑工程實例[9]開挖結(jié)束時土體最終沉降的數(shù)據(jù)，通過歸一化曲線的對比，揭示理論解在預(yù)測土體沉降模式上的合理之處，這也是本文理論解的一大實際用處。因為如果可以合理預(yù)測土體沉降模式，一旦在實際工程或是在有限元模擬中獲知土體最大的沉降值，就可以據(jù)此得到土體沉降曲線。

圖6為各種擋墻變形情況下土體的沉降理論與實測值的歸一化比較。從圖中可以看出，在土層分布的歸一化曲線中理論解是基坑實測結(jié)果的外包絡(luò)圖，而且其最大值的出現(xiàn)的位置幾乎一致，在沉降土體的影響范圍上理論解要比實測結(jié)果大，這是因為理論解本身由于沒有考慮土體的阻尼作用，所以解相比于實際要收斂的慢的多。也就是說，實際情況下由于土體本身的非連續(xù)性以及土體的阻尼作用，使得由開挖引起的土體沉降影響范圍比較小。

為了更進(jìn)一步說明理論解的合理性，給出上海地區(qū) 40個工程案例[10]的墻后地表最大沉降的實測數(shù)據(jù)，并建立墻后地表最大沉降值與基坑圍護(hù)結(jié)構(gòu)最大側(cè)移實測值之間的關(guān)系，從圖7不難看出，實測表明地表最大沉降值基本介于0.4～2.0倍的圍護(hù)結(jié)構(gòu)最大側(cè)移值之間，平均地表最大沉降為0.81倍的圍護(hù)結(jié)構(gòu)最大側(cè)移值。

圖6 各基坑變形和地面沉降歸一化圖Fig.6 Wall deformation and normalized ground settlements

圖7 理論解與上?；右?guī)范比較Fig.7 Comparison between theoretical solution and Shanghai engineering construction code

5 結(jié) 論

（1）對于墻背垂直和地表面水平的基坑工程，可以將擋土墻水平位移和地表沉降在數(shù)學(xué)上設(shè)定為已知和待求的位移邊界條件，從而可以將基坑開挖誘發(fā)的地表沉降的巖土工程問題轉(zhuǎn)化為求解數(shù)學(xué)邊值問題。

（2）在墻背光滑條件下，地表沉降與地基土彈性參數(shù)（變形模量E、泊松比μ）無關(guān)，說明本文解可以運用于分層土體中。

（3）解析理論預(yù)測地表沉降時，在定性上，通過歸一化曲線的比較，其理論土體位移模式與實測數(shù)據(jù)一致，并且土體最大沉降出現(xiàn)的位置與實測值較為接近。因此在實際工程中，可以通過實測或是有限元模擬來獲知土體的最大沉降，然后通過模擬擋墻的變位形態(tài)，求得相應(yīng)的地表沉降理論解，并據(jù)此可以在一定精度范圍內(nèi)模擬出墻后土體的沉降曲線。

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