Kuramoto－Svashinsky方程的數(shù)值方法

張 俊， 范馨月

（1.貴州財經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，貴州 貴陽550025；2.貴州大學(xué)理學(xué)院，貴州 貴陽550025）

1 研究背景及現(xiàn)狀

K－S方程是許多物理現(xiàn)象中出現(xiàn)的一類重要的數(shù)學(xué)物理方程，實際研究中經(jīng)常能發(fā)現(xiàn)這一模型的應(yīng)用.例如，等離子物理、熱傳導(dǎo)、氧化反應(yīng)擴散、動力學(xué)、自由膜的流動等問題.方程具有內(nèi)在穩(wěn)定性與不穩(wěn)定性的相互作用，從而表現(xiàn)為系統(tǒng)耗散性的典型無窮性動力系統(tǒng).K－S方程已被認為是無窮維動力學(xué)中幾個具有代表性的模型之一，其動力特性具有相當(dāng)?shù)钠者m性.而數(shù)值解的研究成為研究這類模型的主要內(nèi)容之一.眾多學(xué)者都研究過K－S方程的數(shù)值方法.［1－15］空間方向的離散主要有譜方法、有限差分、或有限體積法，時間方向采用的方法包括Runge－Kutta法［1－2］、指數(shù)形Runge－Kutta法［10］、Strang分裂方法［5－6］、隱式－顯式方法［12－14］.一方面，顯式多步法或者Runge－Kutta法在全離散的情況下通常是不穩(wěn)定的或者條件穩(wěn)定的.另一方面，隱式法大多是無條件穩(wěn)定的，但在實際的計算中每一步要解一個非線性方程組；隱式－顯示方法雖然是局部穩(wěn)定的，但是在實際計算中時間步長要取得足夠小.

本文構(gòu)造了幾種線性化半離散數(shù)值格式，并分析了該格式的穩(wěn)定性.盡管我們沒有給出誤差估計，但是數(shù)值試驗的結(jié)果顯示了格式的有效性.最后的數(shù)值例子討論解的混沌、周期等性質(zhì).

2 Kuramoto－Svashinsky方程

這里ν是非負常數(shù)，T 表示時間.

關(guān)于方程的連續(xù)解我們有如下的穩(wěn)定性的結(jié)果：

引理2.1 方程（2.1）—（2.2）的解u滿足不等式

其中

證明 方程（2.1）兩邊與u做內(nèi)積，可得

由Young's不等式有

因此

令

則有

兩邊對t積分可得（2.4）式.

3 有限差分時間離散格式

在這里介紹K－S方程三個線性化的時間半離散格式，并考察其穩(wěn)定性.對于一個給定的正整數(shù)K＞0，令tn＝nΔt，n＝0，1，…，K，這里時間步長Δt＝T／K.

Euler格式 考慮如下基于Euler方法的一階半隱格式：

引理3.1 對所有un∈H1＊（Λ），有（2un?xun＋1＋un＋1?xun，un＋1）＝0.

證明

引理得證.

引理3.2 對所有網(wǎng)格函數(shù)｛ un｝ ，有

直接計算即可得此結(jié)論.

由上述兩個引理可以得到離散格式的穩(wěn)定性結(jié)果.

定理3.1 時間半離散格式（3.1）是條件穩(wěn)定的，即當(dāng)Δt≤2ν時，

證明 由方程（3.1）與2Δtun＋1做內(nèi)積可得

定理得證.

BD2格式 考慮基于Adam－Basshorth方法的二階半隱格式

對第一步進行考察

引理3.3 對所有網(wǎng)格函數(shù)｛ un｝ ，有

證明 令

那么

引理得證.

引理3.4 對所有網(wǎng)格函數(shù)｛ un｝ ，有（2?xun＋1（2un－un－1）＋un＋1?x（2un－un－1），un＋1）＝0.

證明

引理得證.

同理我們可以得到二階BD2離散格式的穩(wěn)定性結(jié)果.

定理3.2 BD2格式，即方程（3.3）是條件穩(wěn)定的，亦即當(dāng)Δt≤ν時，有

證明 方程（3.3）與4Δtun＋1做內(nèi)積可得

丟掉一些正項，我們有

定理得證.

C－N 格式 考慮基于Crank－Nicolson方法的二階半隱格式

這里

引理3.5 對所有網(wǎng)格函數(shù)｛ un｝ ，有

證明

引理得證.

同理我們可以得到二階C－N 離散格式的穩(wěn)定性結(jié)果.

定理3.3 半離散C－N 格式是條件穩(wěn)定的，即當(dāng)Δt≤4ν時，

因此

定理得證.

其他高階半隱式格式

三階半隱格式

四階半隱格式

五階半隱格式

六階半隱格式

4 數(shù)值結(jié)果

4.1 數(shù)值結(jié)果的有效性

這里，我們討論一些計算的細節(jié)，并討論數(shù)值解的有效性.定義

Euler／F格式

BD2／F格式

C－N／F格式

事實上，找到方程（2.1）—（2.3）的準確解是異常困難的，為了驗證數(shù)值格式的有效性，定義收斂階

固定初值u0（x）＝cosx（1＋sinx），T＝1，l＝2π，N＝128.我們測試了不同的ν，Δt對收斂階的影響，計算結(jié)果如表1—3.從表中可知Euler／F格式在時間方向上有一階精度，BD2／F和C－N／F格式在時間方向上有二階精度，這表明我們的數(shù)值格式是有效的.當(dāng)ν＝0時，計算格式是失效的，因為此時方程可能是病態(tài)的.

表1 Euler／F格式收斂階隨Δt與ν 的變化情況

表2 BD2／F格式收斂階隨Δt與ν 的變化情況

表3 C－N／F格式收斂階隨Δt與ν 的變化情況

4.2 混沌行為

受J.Hyman，A.Aceves等人工作的啟發(fā)［1－2，5－6，10，16］，這里將用BD2／F格式考察K－S方程解的混沌和周期性質(zhì)，我們固定取不同的初值，解隨時間的變化情況如圖1—2所示，我們可以很清晰地看到解的混沌和周期性質(zhì).值得一提的是，圖1與文獻［10］中解的結(jié)構(gòu)（14頁，圖4－1）是一致的.這為文獻［16］討論的偏微分方程混沌現(xiàn)象提供了具體的例子.

最后，用BD2／F格式測試參數(shù)ν對數(shù)值解的影響.在圖3—6中，取l＝2π.可以看到解的結(jié)構(gòu)對ν的變化是非常敏感的，解的周期運動與非周期運動相互糾纏，并且表現(xiàn)出很復(fù)雜的混沌性質(zhì)，當(dāng)ν≥0.25時數(shù)值解是平凡解.

圖3 ν＝0.01，ν＝0.012時解的結(jié)構(gòu)

圖4 ν＝0.015，ν＝0.024時解的結(jié)構(gòu)

圖5 ν＝0.04，ν＝0.045時解的結(jié)構(gòu)

圖6 ν＝0.06，ν＝0.25時解的結(jié)構(gòu)

5 結(jié)論

討論了K－S方程的數(shù)值方法，提出了一系列的半隱格式，其優(yōu)點在于每步迭代只需要解一個線性方程.我們用新提出的方法考察了K－S方程解的性質(zhì)，得到了一些解的混沌性質(zhì).

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