求常系數(shù)線(xiàn)性微分方程解的矩陣方法

趙曉蘇，錢(qián)椿林

(蘇州市職業(yè)大學(xué) 數(shù)理部，江蘇 蘇州 215104)

求常系數(shù)線(xiàn)性微分方程解的矩陣方法

趙曉蘇，錢(qián)椿林

(蘇州市職業(yè)大學(xué) 數(shù)理部，江蘇 蘇州 215104)

考慮求常系數(shù)線(xiàn)性微分方程解的矩陣方法.首先，將常系數(shù)線(xiàn)性微分方程化為一階線(xiàn)性微分方程組，且用矩陣表示；然后，求其矩陣的特征值和特征向量，把矩陣對(duì)角化或化簡(jiǎn)；最后，利用矩陣乘法求得常系數(shù)線(xiàn)性微分方程的通解或特解. 其計(jì)算方法簡(jiǎn)單、方便，在實(shí)際中很有用.

常系數(shù)線(xiàn)性微分方程；矩陣；特征值；特征向量；通解；特解

1 問(wèn)題的提出

在科學(xué)研究和生產(chǎn)實(shí)踐中往往會(huì)碰到某些量之間存在著某種微分關(guān)系，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為微分方程，例如

式中：f(x)為已知函數(shù)；pi(i=0，1，2，…，n-1)為已知常數(shù)；y=y(x)為未知函數(shù).稱(chēng)式(1)為n階常系數(shù)線(xiàn)性微分方程.如果f(x)≠0，稱(chēng)式(1)為n階非齊次常系數(shù)線(xiàn)性微分方程；如果f(x)=0，稱(chēng)式(1) 為n階齊次常系數(shù)線(xiàn)性微分方程，即

對(duì)于n階非齊次常系數(shù)線(xiàn)性微分方程(1)的求解，通常的做法是：討論非齊次項(xiàng)f(x)的各種類(lèi)型，利用待定系數(shù)法求得一個(gè)特解[2-5].對(duì)于非齊次項(xiàng)f(x)是一般的情形，用待定系數(shù)法顯得無(wú)能為力.對(duì)于一般的非齊次項(xiàng)f(x)，利用矩陣方法[1]，可以求得其微分方程的一個(gè)特解或通解.其計(jì)算方法簡(jiǎn)單、方便，在實(shí)際中很有用.本文主要討論二階常系數(shù)線(xiàn)性微分方程求解的矩陣方法，其方法可以在求任意階常系數(shù)線(xiàn)性微分方程的解中使用.

2 指數(shù)矩陣的定義及性質(zhì)

2) 指數(shù)矩陣具有如下性質(zhì)：

3 問(wèn)題的解法

求常系數(shù)線(xiàn)性微分方程解的矩陣方法的具體步驟如下：

第1步，將常系數(shù)線(xiàn)性微分方程(1)化為一階線(xiàn)性微分方程組，且用矩陣表示.

式中y=y1.令，且矩陣

則式(3)可記作

第2步，求A的n個(gè)特征值和特征向量.作線(xiàn)性變換Y=PU，其中，P是由A的n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)特征向量組成的n階可逆方陣，代入式(4)，且設(shè)D=P-1AP，得

當(dāng)n=2時(shí)，D可以是下列兩種簡(jiǎn)單情形：當(dāng)λ1≠λ2時(shí)

第3步 求得一階線(xiàn)性微分方程組(5)的特解或通解為

第4步 利用矩陣乘法和式(6)求Y(=PU)，取Y的第1行第1列的元素，得到y(tǒng)=y1.

通過(guò)具體例子說(shuō)明用矩陣方法求解常系數(shù)線(xiàn)性微分方程的詳細(xì)計(jì)算過(guò)程，主要討論二階常系數(shù)線(xiàn)性微分方程的解的情況.

例1 求微分方程的一個(gè)通解.

解第1步，將微分方程化為一階線(xiàn)性微分方程組，即

第3步，求得一階線(xiàn)性微分方程組(8)的通解為

取Y的第1行第1列的元素，得到通解為

例2 求微分方程y′ + y =sec3x的通解.

解第1步，將微分方程化為一階線(xiàn)性微分方程組，即

第3步，求得一階線(xiàn)性微分方程組(11)的通解為

第4步，利用矩陣乘法和式(12)有

取Y的第1行第1列的元素，得到通解為

例3 求微分方程的一個(gè)特解.

解將微分方程化為復(fù)數(shù)的形式，即

只要考慮微分方程(13)的一個(gè)特解的虛部即可

第1步，將微分方程化為一階線(xiàn)性微分方程組，即

第3步，求得一階線(xiàn)性微分方程組(15)的特解為

第4步，利用矩陣乘法和式(16)得

取Y的第1行第1列的元素，得到特解為

取其解的虛部，得到一個(gè)特解為

例4 求微分方程

的通解.

解第1步，將微分方程化為一階線(xiàn)性微分方程組，即

第3步，求得一階線(xiàn)性微分方程組(18)的通解為

第4步，利用矩陣乘法和式(19)有

取Y的第1行第1列的元素，得到通解為

例5 求微分方程的通解.

解第1步，將微分方程化為一階線(xiàn)性微分方程組，即

第3步，求得一階線(xiàn)性微分方程組(21)的特解為

第4步，利用矩陣乘法和式(22)，得

取Y的第1行第1列的元素，得到一個(gè)特解為

所以通解為

從上面5個(gè)例子可以看到，例1、例3和例5是常見(jiàn)非齊次項(xiàng)的微分方程的兩種類(lèi)型，如果利用待定系數(shù)法求解，計(jì)算量比較大，例2和例4不是常見(jiàn)非齊次項(xiàng)的微分方程的類(lèi)型，利用待定系數(shù)法無(wú)法求解，利用矩陣方法計(jì)算比較方便.矩陣方法對(duì)于一般的非齊次項(xiàng)的常系數(shù)線(xiàn)性微分方程都能得到求解，同時(shí)給出了一般的非齊次項(xiàng)的常系數(shù)線(xiàn)性微分方程求通解的一個(gè)公式，即公式(6)，因此在實(shí)際中很有用.

[1] 錢(qián)椿林. 線(xiàn)性代數(shù)[M]. 3版.北京：高等教育出版社，2010.

[2] 錢(qián)椿林. 高等數(shù)學(xué)[M]. 3版.北京：電子工業(yè)出版社，2010.

[3] 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系. 高等數(shù)學(xué)[M]. 5版.北京：高等教育出版社，2004.

[4] 《現(xiàn)代應(yīng)用數(shù)學(xué)手冊(cè)》編委會(huì). 現(xiàn)代應(yīng)用分析卷[M]. 北京：清華大學(xué)出版社，1998.

[5] 《數(shù)學(xué)手冊(cè)》編寫(xiě)組. 數(shù)學(xué)手冊(cè)[M]. 北京：高等教育出版社，1984.

(責(zé)任編輯：沈鳳英)

Matrix Method for the Linear Differential Equation with Constant Coeffcients

ZHAO Xiao-su，QIAN Chun-lin
(Department of Mathematics and Physics，Suzhou Vocational University，Suzhou 215104，China)

The paper addresses matrix method for the linear differential equation with constant coeffcients. First of all，the system of the frst order linear differential is the linear differential equation with constant coeffcients transformed into the first order linear differential group，and presented by matrix，and then eigenvalue and eigenvector of the matrix，is obtained while the matrix is transformed into simplified matrix. Finally，the solution of the linear differential equation is achieved using the matrix multiplication. It is found that this method provides an easier and more useful solution to the linear differential equation with constant coeffcients.

linear differential equation with constant coefficients；matrix；eigenvalue；eigenvector；general solution；special solution

O151.26

A

1008-5475(2015)01-0044-06

2014-09-03；

2014-10-02

趙曉蘇(1962-)，女，江蘇蘇州人，副教授，主要從事算子特征值估計(jì)研究.