混合正則微分系統(tǒng)第二特征值的上界不等式

盧亦平，錢(qián)椿林

(蘇州市職業(yè)大學(xué) 數(shù)理部，江蘇 蘇州 215104)

混合正則微分系統(tǒng)第二特征值的上界不等式

盧亦平，錢(qián)椿林

(蘇州市職業(yè)大學(xué) 數(shù)理部，江蘇 蘇州 215104)

考慮混合正則微分系統(tǒng)第二特征值的上界估計(jì).利用試驗(yàn)函數(shù)、Rayleigh定理、分部積分和Schwartz不等式等估計(jì)方法，獲得了用第一特征值來(lái)估計(jì)第二特征值的上界的不等式，其估計(jì)系數(shù)與區(qū)間的度量無(wú)關(guān). 其結(jié)果在物理學(xué)和力學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，在常微分方程的研究中起著重要的作用.

混合正則微分系統(tǒng)；特征值；特征函數(shù)向量；上界

1 主要結(jié)果

設(shè)a b,( )?R是一個(gè)有界區(qū)間，考慮混合正則微分系統(tǒng)

的特征值估計(jì)問(wèn)題，式中：s＞t≥2 h，s，t和h為正整數(shù)；Q為常數(shù)，b0=b1=…=br-1=0，br=1，r≤h；bh＞0，bk≥0，k=r+1，r+2，…，h-1；p(x) ∈ Ct+j([a, b])，j=0，1，2，…，s-t，且滿足

j

其中μ1，μ2為正實(shí)數(shù).

把問(wèn)題(1)寫(xiě)成矩陣形式，設(shè)

將問(wèn)題(1)化為等價(jià)的矩陣形式

微分方程的特征值估計(jì)已獲得一些結(jié)果.相同階微分系統(tǒng)特征值估計(jì)也獲得一些結(jié)果[1-4].本文考慮混合正則微分系統(tǒng)的問(wèn)題，將文獻(xiàn)[5]-[7]中的問(wèn)題推廣到多個(gè)不同階微分方程組成的方程組. 運(yùn)用文獻(xiàn)[8]中的方法，對(duì)于問(wèn)題(1)獲得了用第一特征值來(lái)估計(jì)第二特征值的上界的不等式，其估計(jì)系數(shù)與區(qū)間的度量無(wú)關(guān). 其結(jié)果在物理學(xué)和力學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，在常微分方程的研究中起著重要的作用.

定理1 設(shè)λ1，λ2是問(wèn)題(1)的第一、第二特征值，且0＜λ1≤λ2，則

2 定理1的證明

設(shè)λ1是問(wèn)題(3)的第一特征值，相應(yīng)于λ1的特征向量函數(shù)為u，且滿足

利用分部積分和式(5)得

利用式(6)，對(duì)于j=0，1，2，…，s-t，k=0，1，2，…，h，有

利用分部積分和式(6)有

利用式(2)和式(8)得

利用式(9)有

設(shè)φ(x)=(x-g)u，其中

利用分部積分直接計(jì)算得

利用Rayleigh定理有

計(jì)算得

利用分部積分和φ(x)=(x-g)u，有

即

結(jié)合式(14)和式(15)得

設(shè)

利用式(16)有

利用式(13)和式(17)有

引理1 設(shè)y是問(wèn)題(3)所對(duì)應(yīng)的第一特征值λ的特征向量函數(shù)u的某一分量，則

證對(duì)于(a)，用數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)m=r時(shí)，在式(7)中，取k=r，不等式顯然成立.假設(shè)m=k時(shí)，不等式成立，即有當(dāng)m=k+1時(shí)，利用分部積分、Schwarz 不等式和歸納假設(shè)得

化簡(jiǎn)整理得

即引理1(a)成立.

對(duì)于(b)，反復(fù)運(yùn)用引理1(a)和式(10)得

即引理1(b)成立.

引理2 設(shè)u是問(wèn)題(3)所對(duì)應(yīng)的第一特征值λ1的特征向量函數(shù)，則

證對(duì)于(a)，

用數(shù)學(xué)歸納法可以證明

即引理2(a)成立.

對(duì)于(b)，利用Schwarz 不等式、引理2(a)和引理1(b)有

即引理2(b)成立.

引理3 設(shè)u是問(wèn)題(3)所對(duì)應(yīng)的第一特征值λ1的特征向量函數(shù)，則

證對(duì)于(a)，利用分部積分和φ(x)=(x-g)u，k=1，2，…，h，有

整理上式，可得引理3(a)成立.

對(duì)于(b)，利用式(2)和引理1(b)得

對(duì)于(c)，利用式(2)、Schwarz不等式和引理1(b)有

引理4 設(shè)λ1是問(wèn)題(3)的第一特征值，則

證利用分部積分、引理3(a)和φ(x)=(x-g)u得

類似地，可以得到

利用式(19)、式(20)和式(21)有

利用式(22)、引理2(b)和引理3得

引理5 對(duì)于φ與λ1，有

證利用分部積分、引理3(a)和φ(x)=(x-g)u，k=1，2，…，h，得

利用式(23)有

利用式(6)得

利用式(24)、式(25)、引理2和Schwarz 不等式得

整理上式，可得引理5.

定理1的證明：利用引理4、引理5和式(18)得

整理上式，即得定理1的式(4).

[1] 盧亦平，錢(qián)椿林. 多項(xiàng)式微分算子帶一般權(quán)第二特征值的上界估計(jì) [J]. 長(zhǎng)春大學(xué)學(xué)報(bào)，2014(2)：175-179.

[2] 盧亦平，錢(qián)椿林. 任意階微分算子帶一般權(quán)第二特征值的上界估計(jì)[J]. 長(zhǎng)春大學(xué)學(xué)報(bào)，2012(12)：1490-1494.

[3] 盧亦平，錢(qián)椿林. 高階微分算子帶權(quán)的第二特征值的上界估計(jì)[J]. 長(zhǎng)春大學(xué)學(xué)報(bào)，2010(6)：4-7.

[4] 盧亦平，錢(qián)椿林. 微分方程帶一般權(quán)的第二特征值的上界估計(jì)[J]. 長(zhǎng)春大學(xué)學(xué)報(bào)，2009(10)：7-9.

[5] 朱敏峰，錢(qián)椿林. 正則任意階微分系統(tǒng)帶一般權(quán)第二特征值的上界[J]. 長(zhǎng)春大學(xué)學(xué)報(bào)，2013(8)：971-980.

[6] 朱敏峰，錢(qián)椿林. 正則高階微分系統(tǒng)帶權(quán)第二特征值的上界[J]. 蘇州市職業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2012，23(4)：30-36.

[7] 陳衛(wèi)忠，錢(qián)椿林. 正則微分系統(tǒng)帶權(quán)第二特征值的上界[J]. 常熟理工學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2010 (10)：38-42.

[8] HILE G N，YEN R Z. Inequalities for eigenvalue of the Biharmonic operator[J].Pacifc J.Math.，1984 (1)：115-133.

(責(zé)任編輯：沈鳳英)

Inequality of the Upper Bound of Second Eigenvalue for Mixed Canonical Differential System

LU Yi-ping，QIAN Chun-lin
(Department of Mathematics and Physics，Suzhou Vocational University，Suzhou 215104，China)

This paper considers the estimate of the upper bound of second eigenvalue for mixed canonical differential system. The inequality of the upper of second eigenvalue is estimated based on the frst eigenvalue with the help of the integral，rayleigh theorem and inequality estimation. The estimated coeffcients are not linked to the measure of the domain in which the problem is concerned. This kind of problem is signifcant both in theory of differential equations and in application to mechanics and physics.

mixed canonical differential system；eigenvalue；vector eigenfunction；the upper bound

O175.9

A

1008-5475(2015)01-0034-07

2014-10-15；

2014-11-09

蘇州市職業(yè)大學(xué)青年教師基金資助項(xiàng)目(2010SZDQ12)

盧亦平(1978-)，女，吉林白山人，講師，碩士，主要從事算子特征值估計(jì)研究.