一類耦合抽象非線性梁方程組的整體解*

郝曉榮 張建文

(太原理工大學數(shù)學學院，太原 030024)

引言

2008年，Pedro Pablo Durand Lazo［1］運用Galerkin方法證明了以下抽象方程

整體解的存在性，其中0＜α≤1，M(s)，N(s)∈C(［0，+∞);R)，且對?s≥0，m0，n0＞0，有M(s)≥m0，N(s)≥n0.

2010年，李潤民，張建文［2］等研究了以下一類抽象非線性梁方程

在初始條件u(x，0)=u0，˙u(x，0)=u1，x∈Ω下整體弱解的存在性問題，其中Ω=(0，l)，0＜α≤1.

2011年，張建文，丁霞霞［3］等研究了以下抽象耦合非線性方程組

在一定的初始條件下整體弱解的存在性問題，其中Ω=(0，l)，l＞0，0＜α≤1.

在本文中，我們將研究如下的一類抽象耦合非線性梁方程組

在初始條件

下整體弱解的存在性問題，其中Ω=(0，l)，l＞0，0＜α≤1，0＜β≤1，函數(shù)M(.)，N(.)的定義同文［1］

1 預備知識

設(shè){V，((.，.))}和{H，(.，.)}均為實的Hilber t空間，V連續(xù)且稠密地嵌入到H中，算子A是由三重結(jié)構(gòu)(V，H，((.，.)))定義的，則A是定義在Hilbert空間H上的正定自共軛算子，A的特征值{λj}滿足0＜λ1＜λ2＜…＜λn＜…及λn→+∞(n→+∞)，它所對應(yīng)的特征值向量{ωj(x)}j∈N+.

特別，s=0，時，記H=D(A0);并且記

引理1［4］(Gronwall不等式)設(shè)f∈L∞(0，T)，k≥0，c0為常數(shù)，若對一切t∈［0，T］下式成立:

則

引理2［4］設(shè)X，Y為Hilbert空間或可分的Banach空間，其對偶空間為X'，Y'，設(shè)Y連續(xù)且稠密地嵌入到X中，若uμ→u在L∞(0，T;X')中弱*收斂;且˙uμ→χ在L∞(0，T;Y')中弱*收斂;則χ=˙u在L(0，T;Y')中成立.

2 弱解的存在性

定理 設(shè)0＜α≤1，0＜β≤1，M(.)，N(.)∈C(［0，+∞);R)，存在m0，n0＞0，且對?z≥0，有M(z)≥m0，N(z)≥n0，A是定義在Hilbert空間H上的正定自共軛算子，若

則問題(1)和(2)存在一個弱解(u，v)=(u(x，t)，v(x，t))，對?φ∈V，在D'(0，T)中，滿足方程

及初始條件

且

證明:記Vm為A的前m個特征向量ω1，ω2，…，ωm所張成的子空間，顯然Vm?D(A)，構(gòu)造初值問題(1)，(2)的近似解序列{um(x，t)，vm(x，t)}如下:

使得?φ∈Vm滿足以下方程

在(8)，(9)中分別取φ=ωj(j=1，2…，m)，得

及初始條件

在D(A)中強收斂;

在D(A)中強收斂;

在H中強收斂;

在H中強收斂.

由常微分方程理論知，存在tj＞0，使得方程組(10)和(11)在相應(yīng)的初始條件下，在［0，T］(T=上存在解{gjm(t)，hjm(t)}，從而可得近似解{um(x，t)，vm(x，t)}.

即

對(12)，(13)兩式分別從0到t積分并相加得

類似于文獻［1］由Gronwall不等式可得

且容易得出

其中C表示與m，t無關(guān)的正常數(shù)，且在不同的地方表示不同的值.

(8)，(9)兩式中分別取φ=Aβum(t)，φ=Aβvm(t)，可得

將(16)，(17)分別從0到t積分，并將兩式相加得

所以

因M(z)≥m0，N(z)≥n0，所以

即

所以

對上式應(yīng)用Gronwall不等式得

且

由(15)，(19)知{um}，{vm}∈L2(0，T;D由Aubin-Lions［5］的緊性理論知，分別存在{um}，{vm}的子序列{uμ}，{vμ}及函數(shù)u，v使得{uμ}，{vμ}在L2(0，中分別弱收斂于在L2中分別弱收斂于也˙u，˙v.

進一步可證χ=u，η=v在L∞(0，T;V∩D中成立；在中成立.

現(xiàn)在固定j，取μ＞j，可證得

在D'(0，T)中收斂;

在D'(0，T)中收斂;

在L∞(0，T)中弱*收斂;

在L∞(0，T)中弱*收斂;

在L∞(0，T)中弱半收斂;

在L∞(0，T)中弱半收斂;

在L∞(0，T)中弱*收斂;

在L∞(0，T)中弱*收斂.

令μ→∞，則m→∞，再由基{ωj)在V中的稠密性，故?φ∈V，當時，(u，v)在D'(0，T)中滿足方程(4)，所以問題(1)，(2)的弱解存在.

再證定理中的弱解滿足初始條件(5)，引入連續(xù)函數(shù)空間

3 結(jié)論

本文研究了一類抽象耦合非線性梁方程組在Hilbert空間中的初值問題，并證明了方程組的整體弱解的存在性和解的收斂性.

1 Pedro Pablo Durand Lazo.Global solutions for a nonlinear wave equation.Applied Mathematics and Computation，2008，(200):596～601

2 李潤民，張建文.一類抽象非線性梁方程的整體解.太原理工大學學報，2010，41(4):449～452(Li R M，Zhang J W.The global solution for an abstract nonlinear beam equation.Journal of Taiyuan，University of Technology，2010，41(4):449～452(in Chinese))

3 張建文，丁霞霞.一類耦合非線性方程組的整體解.數(shù)學的實踐與認識，2011，41(13):202～207(Zhang J W，Ding X X.The global solution for a coupled nonlinear equations.Mathematics in Practice and Theory，2011，41(13):202～207(in Chinese))

4 Ball J M.Intial-boundary value problems for an extensible beam.Journal of Mathematical Analysis and Applications，1973(42):61～88

5 Lions J L.Quelques methodes de resolution des problemes aux limites non lineaires.Dunod:Gauthier-Villars，Paris，1969