多元函數(shù)中值得關(guān)注的幾個(gè)意識(shí)

張 捷

（江蘇省常州市第一中學(xué)）

張 捷

（江蘇省常州市第一中學(xué)）

多元函數(shù)是近幾年各地模擬考試的熱點(diǎn)，2014 年和2015 年高考中多次出現(xiàn)此類(lèi)題目，常常涉及函數(shù)、方程、不等式、平面幾何等諸多知識(shí)，這些問(wèn)題字母多、式子繁、難度大、綜合性強(qiáng)，很多學(xué)生感到無(wú)從下手，是教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn).解決此類(lèi)問(wèn)題的策略中蘊(yùn)涵了豐富的數(shù)學(xué)思想和方法，只要把握整體思維思想、利用消元降次、數(shù)形結(jié)合等解題方法，許多問(wèn)題往往會(huì)迎刃而解.筆者以為應(yīng)注重培養(yǎng)和滲透的多種解題意識(shí)，舉例說(shuō)明以期拋磚引玉.

一、靈活使用判別式法，培養(yǎng)等式轉(zhuǎn)化為方程意識(shí)

例1.（2014 高考浙江卷文第16 題）已知實(shí)數(shù)a、b、c 滿(mǎn)足a+b+c=0，a2+b2+c2=1，則a 的最大值為_(kāi)______.

解題分析：因?yàn)閍+b+c=0，所以，c=-（a+b），代入a2+b2+［-（a+b）2］=1，

即2a2+2ab+2b2-1=0，將等式視為關(guān)于的二次方程有解，只需Δ≥0，

即Δ=4a2-8（2a2-1）≥0，解得-≤a≤，則a 的最大值為

如果通過(guò)代換及題中關(guān)系式可得到一個(gè)關(guān)于某個(gè)變量的一元二次方程，利用二次方程有解判別式非負(fù)可以將問(wèn)題解決.

二、利用等式消元，培養(yǎng)等式限元意識(shí)

例2.（江蘇省南京師大附中2015 屆高三最后一卷）設(shè)實(shí)數(shù)a，x，y，滿(mǎn)足，則xy 的取值范圍是 .

解答多元函數(shù)問(wèn)題困難的根本原因在于它的多元，因此化多元函數(shù)為一元函數(shù)是解決多元函數(shù)問(wèn)題的重要途徑之一，消元法本質(zhì)上是數(shù)學(xué)中轉(zhuǎn)化與化歸思想的一種體現(xiàn). 在平時(shí)解答多元函數(shù)問(wèn)題時(shí)消元前后的表達(dá)式不等價(jià)，主要原因是忽視表達(dá)式自身的限制和相關(guān)等式之間的制約，消元需要“去得明白”，這是實(shí)現(xiàn)學(xué)生思維邏輯提升的重要所在.

三、利用基本不等式性質(zhì)，培養(yǎng)不等式放縮意識(shí)

例3（.常州市第一中學(xué)2015 屆高三模擬試卷）設(shè)二次函數(shù)（fx）=ax2-4bx+c 對(duì)于做任意的x∈R，恒有（fx）≥0，且f ′（x）滿(mǎn)足f′（0）＜0，則的最大值 .

本題在一個(gè)新的環(huán)境下考查利用基本不等式求最值，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件消掉目標(biāo)式中的多元，通過(guò)對(duì)目標(biāo)式的變形，使用基本不等式轉(zhuǎn)化為考生所熟悉的求最值的題型；連續(xù)使用同向不等式時(shí)要關(guān)注不等號(hào)方向，保證等號(hào)條件的一致性.

四、利用整體處理，培養(yǎng)換元意識(shí)

例4.（2014 南通一模）設(shè)實(shí)數(shù)a，b，c 滿(mǎn)足a2+b2≤c≤1，則a+b+c 的取值范圍.

解題分析：由a2+b2≤c≤1 得a2+b2≤1，可將其視為以原點(diǎn)為圓心1 為半徑的圓周及其圓內(nèi)部，可以假設(shè)為其中r∈均為參數(shù)，代入a+b+c≥a+b+a2+b2≥r2+r（cosθ+sinθ）≥r2-

本例解法在引元消元時(shí)，注意到原有自變量都不合適，另外引進(jìn)變量后則豁然開(kāi)朗，使問(wèn)題易于解決.在此特別提醒注意引元范圍，引入變?cè)秶鷽](méi)有得到限制是一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)，它的范圍是由原表達(dá)式中變量的范圍影響的，引入變?cè)枰皝?lái)得清楚”.

五、利用多組不等條件，培養(yǎng)線性規(guī)劃意識(shí)

例5（.常州市第一中學(xué)2015 屆高三模擬試卷）已知△ABC，設(shè)實(shí)數(shù)a，b，c 滿(mǎn)足b+2c≤3a 且c+2a≤3b，則的取值范圍為.

解析：題目的解題條件除了兩個(gè)不等式外，還隱含有三角形成立的條件，這些不等式放在一起構(gòu)成該題的控制條件，為線性規(guī)劃提供了可能.

（略）所示可得：

與線性規(guī)劃思想有關(guān)的問(wèn)題，近幾年高考試卷中頻頻出現(xiàn)，縱觀各地的模擬考試試題，線性規(guī)劃方法出現(xiàn)了一些新的變化.從“確定線性可行域”“求解線性目標(biāo)函數(shù)最值”的基本問(wèn)題，向確定其中待定的參數(shù)值或范圍”轉(zhuǎn)變，呈現(xiàn)形式常常與多元函數(shù)有關(guān)，加大題目的難度.