一類基于徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的離散混沌系統(tǒng)控制

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一類基于徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的離散混沌系統(tǒng)控制

劉慶豐，孫紅磊

(蘭州交通大學(xué)，甘肅 蘭州730070)

摘要：以O(shè)GY法作為混沌控制策略對徑向基函數(shù)(RBF)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進行訓(xùn)練，通過參數(shù)擾動模型輸出得到控制混沌運功的小擾動信號作為混沌控制器。并以Henon映射的混沌行為為基礎(chǔ)進行仿真模擬，結(jié)果表明該方法的有效性。

關(guān)鍵詞：OGY方法；RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)Henon映射；混沌控制

0引言

自H. Poincaré發(fā)現(xiàn)混沌以來，混沌學(xué)就成為了學(xué)術(shù)界的熱點研究課題。由于混沌現(xiàn)象具有豐富的時空動態(tài)，能夠不斷的揭示人類社會與自然界之間存在的有序與無序的狀態(tài)，從而不斷的影響人們的生活和社會的發(fā)展。但事物往往具有兩面性，由于混沌的不確定性，出現(xiàn)在系統(tǒng)中的混沌往往是有害的，因為系統(tǒng)的混沌運動蘊含著豐富的信息，但其吸引子內(nèi)的軌線高度不穩(wěn)定，變化萬千，難以捕捉，因此不能準(zhǔn)確的記錄信息和識別系統(tǒng)，如不對其加以控制，根本無法使用[1]。為了使混沌為人類社會服務(wù)，如何控制混沌及將混沌研究成果由理論變?yōu)楝F(xiàn)實已成為當(dāng)今面臨的主要問題?；诖?，筆者設(shè)計以O(shè)GY法為基礎(chǔ)的徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(RBF)控制混沌，通過K-均值聚類算法初始化RBF網(wǎng)絡(luò)參數(shù)，然后利用K-最近鄰近法和最小均方算法(LMS)對RBF輸出層權(quán)值尋優(yōu)及確定其寬度參數(shù)。并以Henon二維映射為例進行仿真實驗，結(jié)果表明該方法的有效性。

1控制混沌

由于混沌系統(tǒng)具有對外部小擾動極度敏感的特性。以此OGY提出了嚴密而系統(tǒng)的參數(shù)擾動方法，通過在不動點的微小領(lǐng)域內(nèi)使其局部線性化，同時不斷的施加小參數(shù)擾動使其運動到規(guī)定的穩(wěn)定軌道中，達到控制目的[2]。

設(shè)Poincaré映射為F，某一非線性動力學(xué)系統(tǒng)由式(1)描述：

(1)

式中：Xn為系統(tǒng)狀態(tài)向量，p為系統(tǒng)可調(diào)參數(shù)。

根據(jù)OGY法，用于控制不穩(wěn)定周期軌道所施加擾動為：

(2)

式中：fu、λu分別為局部映射矩陣M=DXF(XF,p0)的可逆特征向量和特征值；DX表示F映射對狀態(tài)向量X的導(dǎo)數(shù)；XF是F映射不動點；p0為可調(diào)參數(shù)初值，g≡DpF(XF,p0)是不動點隨控制參數(shù)p變化而引起的變化量；Dp表示F映射對p的導(dǎo)數(shù)。

根據(jù)式(2)給混沌系統(tǒng)施加擾動作用，如果下次迭代落在不動點的穩(wěn)定流形中，則以后的迭代都將被引到不動點，周期1軌道也會離開混沌吸引子而進入穩(wěn)定周期軌道。本文神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練以式(2)為依據(jù)，網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)結(jié)束，則可將其當(dāng)混沌控制器使用?？刂葡到y(tǒng)框圖如圖1所示。

圖1　RBF網(wǎng)絡(luò)控制混沌系統(tǒng)學(xué)習(xí)框圖

2RBF網(wǎng)絡(luò)及其參數(shù)初始化

2.1　RBF網(wǎng)絡(luò)及其原理

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一個單隱層的前向神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，因其收斂速度快，全局搜索能力強，并能以任意精度逼近任意的非線性映射，并行分布處理信息及時等優(yōu)點而越來越多的被人們所廣泛采用。如圖2所示其網(wǎng)絡(luò)拓撲圖，從網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)上可以看出，它是由輸入層、隱含層和輸出層三層組成，其中輸入層是由輸入信號源節(jié)點x(i)組成。因為徑向基函數(shù)是非線性的，所以，從輸入層到隱含層的變換是非線性的，而隱含層的輸出信號通過線性加權(quán)求值就變成了輸出層節(jié)點的輸出值，因此基函數(shù)隱含層空間到輸出層空間的變換是線性的[3-5]。

圖2　RBF網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

在RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，某一維的網(wǎng)絡(luò)輸入輸出關(guān)系可以采用徑向基函數(shù)構(gòu)造的映射f來表示，即:

(3)

式中：M為隱含層的節(jié)點數(shù)；αi(X)為隱含層節(jié)點的基函數(shù)；ωi為網(wǎng)絡(luò)的隱含層節(jié)點與輸出層節(jié)點的鏈接權(quán)值；X為輸入狀態(tài)向量。

其中隱含層基函數(shù)為：

(4)

式中：ci是第i個基函數(shù)對應(yīng)的中心點；σi是決定了該函數(shù)圍繞中心的寬度；‖X-ci‖是向量X-ci的范數(shù)，它通常表示X和ci之間的距離；Φi是一個關(guān)于其中心成徑向?qū)ΨQ的函數(shù)，它在ci處有一個唯一的最大值，隨著‖X-ci‖的不斷增大，Φi迅速衰減，直至為零。因此對于給定的X∈Rn，只有靠近中心的一部分X的單元被激活，即當(dāng)輸入落在輸入空間很小的指定區(qū)域時，隱單元才做出有意義的狀態(tài)響應(yīng)。

其中最常用的RBF基函數(shù)是高斯函數(shù)，即：

(5)

由前面所知，輸入實現(xiàn)從X→αi(X)=Φi(‖X-ci‖/σi)=的非線性映射，輸出層實現(xiàn)從αi(X)到y(tǒng)的線性加權(quán)映射，即。

2.2　RBF網(wǎng)絡(luò)參數(shù)的初始化及其學(xué)習(xí)算法

由于對RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的廣泛應(yīng)用及對它的研究，國內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)提出了許多種訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的算法，如k-均值算法、梯度算法、BP算法、EM算法等。這些算法都是以訓(xùn)練RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)為目的的。文中，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱含層節(jié)點選取高斯函數(shù)作為基函數(shù)，在其初始化時，需要確定三個參數(shù)：分別是第i個隱層單元基函數(shù)的中心ci、以及與之相對應(yīng)的寬度σi和隱含層到輸出層線性輸出權(quán)矢量Wi。因為RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有自學(xué)能力(即調(diào)節(jié)權(quán)值和閾值)的特性，且它的學(xué)習(xí)算法主要包括無導(dǎo)師學(xué)習(xí)和有導(dǎo)師學(xué)習(xí)兩部分。無導(dǎo)師學(xué)習(xí)也被稱作非監(jiān)督學(xué)習(xí)，即對所有輸入的樣本通過聚類算法進行聚類，以此來求得各隱層節(jié)點基函數(shù)的中心ci；而有導(dǎo)師學(xué)習(xí)也被稱作監(jiān)督學(xué)習(xí)，通過無導(dǎo)師學(xué)習(xí)得到隱層基函數(shù)中心ci后，因為隱含層到輸出層的權(quán)值為一線性方程組，則可利用線性優(yōu)化算法得到其輸出權(quán)值Wi。

該設(shè)計用來控制混沌運動的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)過程分為三個階段：利用k-均值算法確定隱層節(jié)點基函數(shù)中心ci、選擇k-最近鄰近值法得到其對應(yīng)寬度σi、最后采用LMS算法優(yōu)化輸出層權(quán)值。

2.2.1k-均值算法確定隱層節(jié)點基函數(shù)中心ci

k-均值算法的主要思想是：在輸入樣本中隨機選取k個樣本作為RBF網(wǎng)絡(luò)的初始聚類中心ci(i=1,2,…k)，之后將其他剩余輸入樣本放置到與之距離最近的第i個聚類中心，然后重新計算各類的訓(xùn)練樣本，把重新算出來的平均值作為RBF網(wǎng)絡(luò)的中心ci(i=1,2,…k)，直至隱含層的中心不變?yōu)橹筟6]。

其具體過程如下：

Step1：初始化聚類中心ci(i=1,2,…k)，通常是從輸入樣本Xj(j=1,2,…n)選取k個樣本作為RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的初始聚類中心；

Step2：將輸入樣本按照相鄰最近距離的原則進行分配，即把輸入樣本Xj(j=1,2,…n)分配給聚類中心ci(i=1,2,…k)的聚類集合θj(j=1,2,…k),X∈θj，根據(jù)下式的原則進行分配：

dj=min‖Xj-ci‖(j=1,2,…n;i=1,2,…k)，其中dj表示輸入的樣本與聚類中心ci(i=1,2,…k)之間的最小距離。

Step3:計算每個聚類集合θj中所有樣本的平均值，即為該類的聚類中心：

(6)

按照以上的步驟循環(huán)計算，直到每一個聚類中心ci(i=1,2,…k)的分布不再變化為止。

2.2.2k-最近鄰近值法求寬度σi

運用k-最近鄰近值法求解網(wǎng)絡(luò)寬度，即第i個隱含層基函數(shù)的寬度是通過該中心到與其最近的k個中心的距離之和的平均值所決定的，可由式(7)求解：

(7)

式中：σi為第i個隱層神經(jīng)元的寬度；cj是與第i個中心ci最鄰近的中心，k是所選定的常數(shù)。

2.2.3LMS法得到輸出層權(quán)值Wi

LMS的學(xué)習(xí)規(guī)則是使均方誤差最小，使邊界條件盡可能的遠離分類模式，從而增加網(wǎng)絡(luò)的抗噪能力。其學(xué)習(xí)規(guī)則的定義表達式如下：

(8)

式中：dr(n)為系統(tǒng)的期望輸出；yr(n)為系統(tǒng)的實際輸出，即：

(9)

其目標(biāo)是通過不斷的調(diào)節(jié)權(quán)值，使mse從誤差空間的某一點開始，沿著其斜面向下滑行，以使mse達到最小值。

具體推打過程如下：

Step1：初始化各連接權(quán)值wri，即賦給各個連接權(quán)一個較小的隨機非零值；

Step2：輸入訓(xùn)練樣本，計算連接權(quán)值的調(diào)整量，其推導(dǎo)過程如下：

(10)

(11)

式中：Ri(n)表示第n次循環(huán)的第i個輸入向量。則：

Step3：調(diào)整連接權(quán)值的表達式

根據(jù)負梯度下降的原則，網(wǎng)絡(luò)權(quán)值的修正式(12)：

(12)

3Henon系統(tǒng)的動力學(xué)分析

對于Henon混沌系統(tǒng)的模型：

(13)

由其系統(tǒng)方程可得它的Jacobian矩陣行列式為：

(14)

由其Jacobian矩陣行列式可得：

(1) 當(dāng)b=0時，系統(tǒng)會發(fā)生退化現(xiàn)象，成為不可逆的一個一維混沌映射。

(2) 當(dāng)b≠0時，則系統(tǒng)會成為可逆的一個二維混沌系統(tǒng)。若b為負值時，系統(tǒng)經(jīng)過每次迭代之后其方向均會改變，且當(dāng)|b|<1時，系統(tǒng)將是一個耗散系統(tǒng)，且每次迭代后其相平面(xn,yn)的面積變成為原來的|b|倍。

由不動點理論，可得Henon系統(tǒng)的不動點表達式為：

(15)

則可求得系統(tǒng)的兩個不動點A,B,其中A,B坐標(biāo)分別為：

取a=1.4、b=0.3代入A,B兩點坐標(biāo)得到的系統(tǒng)的不動點坐標(biāo)為A=(0.8839,0.8839)，B=(-1.5839,-1.5839)，并求出其對應(yīng)的特征值和特征向量，其中不動點A=(0.8839,0.8839)處的特征值是λ1=0.1158，λ2=-2.5907，且其所對應(yīng)的特征向量為(-1.924,1)，B所對應(yīng)的特征向量為(0.1561,1)，由于A所對應(yīng)的特征向量大于1，則A點是不穩(wěn)定鞍點，且在A點附近形成了不穩(wěn)定流形Ms，而B點的特征值向量的絕對值小于1，則在B點形成穩(wěn)定流行M′s，通過Poincaré截面法，即穩(wěn)定流形與不穩(wěn)定流形相交，經(jīng)過無窮多次迭代后，其點集{(xn,yn)}構(gòu)成了一條不封閉的曲線，即圖3為Henon系統(tǒng)的吸引子的Poincaré相圖，通過MATLAB數(shù)值模擬迭代可得到。

混沌系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)如果不穩(wěn)定，并且混沌系統(tǒng)具有初值敏感性，如果給系統(tǒng)任何小擾動都會使系統(tǒng)的拓撲結(jié)構(gòu)改變以致使其動力學(xué)行為發(fā)生變化，致使其運動形態(tài)發(fā)生變化，將這種行為稱為分岔現(xiàn)象。經(jīng)過MATLAB數(shù)值模擬可得該系統(tǒng)的分岔圖，如圖4。

圖4是變化參數(shù)a在區(qū)間[0,1.4]的分岔圖，從圖4中可得出，當(dāng)系統(tǒng)在參數(shù)a=0.36時開始第一次倍化分岔，當(dāng)a=0.9時系統(tǒng)發(fā)生第二次倍化分岔，且發(fā)現(xiàn)當(dāng)參數(shù)a逐漸增大時，系統(tǒng)的分岔現(xiàn)象越來越復(fù)雜，且其間隔時間也越來越短，最后成為了混沌狀態(tài)。則可發(fā)現(xiàn)Henon系統(tǒng)是典型的倍周期分岔系統(tǒng)。

圖3　　Henon系統(tǒng)的Poincaré　　　圖4　　Henon系統(tǒng)的　　　相圖　　　　　　　　　分岔圖

Lyapunov指數(shù)譜是來判定動力系統(tǒng)是否穩(wěn)定的重要指數(shù)。它是系統(tǒng)相鄰的兩條相軌線的平均收斂程度的一種度量。 對于Henon二維映射，應(yīng)用Lyapunov指數(shù)λa,λb來描述。在系統(tǒng)的吸引子吸引域內(nèi)任取一點作為一條軌道的起始點，并在該點的周圍選擇另一點作為另一條軌道的起始點。當(dāng)軌道間距很小時，每次迭代所產(chǎn)生的間距變化會成指數(shù)型變化，若初時刻的間距為d0，經(jīng)過一次迭代后變?yōu)椋?/p>

(16)

若系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)小于零時，系統(tǒng)處于不動點的穩(wěn)定周期運動；當(dāng)系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)大于零時，系統(tǒng)將會出現(xiàn)混沌運動。通過數(shù)值模擬可得圖5，發(fā)現(xiàn)Henon系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)整體的變化趨勢。

在此系統(tǒng)中，選擇參數(shù)為a=1.4,b=0.3，可發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)為0.418，表明系統(tǒng)在此處于混沌運動狀態(tài)。

圖5　Henon系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)圖

4Henon系統(tǒng)的混沌控制[7-8]

由以上可知當(dāng)a=1.4且b=0.3時系統(tǒng)發(fā)生混沌。由xn=a-x2n+bxn得其不動點(XF,YF)=(0.8839,-1.5839)因為|f1(XF)|>1，則XF為不穩(wěn)定周期1軌道不動點。假設(shè)a是微擾a0變化的可調(diào)參數(shù)，令a=a0+p，則p即為式(17)的控制參數(shù)。(xF,yF)為p=0時的不穩(wěn)定周期1的不動點。

(17)

其中ξn為：

(18)

將式(18)代入式(17)并整理，得到施加在系統(tǒng)的擾動控制量為：

(19)

式中用以計算擾動控制的數(shù)據(jù)對為(xk,yk)，式(19)是標(biāo)準(zhǔn)OGY控制混沌方法的控制輸入。即擾動量由(xk,yk)得出，采用徑向基函數(shù)訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò)。將式(19)中的常數(shù)c合并到控制常數(shù)k1,k2中，于是，系統(tǒng)的總控制量為：

(20)

這里k1,k2可分別取為1.840,-0.30，式(20)中數(shù)據(jù)對(xk,yk)作為網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)輸入樣本，網(wǎng)絡(luò)實際輸出pNNk再代入式(21)：

(21)

訓(xùn)練成功后，式(21)即為施加了控制作用的Henon映射。

通過RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練學(xué)習(xí)完成后，可將Henon系統(tǒng)混沌狀態(tài)鎮(zhèn)定道不動點處。其中圖6是系統(tǒng)處于混沌的仿真曲線，圖7是在迭代100步后加入RBF控制器，將系統(tǒng)的混沌狀態(tài)鎮(zhèn)定到不動點的仿真曲線。

圖6　Henon系統(tǒng)混沌狀態(tài)仿真曲線　圖7　100步后加入RBF控制器系統(tǒng)仿真曲線

5結(jié)語

以O(shè)GY法為基礎(chǔ)，選取不穩(wěn)定周期軌道中不動點周圍的樣本數(shù)據(jù)，并結(jié)合K-均值聚類算法、K-最近鄰近法和LMS法訓(xùn)練RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)成為混沌控制器，并以Henon二維映射為例進行仿真實驗，試驗表明了該控制方法能夠有效的鎮(zhèn)定一類離散非線性混沌系統(tǒng)，并且響應(yīng)速度快，從而表明該方法的有效性。

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Controlling Discrete Chaotic System Based on RBF Neural Networks

LIU Qing-feng, SUN Hong-lei

(LanzhouJiaotongUniversity,LanzhouGansu730030,China)

Abstract:The RBF neural network is trained by using OGY method as the chaos control strategy, and small disturbance signal of controlling the chaotic motion, which is obtained through the outputs of parameter perturbation model, is set as the chaotic controller. Meanwhile, the analogue simulation is carried out based on the chaotic behavior of Henon mapping, and the results show that the method is effective.

Key words:OGY method; RBF neural network; Henon map; chaos control

中圖分類號:TP398

文獻標(biāo)志碼：A

文章編號：1007-4414(2015)02-0157-04

作者簡介：劉慶豐(1990-)，甘肅蘭州人，在讀碩士，研究方向：非線性系統(tǒng)動力學(xué)，車輛動力學(xué)。

收稿日期：2015-02-04