Duffing系統(tǒng)線譜值降低的參數(shù)選取

蘭朝鳳，陳 歡，張 夢，李鳳臣

(1.哈爾濱理工大學電氣與電子工程學院，黑龍江 哈爾濱 150080;2.哈爾濱工業(yè)大學 能源科學與工程學院，黑龍江 哈爾濱 150001;3.中國艦船研究設計中心，湖北武漢 430026)

混沌是非線性科學的一個重要分支，是美國氣象學家E.N.Lorenz在1963年研究大氣運動對流試驗時，首次發(fā)現(xiàn)的流體的一種特殊運動形式.混沌理論作為非線性科學的重要分支，有人預言它將主導21世紀的科學，同時，自然界中的混沌現(xiàn)象幾乎是無處不在.混沌現(xiàn)已被廣泛應用于物理學、數(shù)學、流體力學、化學、生物學、信息科學、醫(yī)學、經(jīng)濟學及社會科學等各個領域，而在各個領域中的應用也各有特點［1-6］.

近年來，隨著混沌理論的深入研究，混沌控制與反控制技術取得了長足進步，20世紀90年代取得了重要突破，提出了混沌控制及反控制的方法:實現(xiàn)混沌的首要條件是建立對初始條件的敏感性;改變系統(tǒng)參數(shù);引入外部擾動;非線性是系統(tǒng)出現(xiàn)混沌的必要條件，也就是說混沌是非線性系統(tǒng)的通有行為.那么，對于一個系統(tǒng)來說，如何設計系統(tǒng)參數(shù)，才可以使系統(tǒng)出現(xiàn)混沌或避免混沌現(xiàn)象的出現(xiàn)，這就涉及到怎樣控制系統(tǒng)參數(shù)或外激勵參數(shù)來實現(xiàn)定態(tài)到混沌或從混沌到定態(tài)的過渡過程［7］.因此，針對非線性動力學系統(tǒng)開展混沌機理、系統(tǒng)動力學運動規(guī)律的研究顯得具有重要的理論意義和實際應用價值.

目前混沌處理方法被應用到各個領域，如極具代表性的Duffing方程應用到非線性隔振系統(tǒng)、船的橫搖運動、結構振動、微弱周期信號檢測、電力系統(tǒng)周期振蕩分析、周期電路系統(tǒng)的模擬與控制等的分析中［8-10］，它描述了系統(tǒng)的共振現(xiàn)象、調和次調和振動、擬周期振動、混沌現(xiàn)象等.對于系統(tǒng)中復雜的運動形式，如何選取參數(shù)以使得系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)、周期運動、擬周期運動、混沌運動非常重要，因此，文中詳細探討系統(tǒng)的阻尼參數(shù)、非線性參數(shù)、外激勵參數(shù)對系統(tǒng)輸出動力學規(guī)律的影響以及輸出功率譜值的變化規(guī)律，為實際工程應用提供一定的參考.

1 Duffing系統(tǒng)的動力學模型

單自由度Duffing振子是描述系統(tǒng)共振、調和、次調和振動、擬周期振動以及混沌現(xiàn)象的最簡單數(shù)學模型，因此，對它進行參數(shù)分析可以解釋一類相似的動力學問題.模型形式為

式中:x為狀態(tài)變量;f(x，x'，μ)為向量場，是一廣義函數(shù);μ為系統(tǒng)可調節(jié)參數(shù).

外力作用下的硬彈簧Duffing振子的振動形式為

式中:r為系統(tǒng)阻尼參數(shù);ω0為系統(tǒng)固有振動角頻率;k3為系統(tǒng)非線性恢復力參數(shù);u(x，y，t)為外部控制器.

式(2)寫為廣義狀態(tài)方程的形式為

式中:f(x，y)和g(x，y)均為廣義函數(shù)的形式;A和ω為施加外激勵的幅值和角頻率;φi為相位角;i代表施加外激勵的個數(shù)，為正整數(shù).

當式(3)中為單頻外激勵時，式(3)可寫為以下形式的狀態(tài)方程:

為分析線性系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)、外激勵作用下的非線性系特征，以及系統(tǒng)參數(shù)與外激勵參數(shù)對系統(tǒng)輸出功率譜的影響，進行數(shù)值分析.

本文目的在于通過系統(tǒng)參數(shù)的有效控制，實現(xiàn)混沌信號的輸出，進而實現(xiàn)信號能量的降低.

2 數(shù)值分析

根據(jù)已有的研究可知，Duffing系統(tǒng)未受外激勵擾動時，處于自激振蕩狀態(tài)，由于自身存在阻尼的影響，經(jīng)過一段時間后系統(tǒng)輸出接近于0，最終處于穩(wěn)定狀態(tài);在相平面圖上表現(xiàn)為一條孤立的封閉曲線，即極限環(huán);功率譜類似于噪聲譜;Poincare截面是處于混沌輸出狀態(tài)的亂點，但是仍然是一個圓環(huán)，可以判定系統(tǒng)處于擬周期運動狀態(tài).由此分析，要想使系統(tǒng)最終處于穩(wěn)定的動力學運動狀態(tài)，需對該非線性自激振動系統(tǒng)施加外激勵以維持系統(tǒng)的運動軌跡.以下仿真研究不同的外激勵作用于系統(tǒng)和系統(tǒng)參數(shù)改變時，系統(tǒng)輸出的動力學特征.

2.1 非線性參數(shù)對系統(tǒng)輸出特性的影響

仿真參數(shù):外激勵幅值A=50.00 N，角頻率ω=1.000 rad·s-1，系統(tǒng)諧振角頻率 ω0=1.000 rad·s-1(全文仿真中此參數(shù)均取此值)，阻尼系數(shù)r=0.250 0.系統(tǒng)輸出隨非線性參數(shù)k3變化的分岔圖如圖1所示;非線性參數(shù)k3的取值范圍為0.100 0～1.000 0，等間隔變化.

圖1 輸出隨非線性參數(shù)變化的全局分岔圖

由圖1可知，非線性參數(shù)取0.200 0，0.510 0，0.600 0與1.000 0時，系統(tǒng)輸出分別處于周期一運動、周期二運動、周期四運動與混沌運動狀態(tài).系統(tǒng)輸出的最大LE(Lyapunov指數(shù)的簡寫)Lmax與非線性參數(shù)k3的關系曲線如圖2所示.

圖2 隨非線性參數(shù)k3的最大LE曲線

由圖2可知，非線性參數(shù)區(qū)間為0.627 6＜k3＜0.805 8，系統(tǒng)輸出的最大LE除少數(shù)點小于0外，其他參數(shù)處取值均大于0，表明系統(tǒng)處于混沌運動狀態(tài).非線性參數(shù)k3=0.813 8時LE最大，為0.512 3，表明此參數(shù)處混沌程度最強.

2.2 阻尼參數(shù)對系統(tǒng)輸出特性的影響

仿真參數(shù):非線性參數(shù)k3=1.000 0，外激勵幅值A=50.00 N，角頻率ω=1.000 rad·s-1.系統(tǒng)輸出隨阻尼參數(shù)r變化的分岔圖如圖3所示.

圖3 輸出隨阻尼參數(shù)r變化的全局分岔圖

由圖3可知，在r=0.420 0處發(fā)生了一次逆倍周期分岔，r=0.360 0發(fā)生第2次逆分岔，即r在區(qū)間(0.420 0，1.000 0)中系統(tǒng)處于周期一運動，在區(qū)間(0.360 0，0.420 0)中系統(tǒng)處于周期二運動;平面上有無限個混亂的點代表系統(tǒng)發(fā)生混沌，即r在區(qū)間(0.200 0，0.320 0)中系統(tǒng)處于混沌狀態(tài).

仿真參數(shù):外激勵幅值A為50.00 N，角頻率為1.000 rad·s-1，阻尼參數(shù)r為0.250 0，非線性系數(shù)k3為 1.000 0，阻尼系數(shù)r的取值范圍為 0～1.000 0，等間隔變化.系統(tǒng)輸出的最大LE與阻尼參數(shù)r的關系曲線如圖4所示.

圖4 最大LE與阻尼參數(shù)的關系

由圖4可知，阻尼參數(shù)r＞0.460 0時，系統(tǒng)輸出的最大LE接近于0，表明系統(tǒng)的混沌程度較弱;當阻尼系數(shù)在0.243 2＜r＜0.305 3及0.434 4＜r＜0.829 8區(qū)間時，系統(tǒng)輸出的最大LE大于0，表明系統(tǒng)處于混沌運動狀態(tài);當r=0.239 2時，系統(tǒng)輸出的最大LE為0.451 6，系統(tǒng)混沌程度最強.由此，據(jù)系統(tǒng)輸出的最大LE大小，可選定系統(tǒng)所處混沌程度強弱的阻尼參數(shù).

2.3 外激勵幅值與角頻率參數(shù)對系統(tǒng)輸出特性的影響

仿真參數(shù):非線性參數(shù)k3=1.000 0，阻尼參數(shù)r=0.250 0，外激勵幅值從0.10～100.00 N，以0.1為步長變化，角頻率以步長0.1變化，系統(tǒng)輸出LE大于0時的外激勵幅值和角頻率參數(shù)值利用描點法在圖上繪出，如圖5所示.

圖5 輸出LE隨A和ω變化的混沌區(qū)域圖

圖5可實現(xiàn)外激勵幅值和角頻率的混沌區(qū)域參數(shù)的聯(lián)合選取.

仿真參數(shù):阻尼參數(shù)r為0.250 0，非線性參數(shù)k3為1.000 0，外激勵角頻率ω為1.000 rad·s-1，幅值A的取值范圍是0～100.00 N，等間隔變化.系統(tǒng)輸出的最大LE與A關系曲線如圖6a所示.外激勵幅值為50.00 N，角頻率ω的取值范圍為0～20.000 rad·s-1，等間隔變化.系統(tǒng)輸出的最大LE與ω關系曲線如圖6b所示.

圖6 最大LE與A，ω的關系

由圖6a可知，當外激勵幅值在38.94 N＜A＜44.44 N與53.15 N＜A＜57.66 N區(qū)間時，系統(tǒng)輸出的最大LE較大.外激勵幅值A=55.16 N時，系統(tǒng)輸出的LE最大，為0.439 4，此幅值處系統(tǒng)所處混沌程度最強.由圖6b可知，外激勵角頻率在1.702 rad·s-1＜ω ＜2.002 rad·s-1與0.901 rad·s-1＜ω＜1.201 rad·s-1區(qū)間時，系統(tǒng)輸出的最大LE較大.當角頻率ω=1.802 rad·s-1時，系統(tǒng)輸出的LE最大，為0.390 3，此角頻率處系統(tǒng)所處混沌程度最強.由此表明，據(jù)系統(tǒng)輸出的最大LE大小，可選取系統(tǒng)所處混沌程度強弱的幅值參數(shù)和角頻率參數(shù).

2.4 功率譜下降值的數(shù)學統(tǒng)計表

根據(jù)2.2與2.3節(jié)的數(shù)值分析結果，選取一些代表性的參數(shù)，給出系統(tǒng)輸出的基頻處功率譜與線性系統(tǒng)基頻處功率譜的差值及系統(tǒng)運動狀態(tài).表1中外激勵角頻率ω=1.000 rad·s-1.

對單自由度Duffing系統(tǒng)，調節(jié)系統(tǒng)阻尼參數(shù)、非線性參數(shù)及外激勵參數(shù)均可改變系統(tǒng)的運動狀態(tài)，即系統(tǒng)參數(shù)與外激勵參數(shù)共同作用、相互制約著系統(tǒng)的運動規(guī)律.通過適當調整控制參數(shù)，實現(xiàn)混沌反控制，有望控制系統(tǒng)穩(wěn)定地處于混沌運動狀態(tài)，輸出線譜值降低，提高隔振效果.

表1 系統(tǒng)輸出功率譜值的統(tǒng)計表

3 結論

1)系統(tǒng)具有非線性是系統(tǒng)發(fā)生混沌運動的必要條件，非線性系數(shù)越小，系統(tǒng)越難發(fā)生混沌.

2)系統(tǒng)阻尼參數(shù)越小，到達混沌所需的激勵力越小，混沌區(qū)域分布在更大的參數(shù)平面內.

3)在一定范圍內，外界的激勵力幅值A越大、激勵角頻率 ω越小，系統(tǒng)發(fā)生混沌的可能性就越大.

4)系統(tǒng)混沌運動的產生是系統(tǒng)阻尼參數(shù)、非線性參數(shù)、外激勵參數(shù)之間是共同作用、相互制約的結果.適當調整控制參數(shù)，實現(xiàn)混沌反控制，有望控制系統(tǒng)穩(wěn)定地處于混沌運動狀態(tài)，達到降低單頻線譜值的目的.

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