初高中銜接中對(duì)二次函數(shù)的探究

劉娟麗

（江西省萍鄉(xiāng)市上栗中學(xué)）

二次函數(shù)是初高中重點(diǎn)內(nèi)容，在新課改下，由于初中有些問題未涉及而影響學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。下面結(jié)合自己多年的教學(xué)實(shí)踐，探究初升高二次函數(shù)教材銜接的問題。

一、十字相乘

十字相乘（因式分解）是初中必須掌握的，可速解一元二次方程，還能理解二次函數(shù)解析式中的兩根式f（x）=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）。教學(xué)中不能僅局限于二次項(xiàng)系數(shù)是1的，如12x2-5x-2，聯(lián)想到12x2-5xy-2y2進(jìn)一步聯(lián)想到如：（x2+x）2-4（x2+x）-12，令t=x2+x，原式=（t-6）（t+2）把二次問題拓展到三次的因式分解，但不宜復(fù)雜，如：x3-3x2+2x=x（x-1）（x-2）；又如：巧拆項(xiàng)再分解=x3-3x-2=x3+1-3（x+1）=（x+1）（x+2）（x-1）。

二、一元二次方程

1.數(shù)形結(jié)合思想。一元二次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是對(duì)應(yīng)一元二次方程的根,結(jié)合函數(shù)的圖象由判別式Δ符號(hào)確定方程根的個(gè)數(shù)。若Δ＞0，基本都可因式分解確定根，不能因式分解用求根公式；若Δ＜0無根；若Δ=0一根。

2.韋達(dá)定理。一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系可以用韋達(dá)定理中兩個(gè)式子體現(xiàn)。設(shè)，則聯(lián)想到：

三、二次函數(shù)的性質(zhì)

由于圖象直觀性，教學(xué)中應(yīng)強(qiáng)調(diào)并要求學(xué)生會(huì)數(shù)形結(jié)合分析其性質(zhì)。如：開口，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)，最值，增減性，會(huì)寫二次函數(shù)頂點(diǎn)式。拓展到給定區(qū)間求最值問題，如y=x2-3x+1，分別求在-1≤x≤1，1≤x≤2，2≤x≤3上函數(shù)最大值、最小值。也可涉及簡(jiǎn)單的含參數(shù)問題。

①a___0；②c___0；③ab___0 ④a+b+c___0

例2.y=x2+bx+1在-3≤x≤3是減函數(shù)，則b的范圍（ ）.

例3.求y=-x2+2ax+1，-1≤x≤1的最大值。

本題注意對(duì)稱軸x=a，未知a與-1和1的大小關(guān)系，故分三種情況討論。

四、一元二次不等式的解法

（1）確定ax2+bx+c=0（a≠0）的根，但當(dāng)對(duì)于二次方程根不明顯的情況下可利用判別式Δ符號(hào)畫出函數(shù)簡(jiǎn)圖解相應(yīng)不等式。二次函數(shù)的圖象在x上方滿足不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）的解，在x下方就滿足不等式ax2+bx+c＜0的解?？缮婕昂?jiǎn)單含參的不等式，如：x2-ax≥0，又如：ax2-x≤0；甚至可以聯(lián)想到簡(jiǎn)單的含參問題：kx2+x+1＞0對(duì)任意的x恒成立，求k的取值范圍。這是高中參數(shù)不等式恒成立的熱點(diǎn)問題。

以上（1）（2）兩個(gè)內(nèi)容在高中階段會(huì)強(qiáng)化并熟練掌握。

總之，在二次函數(shù)的學(xué)習(xí)中培養(yǎng)學(xué)生利用函數(shù)的圖象解決一元二次方程，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。不等式及函數(shù)性質(zhì)的題型及含參數(shù)的不等式問題，應(yīng)分析開口和判別式的符號(hào)，讓學(xué)生感知分類討論和化歸轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。