一類積分微分方程的S-漸近ω-周期解

吳中華

(廣州南洋理工職業(yè)學院 基礎部，廣東 廣州 510925)

一類積分微分方程的S-漸近ω-周期解

吳中華

(廣州南洋理工職業(yè)學院 基礎部，廣東 廣州 510925)

研究了一類積分微分方程的S-漸近ω-周期溫和解的存在性，通過利用S-漸近ω-周期函數性質結合不動點定理和強連續(xù)預解算子建立了一些S-漸近ω-周期溫和解存在的充分條件。

S-漸近；ω-周期函數；積分微分方程；預解算子；溫和解

在微分方程定性理論方面微分方程周期解的存在是最令人感興趣和最重要的主題之一，又由于其在物理學、生物學、工程學、經濟學、控制理論和其它領域有廣泛的應用使其成為具有吸引力的主題。在現實中由于各種因素的影響，事物的變化往往呈現的結果不是完全周期的而是近似周期的。在過去幾十年，很多種方程的好幾種近似周期解的存在及其性質已有很多學者進行研究，例如：泛函微分方程、分數階方程、積分微分方程的概周期(自守)、偽概周期(自守)、加權偽概周期(自守)等。S-漸近ω-周期是一種比漸近周期更一般的近似周期，S-漸近ω-周期摡念一經Henríquez等[1]首先提出,很多作者進行了進一步的研究[ 2-10]。在文獻[11]中Dimbour利用Banach不動點定理研究了一類偏發(fā)展方程S-漸近ω-周期(溫和)解存在的條件.在文獻[12]中，Caicedo研究了如下抽象積分微分方程

(1)

x(0)=x0∈X

(2)

的S-漸近ω-周期(溫和)解的存在性.在文獻[13]中，Andrade研究了如下積分微分方程

(3)

x(0)=x0

(4)

的漸近周期存在性.其中在Banach空間X中，A:D(A)?X→X是閉線性稠定算子，{B(t)}t≥0是一族閉線性算子且對任意t≥0，D(B(t))?D(A).

本文在參考文獻的基礎上考慮積分微分方程(3)-(4)的S-漸近ω-周期溫和解的存在性.

1 預備知識

文中假設方程(1)-(2)抽象柯西問題有一預解算子(參見文獻[14]).

定義1[14]從X到X有界線性算子單參數族(R(t))≥0如果滿足下列條件，則稱為方程(1)-(2)的強連續(xù)預解算子

(1)R(0)=I(X上的恒等算子) 和對于任意x∈X在[0,∞)上函數R(t)x是連續(xù)的.

(2) 對于所有t≥0,R(t)D(A)?D(A)且x∈D(A),在[0,∞)上AR(t)x是連續(xù)的,且在[0,∞)上R(t)x是連續(xù)可微的.

(3)對于x∈D(A),下列預解方程成立,

定義2[13]函數u∈C([0,∞)，X) 稱作方程(3)-(4) 的溫和解，如果u(0)=x0且

文中Cb([0,∞)，X)表示從[0,∞)到Banach空間X的連續(xù)有界泛函的集合并賦予一致收斂范數‖·‖∞.

定義3[1]函數f∈Cb([0,∞)，X)稱作S漸近周期的，如果存在ω>0使得 limt→∞(f(t+ω)-f(t))=0.這時稱ω是f一個漸近周期，且f稱為是S-漸近ω-周期的(記為f∈SAPω(X)).

定義4[1]一個連續(xù)函數f:[0,∞)×X→X若在X中的任意子集K，有{f(t,x):t≥0,x∈K}為有界且limt→∞(f(t+ω,x)-f(t,x))=0在x∈K是一致的.則稱f在有界集上一致S-漸近ω-周期的.

引理1[1]設f:(-∞,0]×X→X在有界集是一致S-漸近ω-周期的和漸近一致連續(xù).如果u:(-∞,0]→X是S-漸近ω-周期函數，那么函數v(t)=f(t,u(t))∈SAPω(X).

文中使用類似文獻[15] 中一個公理化定義的相空間B,特別的B是一個泛函線性空間映(-∞,0]→X,滿足一個半范數‖·‖B和以下公理：

(A) 如果x:(-∞,σ+a)|→X,a>0,σ∈R在[σ,σ+a) 上是連續(xù)的并且有xσ∈β，那么對于任意的t∈[σ,σ+a)以下條件成立:

(1)xt∈B；

(2) ‖x(t)‖≤H‖xt‖B；

(A1)x(·)為條件(A) 中定義的函數,xt在[σ,σ+a)上是B-值連續(xù)函數.

(B) 空間B是完備的.

(C) 如果(ψn)n∈N是一致有界連續(xù)函數序列并且支撐集為緊集,在緊的開拓撲下ψn→ψ,n→∞,則ψ∈B以及‖ψn-ψ‖B→0當n→∞.

注1：因為B滿足條件(C),所以空間Cb((-∞,0],X)由所有連續(xù)有界泛函ψ:(-∞,0]→X構成，并連續(xù)嵌入空間B.因此，存在一個常數L≥0使得‖ψ‖B≤L‖ψ‖∞，對于任意的ψ∈Cb((-∞,0],X).(參見文獻[15]命題7.1.1)

定義5 設S(t):B→B是C0- 半群,當[-t,0] 時,S(t)φ(θ)=φ(0);當(-∞,-t] 時,S(t)φ(θ)=φ(t+θ),如果對任意φ∈B且φ(0)=0，當t→∞時,‖S(t)φ‖B→0.稱相空間B是衰退記憶空間.

注2：文中假設存在常數K>0使得max{K(t),M(t)}≤K對所有的t≥0，顯然此條件是可以驗證的.(參見文獻[15]命題7.1.5)

2 主要結果

(H1) 預解算子(R(t))≥0是一致指數穩(wěn)定，對于全體t≥0和常數M,δ>0有‖R(t)‖≤Me-δt.

(H2)函數f,g:R+×B→X在有界集是一致S-漸近ω-周期，使得

‖f(t,ψ1)-f(t,ψ2)‖X≤Lf‖ψ1-ψ2‖B

‖g(t,ψ1)-g(t,ψ2)‖X≤Lg‖ψ1-ψ2‖B

對所有(t,ψi)∈[0,∞)×B,i=1,2成立.

(H3)函數f,g:R+×B→X在有界集是一致S-漸近ω-周期，假設存在連續(xù)非遞減函數Lf,Lg:[0,∞)→[0,∞)使得對于每個正數 R 和ψ1,ψ2∈B,‖ψ1‖B≤R,‖ψ2‖B≤R有‖f(t,ψ1)-f(t,ψ2)‖X≤Lf(R)‖ψ1-ψ2‖B，

‖g(t,ψ1)-g(t,ψ2)‖X≤Lg(R)‖ψ1-ψ2‖B

對所有t∈R+成立，這里對每個t≥0，有Lf(0)=Lg(0)=0 ，f(t,0)=g(t,0)=0 .

在下述結果中，l在從X到X上，L是一個常數.(見注1)

定理1 設B是衰退記憶空間且條件(H1)-(H2) 成立，若LLf‖l‖L(X,X)<1，則方程(3)-(4)存在唯一的S-漸近ω-周期溫和解.

證明：設SAPω,0(X)={x∈SAPω(X)|x(0)=0}.很清楚 ,SAPω,0(X)是SAPω(X) 的閉子空間.對于θ≤0，通過x(θ)=0確定x∈SAPω,0(X)擴展至R. 用符號y(·) 來表示y0=φ和y(t)=R(t)φ(0)， 對t≥0 .通過

(5)

在SAPω,0(X)上定義映射Γ.從假設和引理2可知Γ是從SAPω,0(X)到SAPω,0(X)的映射.而且從

(6)

可判斷出Γ是連續(xù)的.

另一方面，通過

Λα(t)=LLf‖l‖L(X,X)α(t)+

m(Γx-Γz)≤Λm(x-z) ，

運用(文獻[16]定理1) ，可以得出Γ有唯一固定點x∈SAPω,0(X).規(guī)定u(t)=y(t)+x(t) ，對于t∈R，可以得出u∈SAPω(X)是方程(3)-(4)的唯一溫和解.

定理2 設B是衰退記憶空間且條件(H1)和(H3) 成立，若存在ε>0使得對每一個φ滿足‖φ‖B<ε，則方程(3)-(4)存在唯一的S-漸近ω-周期溫和解.

證明：設R>0 ，λ∈(0,1) 且有

這里K是常數[見注2].證實對于ε=λR成立.實際上若φ滿足‖φ‖<ε， 通過x0=0確定x∈SAPω,0(X)擴展至R 且定義空間DR:={x∈SAPω,0(X):‖x‖∞≤R}，賦予度量d(u,v)=‖u-v‖∞.在空間DR上通過(Γx)0=0和(5)定義算子 Γ .設x在DR內，應用定理1相似的證明方法可得Γx∈SAPω,0(X).而且有

‖(Γx)(t)‖≤Lf(1+(MH+1)λ)

因此Γ(DR)?DR.在另一方面x,z∈DR，可得

這證明了Γ是一個從DR到DR的壓縮映射.這一結論是從Banach不動點定理得出的結果.

3 結束語

文章通過利用S-漸近ω-周期函數性質并且結合不動點定理和強連續(xù)預解算子得到了積分微分方程(3)-(4)的S-漸近ω-周期溫和解存在的充分條件。

[1] Henríquez H R,Pierri M,Táboas P.On S-asymptotically ω-periodic functions on Banach spaces and applications[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2008,343(2):1119-1130.

[2]Cuevas C,César de Souza J.Existence of S-asymptotically ω-periodic solutions for fractional order functional integro-differential equations with infinite delay[J].Nonlinear Analysis:Theory,Methods & Applications,2010,72(3):1683-1689.

[3]Cuevas C,de Souza J C.S-asymptotically ω-periodic solutions of semilinear fractional integro-differential equations[J].Applied Mathematics Letters,2009,22(6):865-870.

[4]Henriquez H R,Pierri M,Táboas P.Existence of S-asymptotically ω-periodic solutions for abstract neutral equations[J].Bulletin of the Australian Mathematical Society,2008,78(3):365-382.

[5]De.Andrade B,Cuevas C.S-asymptotically ω-periodic and asymptotically ω-periodic solutions to semi-linear Cauchy problems with non-dense domain[J].Nonlinear Analysis:Theory,Methods & Applications,2010,72(6):3190-3208.

[6]Cuevas C,Lizama C.S‐asymptotically ω‐periodic solutions for semilinear Volterra equations[J].Mathematical Methods in the Applied Sciences,2010,33(13):1628-1636.

[7]Pierri M.On S-asymptotically ω-periodic functions and applications[J].Nonlinear Analysis:Theory,Methods & Applications,2012,75(2):651-661.

[8]Blot J,Cieutat P,N'Guérékata G M.S-asymptotically ω-periodic functions and applications to evolution equations[J].African Diaspora Journal of Mathematics,New Series,2011,12(2):113-121.

[9] Pierri M.S-asymptotically ω-periodic functions on Banach spaces and applications to differential equations[C].Sao Paulo :Universidade de sao Paulo,2009.

[10]Caicedo A,Cuevas C,Mophou G M,et al.Asymptotic behavior of solutions of some semilinear functional differential and integro-differential equations with infinite delay in Banach spaces[J].Journal of the Franklin Institute,2012,349(1):1-24.

[11]Dimbour W,N’Guérékata G M.S-asymptotically ω-periodic solutions to some classes of partial evolution equations[J].Applied Mathematics and Computation,2012,218(14):7622-7628.

[12]Caicedo A,Cuevas C,Henríquez H R.Asymptotic periodicity for a class of partial integrodifferential equations[J].ISRN Mathematical Analysis,2011,(1):1-18.

[13]Andrade B,Cuevas C,Henríquez E.Asymptotic periodicity and almost automorphy for a class of Volterra integro-differential equations[J].Mathematical Methods in the Applied Sciences,2012,35(7):795-811.

[14]Diagana T,Hernández M E,Dos Santos J P C.Existence of asymptotically almost automorphic solutions to some abstract partial neutral integro-differential equations[J].Nonlinear Analysis:Theory,Methods & Applications,2009,71(1):248-257.

[15]Hino Y,Naito T,Murakami S.Functional differential equations with infinite delay[M].Berlin :Springer,1991.

[16]Henriquez H R.Approximation of abstract functional differential equations with unbounded delay[J].Indian Journal of Pure and Applied Mathematics,1996,(27):357-386.

(責任編輯：馬金發(fā))

S-asymptoticallyω-periodic Solutions of Integrodifferential Equations

WU Zhonghua

(Basis Course Department Guangzhou Nanyang Polytechnic，Guangzhou 510925，China)

Existence ofS-asymptoticallyω-periodic mild solutions for a class integrodifferential equation is considered.Some sufficient conditions are established by using properties ofS-asymptoticallyω-periodic function combined with Banach fixed point theorem and strongly continuous family of resolvent operators.

S-asymptotically;ω-periodic function;integrodifferential equation;resolvent operator;mild solution

2014-08-25

吳中華(1975— ), 男, 講師，研究方向: 泛函方程.

1003-1251(2015)03-0075-04

O175

A