多元表征，建構模型——“數(shù)的奇偶性”教學實踐與思考

□浙江省長興縣第二實驗小學　吳慧婷

多元表征，建構模型——“數(shù)的奇偶性”教學實踐與思考

□浙江省長興縣第二實驗小學吳慧婷

2013年教育部審定的義務教育教科書數(shù)學五年級下冊第二單元“因數(shù)和倍數(shù)”中，增加了用數(shù)的特征解決問題。如教材15頁例2，研究兩數(shù)之和的奇偶性的純數(shù)學問題。

人教版義務教育課程標準實驗教科書五年級下冊第二單元“因數(shù)和倍數(shù)”中，在總結了2的倍數(shù)的特征的基礎上，介紹了偶數(shù)與奇數(shù)的概念。只在練習三中，以星號題（第十三題）的形式呈現(xiàn)，讓學生結合具體的數(shù)來理解奇數(shù)和偶數(shù)的性質。

“數(shù)的奇偶性”一課以探索兩數(shù)之和的奇偶性為例，讓學生在探究過程中獲得數(shù)學活動的經驗，豐富解決問題的策略。如何實施教學，落實并檢測教學目標呢？筆者嘗試解決問題與數(shù)學建模活動有效結合。

一是用算式表征數(shù)學問題?！捌鏀?shù)與偶數(shù)的和是奇數(shù)還是偶數(shù)？奇數(shù)與奇數(shù)的和是奇數(shù)還是偶數(shù)？偶數(shù)與偶數(shù)的和呢？”該例題屬于“解決問題”，學生首先要閱讀并理解題意。小學高年級學生已具有一定的學習經驗，可將題意轉化為三組算式：

奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)奇數(shù)+奇數(shù)=奇數(shù)偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)

奇數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)偶數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)

學生有意識地用算式表征問題，這是數(shù)學建模的起點。問題簡潔明了，學習目標明確，有利于自主探索。

二是多種方法獲取模型。解決問題的中心環(huán)節(jié)是分析與解答，即怎樣研究。這也是數(shù)學建模的重要環(huán)節(jié)。傳統(tǒng)教學數(shù)的奇偶性，只采用舉例法，屬于不完全歸納法。在實踐中發(fā)現(xiàn)，學生在舉例時清楚數(shù)的奇偶性，但在應用時，較多學生憑猜測或死記硬背，錯誤率較高。如何讓學生正確理解數(shù)的奇偶性，并能熟練靈活應用，需要多種方法結合獲取結論，掌握科學的學習方法。

課前有孕伏。奇數(shù)、偶數(shù)概念產生后，教師有意識地為“數(shù)的奇偶性”教學做了兩次孕伏。奇數(shù)、偶數(shù)概念的產生以2的倍數(shù)特征為基礎，學生生活經驗豐富，對奇數(shù)、偶數(shù)不陌生，并得出規(guī)律：奇數(shù)除以2余數(shù)是1，偶數(shù)除以2余數(shù)是0。這一知識為用語言解釋數(shù)的奇偶性做了第一次孕伏。在學生認識奇數(shù)和偶數(shù)后，引導其動手操作，用1個小正方形表示1，一個接一個擺成兩行。在不斷的操作中，學生發(fā)現(xiàn)：偶數(shù)個小正方形總能擺成一個長方形，而奇數(shù)個小正方形總缺1個（也可以說多1個）。這一發(fā)現(xiàn)為以形助數(shù)獲取數(shù)的奇偶性做了第二次孕伏。

課中有體現(xiàn)。課前孕伏，事半功倍?！澳銣蕚湓趺囱芯?？除了舉例，還有其他的方法嗎？”激起學生的研究興趣。學生首選方法是舉例驗證，接著是畫圖和用語言描述。筆者收集了課堂上學生的作品，學生介紹了每種方法的好處：舉例，采用小數(shù)字，易發(fā)現(xiàn)規(guī)律；畫圖，數(shù)形結合，形的直觀幫助理解抽象的數(shù)的奇偶性；語言描述，兩個加數(shù)分別除以2有無余數(shù)，決定了和有無余數(shù)，即奇數(shù)還是偶數(shù)。舉例、圖示、說理，三種方法結合使用，得出結論：奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)、奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)、偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)，提高了數(shù)的奇偶性的可靠性，增強了學生對結論的理解。學生自主探索，通過觀察、分析、抽象、概括等數(shù)學活動，完成了模式抽象，得到數(shù)的奇偶性模型。

三是多維度驗證模型。得到模型，要通過模型去求出結果并討論結果的意義。即獲得結論，需要驗證。

舉例驗證。在獲取結論時學生往往采用小數(shù)字例子，便于得出規(guī)律。在驗證時，往往會用大數(shù)字例子檢驗。如教材中的534+319=853，用上述獲得的結論解釋應得到奇數(shù)，算出得數(shù)也是奇數(shù)，結論與檢驗結果吻合。

聯(lián)想驗證。從一年級上冊起，學生就在接觸加減法四式練習，高年級學生已學會用加減法的關系解釋簡單的數(shù)學問題。若“奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)”是對的，那么“奇數(shù)-奇數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)-偶數(shù)=奇數(shù)”一定成立。學生只要用舉例、圖示或說理等方法去驗證“奇數(shù)-奇數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)-偶數(shù)=奇數(shù)”是否正確。同理，奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)，可以去驗證“偶數(shù)-奇數(shù)=奇數(shù)，偶數(shù)-偶數(shù)=偶數(shù)”。不僅驗證了和的奇偶性，又獲得了差的奇偶性結論。

四是應用模型體現(xiàn)價值。用模型解決所有這類問題，體現(xiàn)模型價值。建立數(shù)的奇偶性模型，通過不同層次的練習來加強理解。

1.基本練習促鞏固。在以往的教學中，對奇偶性的教學比較單一，只用舉例。學生在判斷奇偶性時盲目性較大，錯誤率高?，F(xiàn)在學生解決類似的題目，方法多樣。作業(yè)反饋時，正確率位94％。在訪談中問學生是怎樣想的，較多人回答用圖示和說理，圖示的直觀性、余數(shù)的判斷更有效，并且判斷后再用數(shù)字驗證是否正確。

2.變式練習用遷移。教材16頁第4題，奇數(shù)與奇數(shù)的積是奇數(shù)還是偶數(shù)？奇數(shù)與偶數(shù)的積是奇數(shù)還是偶數(shù)？偶數(shù)與偶數(shù)的積呢？學生經歷了和、差的奇偶性的學習過程，用遷移獨立解決積的奇偶性，甚至商的奇偶性，舉一反三。

3.對比練習清本質。

該題將數(shù)的奇偶性與質數(shù)、合數(shù)綜合應用，區(qū)分各概念的本質含義。學生在解決該題時，首先判斷兩個偶數(shù)的和、差、積、商，再判斷質數(shù)還是合數(shù)。將習題用足用透，若將“A和 B都是偶數(shù)”改為“A、B都是奇數(shù)”呢？學生熟悉了數(shù)的奇偶性特征，以及奇數(shù)與偶數(shù)、質數(shù)與合數(shù)的分類依據。

解決問題是按照一定的目標，應用各種認知活動、技能等，經過一系列的思維操作，使問題得以解決的過程。教師要培養(yǎng)學生解決問題的能力，形成解決問題的一些基本策略，體驗解決問題策略的多樣性，幫助學生建立思維習慣。解決問題，常常經歷猜想、驗證、獲得結論的過程，讓學生學會從一般到特殊，研究特殊情況發(fā)現(xiàn)一般方法；學會從抽象到具體，化難為易；學會數(shù)形結合，直觀形象助理解。同時在解決問題中，學會尋找數(shù)學模型，建立數(shù)學模型及應用數(shù)學模型。