不依賴子波、基于包絡(luò)的FWI初始模型建立方法研究

敖瑞德， 董良國， 遲本鑫

同濟大學(xué)海洋地質(zhì)國家重點實驗室， 上海 200092

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不依賴子波、基于包絡(luò)的FWI初始模型建立方法研究

敖瑞德， 董良國*， 遲本鑫

同濟大學(xué)海洋地質(zhì)國家重點實驗室， 上海 200092

地震全波形反演(FWI)從理論走向?qū)嶋H面臨著諸多難題，其中之一就是需要一個較高精度的初始模型，另一個難題就是需要一個較為精確的震源子波，初始模型和震源子波的準確程度嚴重影響著全波形反演的最終結(jié)果.為此，本文提出了不依賴子波、基于包絡(luò)的FWI初始模型建立的方法，建立了相應(yīng)的目標函數(shù)，推導(dǎo)出了反演的梯度，給出了伴隨震源的表達式，理論上分析了不依賴子波FWI的可行性.在數(shù)值試驗中，討論了參考道的選取方式，通過分析歸一化目標函數(shù)收斂速率，認為近偏移距參考道優(yōu)于遠偏移距參考道，在地震數(shù)據(jù)含干擾噪音時，平均道作為參考道要優(yōu)于最小偏移距參考道.通過包絡(luò)、包絡(luò)對數(shù)、包絡(luò)平方三種目標函數(shù)反演結(jié)果的比較，發(fā)現(xiàn)包絡(luò)對數(shù)目標函數(shù)對深層的反演效果最好.通過不同子波的試驗進一步驗證了本方法的正確性.

全波形反演； 子波； 包絡(luò)； 初始模型； 參考道； 目標函數(shù)

1 引言

全波形反演(Full waveform inversion，簡稱FWI)作為一種高分辨率地震反演成像方法，是近些年來勘探地球物理界研究的熱點.20世紀80年代，Tarantola(1984)從波動方程出發(fā)，利用模擬波場與觀測數(shù)據(jù)殘差反傳波場的互相關(guān)構(gòu)造梯度方向，建立了一套時間域全波形反演的理論框架.20世紀90年代，Pratt等(1998)、 Pratt(1999)又將其發(fā)展到頻率域，利用炮點和檢波點的互易性原理推導(dǎo)出梯度的高效算法.這些研究是當前地震全波形反演的理論基礎(chǔ).但是，F(xiàn)WI目前在實際中還沒得到很好的應(yīng)用，其中一個問題就是如何得到一個較為精準的初始速度模型，另一個問題就是如何處理震源子波.

FWI要通過地震波正演模擬來實現(xiàn)，需要知道震源子波.但在實際地震數(shù)據(jù)中，子波往往是未知的，這成為全波形反演的又一大挑戰(zhàn).最直接的解決方法就是從地震數(shù)據(jù)中提取直達波作為震源子波，但直達波并不是真實的子波.Song等(1995)則將子波的計算統(tǒng)一在速度模型的反演中，通過迭代的方式不斷更新震源子波和速度模型，但如果速度模型與真實模型有較大的偏差，計算的子波也會不準確，最終造成反演的失敗.另一種思路就是在反演過程中消除子波的影響.Lee和Kim(2003)、Zhou和Greenhalgh(2003)等提出了基于聲波方程的不依賴子波的FWI，這種方法通過在頻率域?qū)⒌卣饠?shù)據(jù)與參考道波場相除，從而獲得歸一化的波場來消除震源子波的影響.該方法的缺點在于需要直接計算Jacobian矩陣，計算量大.Choi等(2005)在此基礎(chǔ)上提出了利用地震數(shù)據(jù)的振幅譜消除子波的兩種方法，即反褶積法與褶積法：將觀測數(shù)據(jù)與模擬數(shù)據(jù)的振幅與各自參考道的振幅先相除后作差，以此構(gòu)建目標函數(shù)的方法稱為反褶積法；將觀測數(shù)據(jù)與模擬數(shù)據(jù)的振幅與相互的參考道的振幅先相乘后作差，以此構(gòu)建目標函數(shù)的方法稱為褶積法.兩種方法的梯度均可通過伴隨狀態(tài)法求取，減少了計算量，但這些方法都是在頻率域?qū)崿F(xiàn)的.之后，Choi和Alkhalifah(2011)又提出了時間域不依賴子波的FWI，他們在時間域?qū)⒛M數(shù)據(jù)和觀測數(shù)據(jù)互相與參考道波場褶積消除子波的影響，同時驗證了該方法在加噪數(shù)據(jù)上的可行性，但是該方法仍需要提供較準確的初始模型.

本文在前人工作基礎(chǔ)上，提出不依賴子波、基于包絡(luò)的FWI初始速度模型的建立方法，該方法克服了FWI對子波的依賴性，降低了FWI的非線性程度，在觀測地震數(shù)據(jù)缺少低頻成分情況下也可以進行有效的FWI反演，從而為下一步FWI提供較為準確的初始模型.

2 方法原理

2.1 目標函數(shù)

全波形反演的目標函數(shù)一般定義為模擬數(shù)據(jù)與觀測數(shù)據(jù)殘差的L2泛函，形式如下：

(1)

其中s和r分別是炮號和道號，ui,j和di,j分別是第i炮的第j個檢波器處的模擬數(shù)據(jù)和觀測數(shù)據(jù).將ui,j和di,j寫成格林函數(shù)和子波的褶積形式，目標函數(shù)變?yōu)?/p>

(2)

其中，g是格林函數(shù)，w是子波，*代表褶積，上標u和d分別代表模擬數(shù)據(jù)和觀測數(shù)據(jù).

為了避免在全波形反演中估算子波，可以通過交叉褶積波場的方法消除子波的影響(ChoiandAlkhalifah,2011).對于每一個炮集，模擬數(shù)據(jù)與同一炮觀測數(shù)據(jù)的第k個參考道進行褶積，獲得模擬褶積波場；觀測數(shù)據(jù)與同一炮模擬數(shù)據(jù)的第k個參考道進行褶積，獲得觀測褶積波場.此時，新的目標函數(shù)定義為

(3)

其中ui,k和di,k分別是第i炮的第k個參考道的模擬數(shù)據(jù)和觀測數(shù)據(jù).ui,j*di,k為模擬褶積波場，di,j*ui,k為觀測褶積波場.

將(3)式中的模擬數(shù)據(jù)與觀測數(shù)據(jù)都表示為格林函數(shù)與震源子波的褶積形式：

(4)

從(4)式可以發(fā)現(xiàn)，其中的減號左右兩邊都與共同的新震源子波(wu*wd)進行了褶積，這樣在目標函數(shù)中就消除了實際子波與模擬子波差異的影響，而由(2)式可知，目標函數(shù)(1)卻與子波差異有關(guān).因此，基于目標函數(shù)(3)的全波形反演結(jié)果不再依賴于準確的子波(圖2b)，而目標函數(shù)(1)依賴于子波，采用不準確的子波將嚴重影響反演結(jié)果的精度(圖2a).

進一步地，利用褶積波場的包絡(luò)提取低頻信息：

(5)

(6)

(7)

除了(7)式中包絡(luò)誤差形式的目標函數(shù)，常用的目標函數(shù)還有下面的包絡(luò)平方目標函數(shù)(Wuetal.,2014)和包絡(luò)對數(shù)目標函數(shù)(Chietal.,2014)，它們都不受子波的影響：

(8)

(9)

2.2 梯度和伴隨震源

在目前基于局部優(yōu)化的全波形反演過程中，目標函數(shù)梯度的求取是關(guān)鍵.(10)式是包絡(luò)對數(shù)目標函數(shù)(9)對模型參數(shù)p的梯度，本文中p代表縱波速度(詳細的推導(dǎo)過程請參考附錄A)，

(10)

(11)

其中?代表互相關(guān)運算.將伴隨震源設(shè)為

當取參考道di,k=ui,k=δ(t)時，褶積波場即為原始波場，參考道與空間位置無關(guān)，此時伴隨震源只剩r32.應(yīng)用δ函數(shù)的特殊性質(zhì)，伴隨震源進一步退化為

當采用其他兩種目標函數(shù)時，梯度的推導(dǎo)過程與上面類似.

對包絡(luò)目標函數(shù)(7)，在參考道k處的伴隨震源為

(15)

在任意檢波點j處的伴隨震源為

(16)

對包絡(luò)平方目標函數(shù)(8)，在參考道k處的伴隨震源為

(17)

在任意檢波點j處的伴隨震源為：

(18)

2.3 初始模型建立過程

利用本文提出的方法進行初始模型建立的步驟與時間域常規(guī)FWI反演的步驟基本一致，主要不同在于目標函數(shù)和伴隨震源的計算，已在2.1和2.2節(jié)中分別給出.本文中的具體過程如下：(1)給定一個模型，正演計算每一炮的模擬波場；(2)選定合適的參考道，求取模擬褶積波場和觀測褶積波場；(3)計算目標函數(shù)和伴隨震源；(4)利用伴隨震源計算伴隨波場，并求取單炮梯度；(5)累加各單炮的梯度，從而獲得全局梯度；(6)通過L-BFGS算法對梯度進行校正并求取步長，進行模型更新，直到滿足終止條件，最終輸出反演結(jié)果.

3 數(shù)值試驗

采用的Marmousi速度模型(圖1a)參數(shù)如下：水平網(wǎng)格數(shù)nx=501，垂直網(wǎng)格數(shù)nz=140，水平網(wǎng)格大小dx=15 m，垂直網(wǎng)格大小dz=15 m，水層深30 m，水平總長度7500 m，垂直總長度2085 m.震源和檢波器都位于地表處，共有80炮數(shù)據(jù)，第一炮位于195 m處，炮間距為90 m.第一個檢波器位于0 m處，檢波器間隔15 m.地震記錄的采樣間隔為0.0015 s，采樣點數(shù)為2000，總記錄時間為3 s.用高階有限差分法(董良國等，2000)進行二維聲波的正演.理論子波是主頻為8 Hz的Ricker子波，延時0.15 s，子波最大振幅為1.0.

即使采用相對精確的Gauss平滑初始模型(圖1b)，利用錯誤的子波(主頻3 Hz的Ricker子波，延時0.5 s，最大振幅2.0)，常規(guī)FWI也會得到很差的反演結(jié)果(圖2a).而不依賴子波的FWI的反演結(jié)果對模型的高頻成份進行了很好的恢復(fù)(圖2b).

如果以梯度模型作為FWI的初始模型，常規(guī)FWI將不僅面對錯誤子波的問題，較差的初始模型還會使反演極易陷入局部極值，常規(guī)FWI的結(jié)果將變得更加糟糕.本文提出的不依賴子波、基于包絡(luò)的FWI方法，就是要在不知道震源子波以及沒有任何模型先驗信息的條件下，為下一步的常規(guī)FWI反演提供一個含有可靠的低波數(shù)成分的初始模型.其中參考道的選擇、方法的抗噪性、不同目標函數(shù)的比較以及不同子波的對比，是本文提出的方法中涉及的幾個關(guān)鍵問題，下面通過數(shù)值試驗和理論分析對這幾個問題進行探討.為了表達方便，將依賴于正確子波、基于包絡(luò)的FWI稱為傳統(tǒng)的基于包絡(luò)的FWI，在下面的試驗中，它與本文提出的不依賴子波、基于包絡(luò)的FWI均是在梯度模型(圖3)的基礎(chǔ)上進行的.

3.1 參考道的選擇

本文提出的不依賴子波、基于包絡(luò)的FWI方法中的一個關(guān)鍵問題，就是參考道應(yīng)該如何選取.理論上，參考道的選擇并不重要，然而實際中，參考道的選擇對于反演結(jié)果有較大影響.關(guān)于參考道的選取，前人已經(jīng)做了比較詳細的分析.劉寶龍等(2014)比較了每個炮集中不同參考道的全波形反演結(jié)果，認為最小偏移距參考道為最優(yōu)選擇方案.但這種選取方案的FWI并沒有涉及包絡(luò)目標函數(shù)的問題.

為了比較不同參考道對本方法反演結(jié)果的影響，我們進行了兩組試驗，分別利用不含噪數(shù)據(jù)和含有噪聲的數(shù)據(jù)進行測試和對比.選取的子波都為主頻3 Hz的Ricker子波，延時0.5 s，最大振幅2.0，顯然與觀測數(shù)據(jù)的子波(8 Hz的Ricker子波，延時0.15 s，子波最大振幅為1.0)差別很大.

首先比較數(shù)據(jù)不含噪聲時不同偏移距的參考道.理論上，最小偏移距參考道的能量最大；考慮實際波場的傳播，子波具有時變和空變特征，偏移距越小，畸變越小，因此當采用不依賴子波、基于包絡(luò)的FWI建立初始模型時，最小偏移距參考道應(yīng)優(yōu)于遠偏移距參考道.但直接比較不同偏移距的反演結(jié)果難以看出差別(圖4)，而從圖5的歸一化的目標函數(shù)隨迭代次數(shù)的變化過程可以看出，隨著參考道的偏移距增加，收斂速度減慢.這個試驗說明：近偏移距參考道優(yōu)于遠偏移距參考道.因此在下面的試驗中選取零偏移距參考道.

圖1 Marmousi準確模型(a)以及高斯平滑結(jié)果(b)Fig.1 The Marmousi velocity model (a) and Gauss-window smoothed model (b)

圖2 子波錯誤時不同目標函數(shù)的FWI反演結(jié)果(a) 目標函數(shù)(1)的常規(guī)FWI反演結(jié)果；(b) 目標函數(shù)(3)的不依賴子波的FWI反演結(jié)果.Fig.2 FWI results of different misfit functions with an incorrect wavelet(a) The traditional FWI result corresponding to misfit function (1); (b) Source-independent FWI result corresponding to misfit function (3).

圖4 無噪時選取不同偏移距參考道迭代16次的反演結(jié)果(a) 偏移距750 m； (b) 偏移距600 m； (b) 偏移距0 m.Fig.4 The inversion results of different offset reference traces after 16 iterations for noise-free data(a) 750 m-offset； (b) 600 m-offset； (c) 0 m-offset.

圖3 梯度初始模型Fig.3 The gradient initial model

圖5 無噪時不同偏移距參考道反演過程中目標函數(shù)收斂速度對比紅色：偏移距750 m參考道；綠色：偏移距600 m參考道；藍色：0 m偏移距參考道.Fig.5 The history of normalized misfit functions of 750 m-offset reference trace(red), 600 m-offset reference trace (green) and 0 m-offset reference trace(blue) for noise-free data.

圖6 加入噪聲的一炮地震記錄(信噪比10 dB)Fig.6 One shot record contaminated by noise with 10 dB S/N ratio

對于含有噪聲的數(shù)據(jù)，如果只選取某一道作為參考道，噪聲的影響會很大.而取平均道作參考道后，不同地震道的噪聲可以相互抵消，從而可以更好地保留信號中的有效信息.所以在第二組試驗中，對原始地震記錄加入信噪比10 dB的噪聲(圖6)，其中的噪聲是產(chǎn)生的隨機噪音與正演模擬的子波褶積的結(jié)果，以保證噪音與有效信號頻帶一致.選取每個炮集炮點附近100道的平均道作為參考道.對比在無噪數(shù)據(jù)和加噪數(shù)據(jù)情況下，零偏移距參考道和平均道作參考道時不依賴子波、基于包絡(luò)的FWI初始模型建立結(jié)果(圖7)，可以發(fā)現(xiàn)，本方法在初始模型建立過程中對噪聲并不敏感，均很好地反演出了模型的背景成份.從歸一化的目標函數(shù)(圖8)中也可以看出，當數(shù)據(jù)中含有噪聲后，平均道作參考道的收斂速度要優(yōu)于零偏移距參考道的收斂速度.

由上可知，對于無噪數(shù)據(jù)，近偏移距參考道的目標函數(shù)收斂情況優(yōu)于遠偏移距參考道；對于加噪數(shù)據(jù)，平均道作參考道的目標函數(shù)收斂情況優(yōu)于最小偏移距參考道.利用不依賴子波、基于包絡(luò)的FWI方法，建立的初始模型效果對于不同參考道和數(shù)據(jù)噪聲并不敏感，這是因為利用包絡(luò)目標函數(shù)的反演方法僅對模型的低頻成份敏感.最終的反演結(jié)果得到的是宏觀的背景速度，可以為接下來的常規(guī)FWI提供一個較好的初始速度模型.

3.2 不同目標函數(shù)的比較

由2.1節(jié)可知，不依賴子波、基于包絡(luò)的FWI方法可以選擇三種不同的目標函數(shù).雖然三種目標函數(shù)均可以反演背景速度，但結(jié)果差別較大.圖9是選用同樣的錯誤子波、在梯度模型的基礎(chǔ)上、采用不同目標函數(shù)的反演結(jié)果，它們均是不依賴子波的，都對模型的背景成份進行了一定的恢復(fù).但是，明顯可以看出，包絡(luò)對數(shù)目標函數(shù)對深層的恢復(fù)更好(圖9a)，其次為包絡(luò)目標函數(shù)(圖9b)，而包絡(luò)平方目標函數(shù)的效果最差(圖9c).在同樣的迭代次數(shù)下，不依賴子波、基于包絡(luò)平方目標函數(shù)的FWI方法對模型的深部速度基本不更新，收斂速度很慢.

最后，選取最小偏移距參考道和包絡(luò)對數(shù)目標函數(shù)進行不依賴子波、基于包絡(luò)的FWI建立初始速度模型，在此基礎(chǔ)上進行常規(guī)的FWI，并與傳統(tǒng)的基于包絡(luò)的FWI反演結(jié)果對比(圖12).可以發(fā)現(xiàn)，錯誤的子波對于傳統(tǒng)的基于包絡(luò)的FWI反演影響是巨大的(圖12a)，而以圖12a為初始模型的常規(guī)FWI結(jié)果當然非常糟糕(圖12b).而當采用了不依賴子波、基于包絡(luò)的FWI方法后，反演的初始模型不再受錯誤子波的影響，較好地反映了模型速度變化的低波數(shù)成分(圖12c)，而以圖12c為初始模型的常規(guī)FWI反演結(jié)果(圖12d)與準確速度模型(圖1a)非常接近，這一點也可以從沿深度抽線結(jié)果中清楚地看出(圖13).

圖7 不同參考道迭代16次反演結(jié)果(a) 無噪時零偏移距參考道反演結(jié)果； (b) 加噪時零偏移距參考道反演結(jié)果；(c) 無噪時平均道作參考道反演結(jié)果； (d) 加噪時平均道作參考道反演結(jié)果.Fig.7 The inversion results with different reference traces after 16 iterations(a) 0 m-offset reference trace for noise-free data; (b) 0 m-offset reference trace for noisy data; (c) Average trace as reference trace for noise-free data; (d) Average trace as reference trace for noisy data.

圖8 不同參考道反演時，歸一化目標函數(shù)收斂曲線對比紅色：平均道作參考道；藍色：零偏移距參考道. (a) 無噪時歸一化目標函數(shù)收斂情況；(b)加噪時歸一化目標函數(shù)收斂情況.Fig.8 The history of normalized misfit functions for different reference traces(a) Noise-free data; (b) Noisy data. Red: average trace as reference trace; Blue: 0 m-offset reference trace.

圖9 不依賴子波、基于不同包絡(luò)目標函數(shù)的FWI反演結(jié)果對比(a) 包絡(luò)對數(shù)目標函數(shù)； (b) 包絡(luò)目標函數(shù)； (c) 包絡(luò)平方目標函數(shù).Fig.9 The inversion results of source-independent envelope-based FWI with different misfit functions(a) Logarithmic envelope misfit function; (b) Envelope misfit function; (c) Squared envelope misfit function.

圖10 第一次迭代后，不同目標函數(shù)反演的波場殘差(a) 包絡(luò)對數(shù)目標函數(shù)； (b) 包絡(luò)目標函數(shù)； (c) 包絡(luò)平方目標函數(shù).Fig.10 The residual wavefields for different misfit functions after 1st iteration(a) Logarithmic envelope misfit function； (b) Envelope misfit function; (c) Squared envelope misfit function.

圖11 第一次迭代后，不同目標函數(shù)反演的伴隨震源(a) 包絡(luò)對數(shù)目標函數(shù)；(b) 包絡(luò)目標函數(shù)；(c) 包絡(luò)平方目標函數(shù).Fig.11 The adjoint sources for different misfit functions after 1st iteration(a) Logarithmic envelope misfit function; (b) Envelope misfit function; (c) Squared envelope misfit function.

3.3 子波試驗

為了進一步說明本文提出的方法在為常規(guī)FWI建立初始模型時并不依賴于子波，我們選取了不同參數(shù)的子波(均不同于原始觀測數(shù)據(jù)中的子波)來進行測試，選用的子波參數(shù)如下：(1)主頻20 Hz、濾去5 Hz以下低頻成分的Ricker子波，延時0.5 s，最大振幅2.0；(2)主頻為12 Hz的高斯子波，延時0.15 s，最大振幅1.0.這里需要再次說明的是，合成地震數(shù)據(jù)時所用的是主頻為8 Hz、延時0.15 s、最大振幅為1.0的Ricker子波.

圖14a和圖14c是本文方法采用上述兩種錯誤子波時的反演結(jié)果，可以看出，即使采用錯誤的子波，甚至在地震數(shù)據(jù)缺少低頻信息的情況下，反演結(jié)果也都較好地恢復(fù)了模型中的背景成分.用圖14a和圖14c作為初始速度模型，常規(guī)FWI的反演結(jié)果都比較好地刻畫了真實模型的高低波數(shù)成分(圖14b和圖14d).

為了驗證本文方法反演的背景速度的可靠性，我們分別用四種速度模型對地震數(shù)據(jù)進行了逆時偏移，結(jié)果如圖15所示.偏移所用的四種速度模型分別是：準確模型的Gauss平滑結(jié)果(圖1b)、上述兩種錯誤子波情況下本文方法的反演結(jié)果(圖14a和圖14c)以及梯度模型(圖3).相比于梯度模型的偏移結(jié)果(圖15d)，本文提出的方法反演的模型的成像結(jié)果(圖15b、c)大大改善，與Gauss平滑模型的偏移結(jié)果(圖15a)基本一致，這說明了本方法在子波未知情況下，仍對模型中的低波數(shù)成分進行了很好的恢復(fù)，這樣的反演結(jié)果當然就為接下來的常規(guī)FWI提供了很好的初始模型.

圖12 子波錯誤時FWI反演結(jié)果對比(a) 傳統(tǒng)基于包絡(luò)的FWI建立的初始模型；(b) 以(a)為初始模型的常規(guī)FWI反演結(jié)果；(c)不依賴子波、基于包絡(luò)的FWI建立的初始模型；(d) 以(c)為初始模型的常規(guī)FWI反演結(jié)果.Fig.12 The comparison of different FWI results with an incorrect wavelet(a) The initial model built by traditional envelope-based FWI; (b) The inversion result of traditional FWI using (a) as the initial model； (c) The initial model built by source-independent envelope-based FWI; (d) The inversion result of traditional FWI using (c) as the initial model.

圖13 本文方法的反演抽線結(jié)果(a) 1000 m處速度抽線； (b) 5800 m處速度抽線. 綠色：準確模型；藍色：本文方法建立的初始模型；紅色：最終FWI反演結(jié)果.Fig.13 Depth velocity slices of inversion results(a) X=1000 m; (b) X=5800 m. Green: true model; Blue: the inverted initial model by our method; Red: the final inversion result.

圖14 本文方法采用兩個錯誤子波時建立的初始模型以及相應(yīng)的常規(guī)FWI反演結(jié)果(a) 采用主頻為20 Hz濾去5 Hz以下的Ricker子波建立的初始模型；(b)以(a)為初始模型的常規(guī)FWI反演結(jié)果；(c) 采用主頻為12 Hz的高斯子波建立的初始模型；(d) 以(c)為初始模型的常規(guī)FWI反演結(jié)果.Fig.14 The inverted initial models using two incorrect wavelets by our method and the corresponding traditional FWI results(a) The inverted initial model using 20 Hz Ricker wavelet without low frequency below 5 Hz; (b) The corresponding traditional FWI result using (a) as the initial model; (c) The inverted initial model using 12 Hz Gauss wavelet; (d) The corresponding traditional FWI result using (c) as the initial model.

圖15 不同速度模型的逆時偏移結(jié)果對比(a) 高斯平滑初始模型；(b) 主頻為20 Hz濾去5 Hz以下低頻Ricker子波建立的初始模型；(c) 12 Hz高斯子波初始模型；(d) 梯度初始模型.Fig.15 The comparison of RTM results with different velocities(a) Gauss-window smoothed initial model; (b) The inverted initial model using 20 Hz Ricker wavelet without low frequency below 5 Hz; (c) The inverted initial model using 12 Hz Gauss wavelet; (d) Gradient initial model.

4 結(jié)論

(1) 為進一步推動FWI的實用性，本文在前人研究的基礎(chǔ)上，提出了不依賴子波、基于包絡(luò)的FWI反演方法.在子波未知、沒有任何模型先驗信息、以及地震數(shù)據(jù)缺少低頻信息的情況下，這種方法可以為常規(guī)FWI提供一個可靠的初始速度模型. ，也可以作為疊前深度偏移的速度模型.

(2) 比較了不同參考道的反演結(jié)果和歸一化目標函數(shù)的收斂速度，認為近偏移距參考道優(yōu)于遠偏移距參考道.當數(shù)據(jù)含有噪音時，平均道作為參考道優(yōu)于最小偏移距參考道.

(3) 在不依賴子波、基于包絡(luò)的FWI的不同目標函數(shù)中，包絡(luò)對數(shù)目標函數(shù)為最優(yōu)選擇，對深層的反演效果最好.

(4) 不依賴子波、基于包絡(luò)的FWI反演方法能夠克服傳統(tǒng)FWI方法對震源子波的依賴.

附錄A 不依賴子波、基于包絡(luò)對數(shù)目標函數(shù)的梯度公式推導(dǎo)

不依賴子波、基于包絡(luò)對數(shù)目標函數(shù)為公式(9)，它對模型參數(shù)p求導(dǎo)，得

(A1)

其中

(A2)

(A3)

h為希爾伯特變換的濾波因子.

將(A2)和(A3)帶入方程(A1)中并展開，得到如下四項：

(A4)

(A5)

(A6)

(A7)

其中第一項(A4)和第三項(A6)，第二項(A5)和第四項(A7)推導(dǎo)過程類似.

下面推導(dǎo)(A4). (A4)可變?yōu)?/p>

(A8)

令

(A9)

(A8)進一步變換為

(A10)

(A11)

令

(A12)

(A11)進一步變換為

(A13)

作類似的變換，第二項(A5)化為

(A14)

對(A14)括號內(nèi)的部分應(yīng)用相關(guān)褶積定理，同時注意濾波因子h為奇函數(shù)，得

對于包絡(luò)目標函數(shù)、包絡(luò)平方目標函數(shù)，它們對參數(shù)的梯度的推導(dǎo)過程與此類似，這里不再贅述.

Brossier R, Operto S, Virieux J. 2009. Seismic imaging of complex onshore structures by 2D elastic frequency-domain full-waveform inversion.Geophysics, 74(6): WCC105-WCC118. Bunks C, Saleck F M, Zaleski S, et al. 1995. Multiscale seismic waveform inversion.Geophysics, 60(5): 1457-1473.

Chi B X, Dong L G, Liu Y Z. 2013. Full waveform inversion based on envelope objective function. ∥ 75th Annual International Conference and Exhibition, EAGE, Extended Abstracts.

Chi B X, Dong L G, Liu Y Z. 2014.Full waveform inversion method using envelope objective function without low frequency data.JournalofAppliedGeophysics, 109: 36-46.

Choi Y, Shin C, Min D J, et al. 2005. Efficient calculation of the steepest descent direction for source-independent seismic waveform inversion: An amplitude approach.JournalofComputationalPhysics, 208(2): 455-468. Choi Y, Alkhalifah T. 2011. Source-independent time-domain waveform inversion using convolved wavefields: Application to the encoded multisource waveform inversion.Geophysics, 76(5): R125-R134.

Dong L G, Ma Z T, Cao J Z, et al. 2000. A staggered-grid high-order difference method of one-order elasticwave equation.ChineseJournalofGeophysics(in Chinese), 43(3): 411-419, doi: 10.3321/j.issn:0001-5733.2000.03.015.

Lee K H, Kim H J. 2003. Source-independent full-waveform inversion of seismic data.Geophysics, 68(6): 2010-2015.

Liu B L, Dong L G, Chi B X. 2014. Method of Source-independent Full Waveform Inversion[Ph. D. thesis] (in Chinese). Shanghai: Tongji University. Pratt R G, Shin C, Hick G J. 1998. Gauss-Newton and full Newton methods in frequency-space seismic waveform inversion.GeophysicalJournalInternational, 133(2): 341-362.Pratt R G. 1999. Seismic waveform inversion in the frequency domain, Part 1: Theory and verification in a physical scale model.Geophysics, 64(3): 888-901.

Sirgue L, Pratt R G. 2004. Efficient waveform inversion and imaging: A strategy for selecting temporal frequencies.Geophysics, 69(1): 231-248.Song Z M, Williamson P R, Pratt R G. 1995. Frequency-domain acoustic-wave modeling and inversion of crosshole data: Part II-Inversion method, synthetic experiments and real-data results.Geophysics, 60(3): 796-809.

Tarantola A. 1984. Inversion of seismic reflection data in the acoustic approximation.Geophysics, 49(8): 1259-1266.

Virieux J, Operto S. 2009. An overview of full-waveform inversion in exploration geophysics.Geophysics, 74(6): WCC1-WCC26.

Wu R S, Luo J R, Wu B Y. 2014. Seismic envelope inversion and modulation signal model.Geophysics, 79(3): WA13-WA24.

Zhou B, Greenhalgh S A. 2003. Crosshole seismic inversion with normalized full-waveform amplitude data.Geophysics, 68(4): 1320-1330.

附中文參考文獻

董良國, 馬在田, 曹景忠等. 2000. 一階彈性波方程交錯網(wǎng)格高階差分解法. 地球物理學(xué)報, 43(3): 411-419, doi: 10.3321/j.issn:0001-5733.2000.03.015.

劉寶龍, 董良國, 遲本鑫. 2014. 不依賴于子波的全波形反演方法研究[碩士論文]. 上海: 同濟大學(xué).

(本文編輯 胡素芳)

Source-independent envelope-based FWI to build an initial model

AO Rui-De, DONG Liang-Guo*, CHI Ben-Xin

StateKeyLaboratoryofMarineGeology,TongjiUniversity,Shanghai200092,China

Full waveform inversion (FWI) is facing many difficulties in practice. One of the issues is how to construct a relatively precise initial model. Another one is the treatment of source wavelet. Both seriously affect the final inversion result. To tackle this problem, we propose a source-independent envelope-based FWI approach to build an initial model for the traditional FWI.On one hand, the cross-convolved wavefields, including the convolution of observed wavefields with a reference trace from the modeled wavefields and the convolution of modeled wavefields with a reference trace from the observed wavefields, can eliminate source wavelet effect in the misfit function of waveform inversion. On the other hand, the envelope of wavefields contains abundant low-frequency components, which are crucial for initial model inversion. Therefore, we use the envelope of cross-convolved wavefields to establish misfit functions, the feasibility of which is proved by theoretical analysis. The expressions of the corresponding gradient and adjoint source are derived. Furthermore, we use a Marmousi synthetic data example to test our method.The proposed method is tested by using different reference traces, misfit functions and source wavelets. (1) The normalized misfit of long offset reference trace converges more slowly than that of short-offset reference trace for noise-free data and the average trace as reference trace is better than the minimum-offset reference trace for noisy data. (2) The logarithmic envelope is the best and the squared envelope is the worst misfit function to invert the deep part of the model. The initial model built by our method choosing the logarithmic misfit function and minimum-offset reference trace is much better than that of the traditional envelope-based FWI when the source wavelet is incorrect. (3) Using other kinds of source wavelets, such as 20 Hz Ricker wavelet without low frequency below 5 Hz and 12 Hz Gauss wavelet, both of which are quite different from the true 8 Hz Ricker wavelet, the inversion result of our method can provide a good initial model for the traditional FWI. In addition, the initial model can be used in seismic depth migration, and the imaging result is close to the RTM result with true velocity model and much better than that with gradient initial model.In conclusion, first, we propose a source-independent envelope-based FWI approach to build an initial model for the traditional FWI without any prior information when the source wavelet is unknown and even the data lack low frequency. The initial model built by our method can also be used as the velocity model for pre-stack depth migration. Second, the short-offset reference trace is better than long-offset reference trace for noise-free data and average trace as reference trace is better than the minimum-offset reference trace for noisy data. Third, the logarithmic envelope misfit function is the optimal misfit function. Finally, by changing the source wavelet, it is further proved that our method is source-independent.

Full waveform inversion; Source wavelet; Envelope; Initial model; Reference trace; Misfit function

10.6038/cjg20150615.

國家油氣重大專項(2011ZX05005-005-007HZ)資助.

敖瑞德，1991年生，男，2014年畢業(yè)于同濟大學(xué)，理學(xué)學(xué)士，主要從事地震全波形反演的相關(guān)研究，現(xiàn)為清華大學(xué)碩士研究生. E-mail:ruideao@163.com

*通訊作者 董良國，同濟大學(xué)教授，主要從事地震波傳播與數(shù)值模擬、地震波波形反演與層析成像等方面的研究.E-mail:dlg@#edu.cn

10.6038/cjg20150615

P631

2014-12-05，2015-05-25收修定稿

敖瑞德， 董良國， 遲本鑫.2015.不依賴子波、基于包絡(luò)的FWI初始模型建立方法研究.地球物理學(xué)報，58(6):1998-2010,

Ao R D, Dong L G, Chi M X. 2015. Source-independent envelope-based FWI to build an initial model.ChineseJ.Geophys. (in Chinese),58(6):1998-2010,doi:10.6038/cjg20150615.