接觸式輪軌外形測量儀器的半徑補(bǔ)償方法

向文明，江海琳，沈 鋼

(同濟(jì)大學(xué) 鐵道與城市軌道交通研究院，上海 201804)*

0 引言

由于車輪和鋼軌的斷面外形在鐵道車輛橫向動力學(xué)行為中起支配作用，準(zhǔn)確獲取車輪與鋼軌的斷面外形成為一件重要工作.對于輪軌外形的測量，按測量原理可以分為接觸式和非接觸式兩類［1］.目前，接觸式以其測量精度高、穩(wěn)定和測量范圍大而被大量采用.國內(nèi)外的接觸式測量儀器其測量連桿末端都連接有測量輪，測量滾輪滾過測量對象表面即能測出斷面輪廓的外形.桿機(jī)構(gòu)帶動編碼器旋轉(zhuǎn)，測量系統(tǒng)采集到角度數(shù)據(jù).通過角度數(shù)據(jù)和數(shù)學(xué)計算模型只能得到測量輪的輪心坐標(biāo)，要想得到被測對象的實際輪廓曲線的坐標(biāo)數(shù)據(jù)，還需要對輪心軌跡數(shù)據(jù)進(jìn)行滾輪半徑長度的偏移，通常我們稱這一過程為半徑補(bǔ)償.

當(dāng)前，對于上述的半徑補(bǔ)償問題方法眾多，包括測量方向補(bǔ)償法、線線補(bǔ)償法、二點補(bǔ)償法、三點共圓補(bǔ)償法、B樣條曲線逼近法等［2］.相關(guān)的研究所采用的方法大多都是有其適用條件的，對任意形狀的輪心曲線進(jìn)行半徑補(bǔ)償效果并不穩(wěn)定.本文根據(jù)補(bǔ)償時求導(dǎo)方式的不同，分別用了三點平均導(dǎo)數(shù)法和高階傅里葉函數(shù)擬合法這兩種方法實現(xiàn)補(bǔ)償，并通過巧妙的算法設(shè)計使其能對任意曲線進(jìn)行半徑補(bǔ)償.在離散點足夠密集的情況下，三點平均導(dǎo)數(shù)法和高階傅里葉函數(shù)擬合法都是有效的方式，離散點稀疏的情況下高階傅里葉函數(shù)擬合法更優(yōu).

1 半徑補(bǔ)償原理

在滾輪滾過測量表面時，滾輪始終是與測量表面相切的(圖1).滾輪輪心在任意的(xo，yo)位置時，始終有對應(yīng)的唯一切點(x，y)，且點(x，y)位于滾輪輪心坐標(biāo)(xo，yo)的法線方向.

圖1 半徑補(bǔ)償原理圖

假設(shè)滾輪輪心曲線方程為yo=f1(xo)，輪廓曲線的方程為y=f(x)，滾輪半徑為R，點(xo，yo)法線與水平軸間的夾角為θ.對于輪心曲線上的任意一點(xo，yo)，切點(x，y)可以通過如下方程求解組求解:

方程組(1)有兩個解，而輪心曲線內(nèi)側(cè)解是我們所求的.

由方程組(1)可求得:

其中:

cosθ和sinθ的正負(fù)號取值根據(jù)輪心曲線的走向而定.

求得輪心曲線上每個(xo，yo)點對應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值f1'(xo)，即可根據(jù)式(2)得到對應(yīng)的輪廓曲線上的點(x，y).

2 半徑補(bǔ)償?shù)膶崿F(xiàn)

由半徑補(bǔ)償?shù)脑砜芍?，實現(xiàn)半徑補(bǔ)償?shù)年P(guān)鍵在于求得輪心曲線上每個離散點的準(zhǔn)確導(dǎo)數(shù)值.因此，根據(jù)離散點求導(dǎo)方式的不同使用了兩種方式實現(xiàn).

2.1 三點求導(dǎo)法

測量儀器得到的輪心曲線是由離散點構(gòu)成的，通常這些離散點是十分密集的(間距在0.5 mm左右).因此輪心曲線上某點(xi，yi)的導(dǎo)數(shù)值可以用下式近似:

其中坐標(biāo)點(xi-1，yi-1)和(xi+1，yi+1)表示點(xi，yi)的相鄰兩點.

2.2 高階函數(shù)擬合求導(dǎo)法

用高階傅里葉表達(dá)式擬合輪心曲線，從而求得輪心曲線的解析式，再對解析式求導(dǎo)，即可求得輪心曲線任意坐標(biāo)位置的導(dǎo)數(shù)值［6］.

n階傅里葉擬合表達(dá)式為:

假設(shè)輪心曲線由 (x1，y1)，(x2，y2)，… (xi，yi)，…(xm，ym)m個離散點構(gòu)成，由擬合方程(4)可知:

令則式(5)可以寫成XM=Y.

基于最小二乘條件下的擬合系數(shù)矩陣解M應(yīng)滿足J=‖XM-Y‖min=((XM-Y)T(XMY))min.由，可得矩陣

M=(XTX)-1XTY

2.3 算法設(shè)計

使用上述兩種方法對輪心軌跡曲線直接求導(dǎo)后代入式(2)，補(bǔ)償任意的輪軌廓型時效果并不理想(圖2).這是由于在輪心軌跡曲線的豎直線部分，輪心坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)值在正負(fù)無窮大來回跳動，導(dǎo)致補(bǔ)償?shù)姆较驘o法準(zhǔn)確判斷，補(bǔ)償?shù)慕Y(jié)果數(shù)據(jù)點也相應(yīng)地跳變.

為了克服上述的補(bǔ)償結(jié)果跳動的問題，基于曲線在坐標(biāo)系中的旋轉(zhuǎn)變換并不改變曲線的形狀的思想，設(shè)計了巧妙的輪軌廓型半徑補(bǔ)償算法.補(bǔ)償算法能適應(yīng)任意形狀的輪心曲線.

圖2 輪軌廓型的補(bǔ)償效果

基于三點求導(dǎo)方式下的補(bǔ)償算法:

(1)對于輪心曲線上的除首位兩點外的任意點 (xi，yi)，計 算 其 與 相 鄰 兩 點 (xi-1，yi-1)、(xi+1，yi+1)的橫、縱坐標(biāo)差的絕對值最小值mindx=min(|xi-xi-1|，|xi+1-xi|，|xi+1-xi-1|，mindy=min(|yi-yi-1|，|yi+1-yi|，|yi+1-yi-1|);

(2)如果mindx＞mindy，則轉(zhuǎn)(3)，否則轉(zhuǎn)(4);

(3)xi點處的導(dǎo)數(shù)值為f'(xi)=.如果xi+1＞xi-1，則 cosθ否則 cosθ.補(bǔ)償后的輪廓外形坐標(biāo)點為(xi+Rcosθ，yi-Rsinθ);

(4)令 xnew1=yi-1，ynew1=-xi-1，xnew2=yi，ynew2=-xi，xnew3=yi+1，ynew3=-xi+1.變換后，對應(yīng)點的導(dǎo)數(shù)值為如果 xnew3＞ xnew1，則 cosθ=，否則.補(bǔ)償后的輪廓外形坐標(biāo)點為(-ynew2+Rsinθ，xnew2+Rcosθ).

基于高階函數(shù)擬合法求導(dǎo)法設(shè)計的半徑補(bǔ)償算法與基于三點求導(dǎo)法設(shè)計的算法思路相似.擬合法先將輪心曲線分段擬合，擬合前先根據(jù)分段曲線的特征來判斷是否需要相對坐標(biāo)作旋轉(zhuǎn)變換，及旋轉(zhuǎn)多少角度的變換.將旋轉(zhuǎn)變換后的某段輪心曲線用高階傅里葉函數(shù)擬合后，求出變換后的輪心曲線的半徑補(bǔ)償點，再將這些補(bǔ)償點作逆向等角度的旋轉(zhuǎn)變換后得到的點即為實際的輪廓外形數(shù)據(jù)點.

改進(jìn)后的半徑補(bǔ)償算法能適應(yīng)任意形狀的輪心曲線(圖3).

圖3 改進(jìn)補(bǔ)償算法的補(bǔ)償效果

3 算法測試

將上述的兩種半徑補(bǔ)償算法編寫為C++代碼嵌入到與輪軌外形測量儀器配套的數(shù)據(jù)處理與分析軟件中.通過使用實際的輪軌外形測量儀器(圖4)測量并將測量結(jié)果與標(biāo)準(zhǔn)驗證樣塊進(jìn)行比較，結(jié)果表明:在設(shè)置測量儀器角度編碼器采樣步長控制脈沖數(shù)為40(影響數(shù)據(jù)采集疏密程度的參數(shù))時，基于三點求導(dǎo)法和高階傅里葉函數(shù)擬合求導(dǎo)法的半徑補(bǔ)償算法均能實現(xiàn)較理想的半徑補(bǔ)償效果，補(bǔ)償?shù)淖畲笃钅芸刂圃? μm以內(nèi)，這遠(yuǎn)小于角度編碼器自身精度帶來的的誤差值.步長控制脈沖數(shù)進(jìn)一步減小時，算法的補(bǔ)償精度提高不明顯.步長控制脈沖數(shù)增加到一定程度，輪心曲線數(shù)據(jù)更稀疏后，可以發(fā)現(xiàn)采用基于擬合求導(dǎo)方式的半徑補(bǔ)償算法更優(yōu).算法的補(bǔ)償偏差只來源于輪心坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)值誤差，理想上當(dāng)輪心坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)值完全準(zhǔn)確時，補(bǔ)償?shù)慕Y(jié)果沒有偏差.對于輪心曲線變化急劇的位置，離散點過于稀疏后，采用三點求導(dǎo)法(按式(3)計算)求得的導(dǎo)數(shù)值就不再精確了，因而補(bǔ)償?shù)钠罹蜁^大.為保證半徑補(bǔ)償?shù)木?，建議在設(shè)置儀器編碼器采樣步長的脈沖控制數(shù)不高于40.

圖4 輪軌外形測量儀器及測試驗證模塊

4 結(jié)論

本文研究了用于接觸式輪軌外形測量數(shù)據(jù)處理的半徑補(bǔ)償算法.通過算法設(shè)計，使得半徑補(bǔ)償算法能夠適應(yīng)任意形狀的輪心曲線.經(jīng)實際儀器測量，驗證了設(shè)計的補(bǔ)償算法的有效性及高精度，同時也指出了半徑補(bǔ)償方法的補(bǔ)償偏差來源，指出了保證補(bǔ)償精度的條件.

［1］沈鋼，黎冠中，李小江，等.輪軌踏面外形的實際測量及幾何接觸的進(jìn)一步研究［J］.鐵道學(xué)報，1999(5):24-28.

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