最小二乘法、矩法和最大似然法的應(yīng)用比較

胡 德，郭剛正

（1.中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué) 金融學(xué)院，武漢 430073；2.華中科技大學(xué) 經(jīng)濟(jì)學(xué)院，武漢 430074）

0 引言

隨著統(tǒng)計(jì)和計(jì)量技術(shù)的不斷發(fā)展和完善，參數(shù)估計(jì)在研究經(jīng)濟(jì)金融問題中發(fā)揮著越來越重要的作用，日益成為統(tǒng)計(jì)推斷和經(jīng)濟(jì)預(yù)測的基石。參數(shù)估計(jì)的目的是通過已知樣本推斷未知總體的分布情況和數(shù)字特征，并力求使估計(jì)量滿足無偏、有效、一致等性質(zhì)，使估計(jì)具有更高的精度。常用的參數(shù)估計(jì)方法分為三大類：最小二乘法、矩法和最大似然法。其中，最小二乘方法體系的基礎(chǔ)是普通最小二乘法，矩方法體系的基礎(chǔ)是矩估計(jì)法，最大似然方法體系的基礎(chǔ)是最大似然估計(jì)法。對參數(shù)估計(jì)方法的研究，必須始于這三種基礎(chǔ)方法。

目前，國內(nèi)外專家學(xué)者對參數(shù)估計(jì)方法做了大量研究，并形成一些高質(zhì)量的研究成果?，F(xiàn)有的研究大致可分為兩個方向：其一是研究參數(shù)估計(jì)方法的構(gòu)造、推導(dǎo)變換以及求解等方面的問題；其二是研究在解決實(shí)際問題時如何靈活、有效地選取參數(shù)估計(jì)方法。但對于參數(shù)估計(jì)方法進(jìn)行多角度、全方位的系統(tǒng)性比較研究相對不足。本文基于這一現(xiàn)狀，嘗試構(gòu)建方法特點(diǎn)、適用條件、估計(jì)精度等三維比較的研究框架，通過對同類方法做“類之內(nèi)”的橫向?qū)Ρ?，對不同類方法做“類之間”的縱向?qū)Ρ龋钊胝J(rèn)識各參數(shù)估計(jì)方法的特點(diǎn)，分清各參數(shù)估計(jì)方法的適用條件，綜合比較在既定條件下各參數(shù)估計(jì)方法的估計(jì)精度差異，為通過參數(shù)估計(jì)方法研究具體經(jīng)濟(jì)金融問題提供參考。

1 三大類估計(jì)方法特點(diǎn)及適用條件的比較

1.1 三大類估計(jì)方法的思想概述及估計(jì)量推導(dǎo)

最小二乘法，是以樣本觀測值與估計(jì)值殘差平方和最小為標(biāo)準(zhǔn)對未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)的一類參數(shù)估計(jì)方法。普通最小二乘法（OLS）是最小二乘思想最直接的運(yùn)用，當(dāng)模型為經(jīng)典線性回歸模型時，普通最小二乘估計(jì)量具有非常好的性質(zhì)與估計(jì)精度。當(dāng)模型誤差項(xiàng)存在異方差，通常使用加權(quán)最小二乘法（WLS），對每一個平方分項(xiàng)賦予一個適當(dāng)?shù)臋?quán)數(shù)，保證各項(xiàng)在平方和中的作用相當(dāng)。若回歸模型誤差項(xiàng)同時存在異方差和自相關(guān)，則一般采用廣義最小二乘法（GLS）對誤差項(xiàng)協(xié)方差矩陣作恒等變換，消除偏誤影響。當(dāng)模型解釋變量存在內(nèi)生性時，兩階段最小二乘法（2SLS）選取合適的工具變量代替原內(nèi)生解釋變量對回歸系數(shù)作出估計(jì)。若解釋變量存在嚴(yán)重的共線性問題，參數(shù)估計(jì)值將會很不穩(wěn)定，可能影響到顯著性檢驗(yàn)，甚至造成回歸系數(shù)正負(fù)號的錯亂?；魻栐?970年提出的嶺回歸估計(jì)法（RR）通過人為作出不等價變換，改進(jìn)了估計(jì)精度。

矩法，是利用樣本矩或樣本矩構(gòu)造的方程來估計(jì)總體參數(shù)的一類參數(shù)估計(jì)方法。矩法以矩估計(jì)法為基礎(chǔ)，主要包括矩估計(jì)法和廣義矩估計(jì)法。矩估計(jì)法（MME）旨在用樣本矩代替相應(yīng)總體矩并反解得到參數(shù)估計(jì)量，需要矩估計(jì)方程和待估參數(shù)個數(shù)相同，方可正好識別待估參數(shù)。當(dāng)估計(jì)方程個數(shù)多于參數(shù)個數(shù)或?yàn)楦_估計(jì)總體參數(shù)而選用更多樣本矩時，通常采用廣義矩估計(jì)法（GMM），尋找使樣本矩與總體矩離差平方和最小的參數(shù)估計(jì)量。

最大似然法最早是由德國數(shù)學(xué)家Gauss在1821年針對正態(tài)分布提出的，而Fisher在1922年再次提出這種想法并證明了它的一些性質(zhì)而使其得到廣泛的應(yīng)用。最大似然法以最大似然原理為思想基礎(chǔ)，它認(rèn)為，在隨機(jī)抽取出n組樣本觀測值后，最合理的參數(shù)估計(jì)量應(yīng)該是能使抽取這n組樣本觀測值的概率最大的估計(jì)量。最大似然類估計(jì)方法一般只包含最大似然估計(jì)法（ML），它能全面反映最大似然思想。

針對線性回歸模型Y=Xβ+U，最小二乘類估計(jì)量的求解，本質(zhì)上是一個求樣本觀測值與估計(jì)值殘差平方和最小的極值問題，矩類估計(jì)法利用總體矩對未知參數(shù)的反解以及樣本矩對總體矩的替代求得估計(jì)量，最大似然估計(jì)量則是使似然函數(shù)達(dá)到最大的估計(jì)量。表1對三大類參數(shù)估計(jì)方法估計(jì)量結(jié)果進(jìn)行了匯總。

表1 三大類參數(shù)估計(jì)方法的估計(jì)量

1.2 三大類估計(jì)方法的特點(diǎn)比較

1.2.1 三大類估計(jì)方法的特點(diǎn)總結(jié)

最小二乘法、矩法和最大似然法因設(shè)計(jì)原理迥異而具有不同的特點(diǎn)，每一大類估計(jì)方法的若干子方法也在估計(jì)條件、估計(jì)結(jié)果等方面存在較大差異。本文從方法的應(yīng)用背景、對總體分布要求、對樣本量要求、模型滿足相應(yīng)條件下估計(jì)量性質(zhì)、方法靈活性、復(fù)雜性等方面著手，比較并總結(jié)不同方法的特點(diǎn)。表2是對三大類參數(shù)估計(jì)方法特點(diǎn)的匯總。

表2 三大類參數(shù)估計(jì)方法的特點(diǎn)

1.2.2 “類之內(nèi)”方法的特點(diǎn)比較

（1）最小二乘類估計(jì)方法特點(diǎn)比較

①假設(shè)條件不同，使用的方法就不同

五種最小二乘估計(jì)法的原理是一樣的，但在不同假設(shè)條件下，會有不同的使用。當(dāng)回歸模型非常理想、滿足經(jīng)典假定時，OLS是最佳方法。當(dāng)存在誤差項(xiàng)異方差、自相關(guān)、解釋變量內(nèi)生、嚴(yán)重多重共線性等偏誤時，應(yīng)相應(yīng)使用WLS、GLS、2SLS、RR方法。

②從過程上講，OLS是其他四種方法的一部分；從結(jié)果來看，OLS是這四種方法的特例

OLS不僅是WLS、GLS、2SLS和RR的思想源頭，更是這些方法求解過程的一部分。OLS作為WLS、GLS、2SLS、RR的基礎(chǔ)，必然存在一種推廣和特例的關(guān)系，從估計(jì)量結(jié)果來看，也印證了這一點(diǎn)。當(dāng)權(quán)矩陣W=I時，WLSE退化為OLSE；當(dāng)誤差項(xiàng)的協(xié)方差矩陣分別為Ω=W-1與Ω=I時，GLSE退化為WLSE與OLSE；當(dāng)工具變量Z等于原內(nèi)生解釋變量Xj時，2SLSE退化為OLSE；當(dāng)嶺參數(shù)k=0時，RRE退化為OLSE。

③在各自假設(shè)條件下，OLSE、WLSE、GLSE是BLUE，2SLSE有偏但具有一致性，RRE有偏但比OLSE更有效

由高斯—馬爾可夫定理可知，模型滿足經(jīng)典假定時，OLSE是BLUE。WLSE和GLSE都是OLSE的等價推導(dǎo)，因此，誤差項(xiàng)存在異方差和自相關(guān)時，WLSE和GLSE具有BLUE性質(zhì)。2SLS法選取了外生工具變量替代原有解釋變量、嶺回歸估計(jì)法直接改變了OLSE的形式，其估計(jì)量也喪失了無偏性。但可以證明，在大樣本條件下：2SLSE依概率收斂于回歸系數(shù)，具有一致性；而嶺參數(shù)選擇合適時，RRE比OLSE的均方誤差要小、更有效。

④2SLS、RR要求樣本量足夠大，OLS、WLS、GLS對樣本量無要求

OLSE、WLSE、GLSE具有無偏性，因此OLS、WLS、GLS三種方法對樣本容量大小沒有要求。2SLSE和RRE是有偏的，只有在大樣本條件下才能體現(xiàn)出其一致或有效的優(yōu)良性質(zhì)，所以，在使用2SLS和RR方法時，要保證樣本容量足夠大。

（2）矩類估計(jì)方法特點(diǎn)比較

①M(fèi)ME和GMM是同一體系的不同方面

MME和GMM本質(zhì)上都是用樣本矩對總體矩的代替，當(dāng)樣本矩的個數(shù)等于未知參數(shù)的個數(shù)時，需要使用MME，當(dāng)樣本矩的個數(shù)大于未知參數(shù)的個數(shù)時，GMM就體現(xiàn)出獨(dú)特性和優(yōu)越性了。因此，MME和GMM是在矩法體系下的兩個不同方面。

②MME和GMM的相同點(diǎn)

MME和GMM的設(shè)計(jì)原理相同，對總體分布與樣本容量的要求也相同。就估計(jì)量性質(zhì)而言，MME和GMME都是弱假設(shè)條件下的無偏一致估計(jì)量。在不知道總體分布的假設(shè)條件下，MME和GMME具有無偏性和一致性。同時，MME和GMM兩種方法原理簡單，理解起來較容易，其計(jì)算過程主要是反解和求極值，求解并不太復(fù)雜，具有較強(qiáng)的可實(shí)施性。

③GMM是MME的深化和改進(jìn)

首先，GMM的精確程度高于MME。樣本矩?cái)?shù)量越多，樣本的信息量就越大，GMM所利用的樣本信息多于MME，其估計(jì)精度也更高。其次，GMM的靈活程度高于MME。MME對各項(xiàng)樣本矩的地位一視同仁，而忽視了不同矩條件具有不同方差的特點(diǎn)；GMM則考慮了這一因素，通過權(quán)矩陣的設(shè)置，靈活調(diào)配不同矩條件的權(quán)重。最后，矩估計(jì)法是廣義矩估計(jì)法的一個特例，廣義矩估計(jì)量在樣本矩個數(shù)等于未知參數(shù)個數(shù)、且權(quán)矩陣設(shè)為單位矩陣時退化為矩估計(jì)量。

1.2.3 “類之間”方法的特點(diǎn)比較

①最小二乘法、矩法和最大似然法對總體分布、樣本容量的要求不同

最小二乘法對總體分布和樣本容量的要求較松。OLS、WLS、GLS、2SLS以及RR并不要求知曉總體分布的具體形式，只有2SLS和RR需要保證樣本容量足夠大。矩法和最大似然法一般被用于大樣本情況下模型參數(shù)的估計(jì)，它們在大樣本條件下顯示出優(yōu)良的估計(jì)性質(zhì)。使用最大似然分布的前提是已知總體變量的具體分布，而分布的設(shè)定難免有人為的因素。矩法不需要對變量的分布進(jìn)行假定，它只需要找到一些矩條件，而不是整個分布密度函數(shù)。因此，在大樣本下，矩法的估計(jì)結(jié)果總是不會偏離很遠(yuǎn)。當(dāng)然，矩法對總體分布的要求是以犧牲樣本信息量為代價的，MME和GMM有時不能對全部樣本信息進(jìn)行有效利用。

②最小二乘估計(jì)量、矩估計(jì)量和最大似然估計(jì)量的性質(zhì)差異

在各自的適用條件下，每種方法都能發(fā)揮其特點(diǎn)，得到合適的估計(jì)量。不同的條件下，無法將每一類估計(jì)量作出直接比較。本文試圖探討這些參數(shù)估計(jì)量在滿足各自估計(jì)方法適用條件時的性質(zhì)差異，以完成縱向?qū)Ρ取?/p>

OLSE、WLSE、GLSE以及MME、GMME、MLE都具有無偏性，這意味著這六類參數(shù)估計(jì)量都是緊緊圍繞總體參數(shù)而進(jìn)行估計(jì)的。2SLS和RRE是有偏的，它們必須從其他性質(zhì)上對有偏性作出彌補(bǔ)。

一致性和有效性也是評判估計(jì)量是否準(zhǔn)確的重要性質(zhì)。在大樣本條件下，OLSE、WLSE、GLSE、2SLSE、MME、GMME、MLE都能保證一致趨于總體參數(shù)，OLSE、WLSE、GLSE、RRE、GMME、MLE都被證明具有最有效性。它們是各自適用條件下的優(yōu)先考慮。

OLS、WLS、GLS可以適用于小樣本數(shù)據(jù)，它們在小樣本條件下也具有很好的估計(jì)性質(zhì)。滿足經(jīng)典假定下的OLSE、存在異方差下的WLSE、同時存在異方差和自相關(guān)下的GLSE，都是最佳線性無偏估計(jì)量。

③最小二乘法和最大似然法是廣義矩估計(jì)法的特例

廣義矩估計(jì)法是一種高度概括的方法，其他很多參數(shù)估計(jì)方法都可以看作它的特例。最小二乘法和最大似然法，以及矩估計(jì)法就是GMM的特例，這是因?yàn)椋?/p>

當(dāng)GMM的權(quán)矩陣為單位矩陣時，GMM即為OLS；

用對數(shù)似然函數(shù)導(dǎo)數(shù)等于0的條件作為矩條件時，GMM即為ML；

與MME相比，GMM的使用場合是估計(jì)方程個數(shù)大于未知參數(shù)個數(shù)，當(dāng)兩者相等時，即退化為MME；

WLS、GLS、2SLS、RR都是OLS的推廣，因而也都是GMM的特例。

從適用范圍來看，也可以說明最小二乘法和最大似然法是廣義矩估計(jì)法的特例。最小二乘法主要適用于回歸擬合與函數(shù)匹配的參數(shù)估計(jì)問題，這屬于矩法估計(jì)的范圍之一；最大似然法要求總體分布已知，而矩法則弱化了這一要求，前者的適用范圍包含于后者。

1.3 三大類估計(jì)方法的適用條件總結(jié)

參數(shù)估計(jì)方法的好壞很大程度上取決于待解決的問題是否滿足方法的適用條件。選擇合適的估計(jì)方法會降低估計(jì)難度，改善估計(jì)量性質(zhì)，提高估計(jì)精度。因此，有必要對三大類參數(shù)估計(jì)方法的適用條件進(jìn)行比較研究。

確定估計(jì)方法適用條件的準(zhǔn)則一般有三點(diǎn)：是否需要知道總體分布、是否對樣本量大小有要求、滿足什么假設(shè)條件下估計(jì)量性質(zhì)最好。本文結(jié)合最小二乘法、矩法、最大似然法這三大類參數(shù)估計(jì)方法的原理、實(shí)施過程以及特點(diǎn)，對其適用條件作出描述和比較。表3是對三大類參數(shù)估計(jì)方法適用條件的匯總。

表3 三大類參數(shù)估計(jì)方法的適用條件

2 基于具體經(jīng)濟(jì)金融問題的實(shí)證比較

2.1 模型的建立與估計(jì)

為論證上述比較研究的實(shí)效性，本文立足具體經(jīng)濟(jì)金融問題，構(gòu)建多元回歸模型，利用各種參數(shù)估計(jì)方法估計(jì)模型的回歸系數(shù)，并比較不同估計(jì)值的估計(jì)精度。

2.1.1 經(jīng)濟(jì)理論闡述及模型選取

2006年，吳敬璉在《經(jīng)濟(jì)增長模式與技術(shù)進(jìn)步》一文中指出，我國經(jīng)濟(jì)增長的問題主要是增長模式的問題，表現(xiàn)為依靠大量的能源消費(fèi)來實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)增長。宏觀經(jīng)濟(jì)理論認(rèn)為消費(fèi)隨生產(chǎn)、收入、通貨膨脹、進(jìn)出口等因素變化，而GDP、財(cái)政收入、貨幣供應(yīng)量、貨物進(jìn)出口總額四個變量能很好地反映生產(chǎn)、收入、通貨膨脹、進(jìn)出口這四個因素。因此，本文實(shí)證模型的被解釋變量選取能源消費(fèi)總量，解釋變量選取GDP、財(cái)政收入、貨幣供應(yīng)量和貨物進(jìn)出口總額。

記我國能源消費(fèi)總量為變量Y，GDP為變量X1，財(cái)政收入為變量X2，貨幣供應(yīng)量為變量X3，貨物進(jìn)出口總額為變量X4。變量數(shù)據(jù)來源于《中國統(tǒng)計(jì)年鑒》，采用的樣本是1990-2013年度能源消費(fèi)總量、GDP、財(cái)政收入、貨幣供應(yīng)量、貨物進(jìn)出口總額等五個變量的數(shù)據(jù)。樣本取自1990年是出于數(shù)據(jù)選取可行性的考慮，中國統(tǒng)計(jì)年鑒擁有這五個變量的完整數(shù)據(jù)僅從1990年開始。樣本量為24個，屬于中等樣本，可能會對某些估計(jì)量的性質(zhì)存在一定的影響，但無礙于對估計(jì)精度差異的分析。根據(jù)所得數(shù)據(jù)作出各變量數(shù)據(jù)的趨勢圖：

圖1 1990-2013年能源消費(fèi)總量、GDP、財(cái)政收入、貨幣供應(yīng)量、貨物進(jìn)出口總額趨勢圖

表4 回歸模型系數(shù)的估計(jì)值

從圖1可以看出，這五個變量基本趨勢都是逐年增長的，其中貨幣供應(yīng)量的增長幅度最大，GDP的增長幅度次之，能源消費(fèi)總量、貨物進(jìn)出口總額和財(cái)政收入基本呈現(xiàn)直線型增長。圖中趨勢線表明：GDP、財(cái)政收入、貨幣供應(yīng)量、貨物進(jìn)出口總額這四個解釋變量的回歸系數(shù)符號均為正。

因此，可建立線性回歸模型：Yi=β0+β1Xi1+β2Xi2+β3Xi3+β4Xi4+ui，i=1，2，…，24，分別使用OLS、WLS、GLS、2SLS、RR、MME、GMM、ML，估計(jì)回歸系數(shù)，得到變量之間的關(guān)系。

需要說明的是：對于財(cái)政收入這個內(nèi)生性很強(qiáng)的解釋變量（其與誤差項(xiàng)的相關(guān)系數(shù)達(dá)到0.99），選取城鎮(zhèn)居民人均可支配收入（與財(cái)政收入相關(guān)系數(shù)達(dá)0.99，與誤差項(xiàng)相關(guān)系數(shù)僅為0.36）作為工具變量，使用兩階段最小二乘法估計(jì)參數(shù)。

2.1.2 估計(jì)結(jié)果

使用EViews7.0軟件和Stata12.0軟件對回歸系數(shù)作估計(jì)，求得不同參數(shù)估計(jì)方法下的估計(jì)值，其結(jié)果見表4。

從估計(jì)結(jié)果來看，OLSE、WLSE、GLSE、MME、GMM以及MLE相差不大，它們都圍繞在參數(shù)真實(shí)值附近浮動，是總體參數(shù)的無偏估計(jì)。解釋變量中，貨幣供應(yīng)量對能源消費(fèi)總量的影響最小，貨幣供應(yīng)量每增加一個單位，能源消費(fèi)總量增加約0.135-0.141個單位；財(cái)政收入對能源消費(fèi)總量的影響最為明顯，且是負(fù)影響，財(cái)政收入增加一個單位，能源消費(fèi)總量減少至少2.724個單位。而從圖1各變量散點(diǎn)圖以及變量之間的相關(guān)系數(shù)來看，財(cái)政收入與能源消費(fèi)總量之間應(yīng)該是正向影響，這可能是由于變量之間存在嚴(yán)重多重共線性導(dǎo)致的回歸系數(shù)符號與實(shí)際意義不符。

2SLSE和RRE結(jié)果與前三種估計(jì)方法結(jié)果有明顯差別，原因在于它們是回歸系數(shù)的有偏估計(jì)。2SLS和RR所得結(jié)果依然說明了貨幣供應(yīng)量對能源消費(fèi)總量的影響最小，財(cái)政收入對能源消費(fèi)總量的影響最大。RR下財(cái)政收入變量的回歸系數(shù)為正，嶺回歸估計(jì)對多重共線性的修正具有很好的效果。

此外，在5%的顯著性水平下，財(cái)政收入變量和貨物進(jìn)出口總額變量在回歸模型中嚴(yán)格顯著，GDP變量也基本達(dá)到顯著水平，但貨幣供應(yīng)量變量在顯著性方面存在一些不足。

2.1.3 模型假設(shè)條件檢驗(yàn)

估計(jì)方法的優(yōu)劣取決于該方法是否適用于特定模型的條件。選用一種估計(jì)方法，首先要看實(shí)際問題符合什么假設(shè)條件，不同的假設(shè)條件需要采用不同的估計(jì)方法。文章借助EViews7.0軟件對回歸模型的經(jīng)典假定條件作出檢驗(yàn)。

White檢驗(yàn)結(jié)果表明模型存在微弱的異方差偏誤，拉格朗日乘數(shù)檢驗(yàn)結(jié)果表明模型不存在自相關(guān)偏誤，財(cái)政收入變量與隨機(jī)誤差項(xiàng)之間相關(guān)系數(shù)達(dá)到0.99，說明模型存在解釋變量內(nèi)生性偏誤，而方差擴(kuò)大因子計(jì)算結(jié)果則顯示模型存在嚴(yán)重的多重共線性。

因此，建立的回歸模型是一個存在微弱異方差、無自相關(guān)、解釋變量具有內(nèi)生性和嚴(yán)重多重共線性的回歸模型。理論上，三大類參數(shù)估計(jì)方法對這一模型系數(shù)的估計(jì)精度具有較大差異。

2.2 估計(jì)精度比較

2.2.1 估計(jì)精度的度量及其結(jié)果

計(jì)算估計(jì)精度一般有兩種思路。第一種思路是將估計(jì)值與樣本實(shí)際值作差，構(gòu)造均方誤差MSE、絕對誤差MAE等指標(biāo)，以估計(jì)值離實(shí)際值最近為標(biāo)準(zhǔn)判斷估計(jì)精度高低。但這種方法在這里存在一些問題。因?yàn)镺LS原理就是殘差平方和最小，與MSE、MAE等指標(biāo)的本質(zhì)相同，無法作出準(zhǔn)確的精度比較。第二種思路借用區(qū)間估計(jì)的思想，以估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)誤作為判斷估計(jì)精度高低的依據(jù)，標(biāo)準(zhǔn)誤越小，估計(jì)值的精度越大。本文選用第二種思路。

本文計(jì)算出不同參數(shù)估計(jì)方法下回歸模型系數(shù)估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)誤，結(jié)果見表5。

2.2.2 “類之內(nèi)”方法的估計(jì)精度比較

（1）最小二乘類估計(jì)方法精度比較

由表5可得：RR的估計(jì)精度最高，2SLS的精度次之。WLS和GLS的精度大致相當(dāng)，要低于2SLS，而稍稍高于OLS。

因此，對存在微弱異方差、無自相關(guān)、解釋變量具有內(nèi)生性和嚴(yán)重多重共線性的回歸模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，應(yīng)優(yōu)先選用RR和2SLS。

實(shí)證結(jié)論驗(yàn)證了最小二乘類估計(jì)方法特點(diǎn)及適用條件比較研究的理論。依據(jù)已建立的理論，在模型條件發(fā)生改變時，不同方法估計(jì)精度的高低也會相應(yīng)變化。

對于不存在解釋變量內(nèi)生性偏誤和嚴(yán)重多重共線性偏誤的回歸模型，可以推斷出：OLS、WLS、GLS的估計(jì)精度較高，不低于2SLS和RR的精度。

對于不存在解釋變量內(nèi)生性偏誤和嚴(yán)重多重共線性偏誤的回歸模型，若模型誤差項(xiàng)存在自相關(guān)和異方差，則能夠推斷出：GLS的精度最高，WLS的精度次之，OLS的精度低于前兩者，不低于2SLS和RR的精度。

（2）矩類估計(jì)方法精度比較

通過對表5結(jié)果的比較可得：對于存在微弱異方差、無自相關(guān)、解釋變量具有內(nèi)生性和嚴(yán)重多重共線性偏誤的回歸模型，GMM的精度較MME更高。這一精度比較的結(jié)論可由MME和GMM的構(gòu)造與求解過程加以解釋：GMM比MME利用了更多的樣本信息，前者對總體參數(shù)的估計(jì)精度更高。對于滿足其他假設(shè)條件的回歸模型，GMM精度高于MME精度的結(jié)論一般也是成立的。

2.2.3 “類之間”方法的估計(jì)精度比較

在模型存在微弱異方差、無自相關(guān)、解釋變量具有內(nèi)生性和嚴(yán)重多重共線性的情況下，觀察表4和表5，能夠發(fā)現(xiàn)以下結(jié)論：

OLS、WLS、GLS、MME、GMM、ML這六種方法的估計(jì)值結(jié)果相差不大，而2SLS和RR的估計(jì)值結(jié)果與前六種方法有較大差別。這是因?yàn)椋琌LSE、WLSE、GLSE、MME、GMME、MLE都具有無偏性，它們的估計(jì)值基本圍繞在真實(shí)值附近；2SLSE和RRE因?yàn)闃?gòu)造過程中的不等價變換，喪失其無偏性，所得估計(jì)結(jié)果與真實(shí)值存在一定差距。

從各大類估計(jì)方法中精度最高的子方法比較的角度來看，RR精度最高，GMM精度次之，ML精度最低。這是因?yàn)?，最小二乘法是為回歸擬合問題而設(shè)計(jì)，RR更是解決了嚴(yán)重多重共線性問題，因此其估計(jì)精度最高；GMM不需要知道總體分布情況，所得到的結(jié)果一般不會偏離總體很遠(yuǎn)；ML需要知道總體具體分布才能進(jìn)行有效的參數(shù)估計(jì)，容易出現(xiàn)較大偏誤。

從OLS、MME、ML這三種基本方法比較的角度來看，OLS的估計(jì)精度最高，MME精度次之，ML精度最低。

可見，在研究經(jīng)濟(jì)金融問題中，面對存在微弱異方差、無自相關(guān)、解釋變量具有內(nèi)生性和嚴(yán)重多重共線性的回歸模型，最小二乘法是最合適的參數(shù)估計(jì)方法，矩法稍劣于最小二乘法，而一般不使用最大似然法。

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