基于組合指數(shù)型流變模型的堆石壩流變分析

黃耀英，包騰飛，田 斌，鄭 宏

（1.三峽大學(xué) 水利與環(huán)境學(xué)院，湖北 宜昌 443002；2.河海大學(xué) 水利水電學(xué)院，江蘇 南京 210098；3.中國(guó)科學(xué)院武漢巖土力學(xué)研究所 巖土力學(xué)與工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢 430071）

1 引 言

堆石壩實(shí)測(cè)資料表明，堆石壩的變形大都在建成后若干年才逐漸沉降穩(wěn)定，因此，一般選用隨時(shí)間衰減的流變模型來(lái)反映堆石料的流變特性。依據(jù)堆石料的流變?cè)囼?yàn)，沈珠江等[1]對(duì)西北口墊層料進(jìn)行了流變?cè)囼?yàn)，提出了3 參數(shù)指數(shù)流變模型，由于該模型具有一定的物理意義，且模型簡(jiǎn)單，易于進(jìn)行數(shù)值分析，在工程界得到了廣泛應(yīng)用。郭興文等[2]對(duì)高圍壓下3 參數(shù)指數(shù)流變模型中的最終體積流變量進(jìn)行了修正。米占寬等[3]根據(jù)公伯峽主堆石料室內(nèi)流變?cè)囼?yàn)資料，采用6 參數(shù)指數(shù)流變模型模擬堆石料的流變規(guī)律。李國(guó)英等[4]，方維鳳[5]采用大型三軸儀對(duì)公伯峽面板堆石壩壩內(nèi)3 種主要堆石料的流變特性進(jìn)行了試驗(yàn)研究，采用7 參數(shù)指數(shù)流變模型模擬堆石料的流變規(guī)律；程展林等[6]針對(duì)水布埡面板堆石壩主堆石料茅口組灰?guī)r和次堆石料棲霞組灰?guī)r，采用應(yīng)力式大型三軸儀進(jìn)行了系統(tǒng)試驗(yàn)，提出了9 參數(shù)冪函數(shù)流變模型。周偉等[7]在9 參數(shù)堆石流變模型的基礎(chǔ)上提出了適用于高圍壓下的冪函數(shù)流變本構(gòu)模型。此外，沈鳳生等[8]采用一個(gè)三元件黏彈性模型（Merchant 模型）考慮面板堆石壩的流變變形。蔡新等[9]采用Maxwell 模型和H-K 模型對(duì)梅溪面板堆石壩進(jìn)行了計(jì)算分析。

謝臘德、庫(kù)克等[10]對(duì)碾壓堆石面板壩開始蓄水后壩頂沉降量進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析，他們認(rèn)為，碾壓堆石面板壩壩頂沉降小、收斂快，折算成100 m 高堆石壩的收斂率，在蓄水5 a 后，碾壓面板壩約為3.5 mm/a，10 a后約為1.5 mm/a，30 a后約為0.6 mm/a。由于無(wú)論是3 參數(shù)、6 參數(shù)和7 參數(shù)指數(shù)流變模型，還是Merchant 模型或H-K 模型，均僅有一個(gè)指數(shù)式進(jìn)行流變收斂率調(diào)節(jié)，難以同時(shí)合理地反映蓄水初期和蓄水后期的沉降變化規(guī)律；雖然9 參數(shù)冪函數(shù)流變模型可以較好地反映堆石壩的沉降變化規(guī)律，但數(shù)學(xué)運(yùn)算較復(fù)雜。目前，室內(nèi)堆石料流變?cè)囼?yàn)一般試驗(yàn)歷時(shí)1 個(gè)月左右，采用一個(gè)指數(shù)式進(jìn)行流變收斂率調(diào)節(jié)的缺點(diǎn)不明顯。由于不能合理反映堆石壩的沉降變化規(guī)律，導(dǎo)致不能準(zhǔn)確預(yù)測(cè)后期流變引起的面板頂部脫空及防浪墻底部架空等情況。

混凝土熱學(xué)力學(xué)性能是混凝土齡期的函數(shù)，目前有指數(shù)式、雙曲線式和雙指數(shù)式等表達(dá)式，指數(shù)式便于進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算，但與試驗(yàn)資料吻合得不好，雙曲線式和雙指數(shù)式與試驗(yàn)資料吻合得較好，但不便于進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算，針對(duì)這些問題，朱伯芳[11]提出了既與試驗(yàn)資料吻合得較好，又便于數(shù)學(xué)運(yùn)算的組合指數(shù)式。由于堆石壩的流變變化規(guī)律與混凝土熱學(xué)力學(xué)性能變化規(guī)律具有一定的相似性，為此，本文從唯象角度建議一種組合指數(shù)型流變模型來(lái)反映堆石壩流變變形規(guī)律。

2 堆石壩流變分析

2.1 堆石壩的組合指數(shù)型流變模型

由于3 參數(shù)、6 參數(shù)和7 參數(shù)指數(shù)流變模型等均僅有一個(gè)指數(shù)式進(jìn)行流變收斂率調(diào)節(jié)，難以同時(shí)合理地反映蓄水初期和蓄水后期的沉降變化規(guī)律，為此，采用組合指數(shù)式將堆石壩流變變形規(guī)律表示如下

相應(yīng)的應(yīng)變速率為

式中：ε為隨時(shí)間增長(zhǎng)的應(yīng)變；t為時(shí)間；εfi和 ci均為參數(shù)；n為組合項(xiàng)數(shù)；e-cit為以常數(shù)e為底的指數(shù)函數(shù)；相當(dāng)于t→∞時(shí)的最終流變量。

由實(shí)測(cè)資料表明，堆石壩的變形大都在建成若干年后逐漸沉降穩(wěn)定。經(jīng)驗(yàn)表明[11]，組合指數(shù)式右邊只需取2 項(xiàng)，即可較好地反映堆石壩流變變形規(guī)律。以下對(duì)2 個(gè)指數(shù)式累加的組合指數(shù)型流變模型進(jìn)行闡述。

最終流變量εf1+εf2與應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)。對(duì)于堆石料而言，其體積流變和剪切流變有不同的規(guī)律。參照沈珠江等[1]試驗(yàn)研究結(jié)果，對(duì)體積與剪切流變分別采用如下關(guān)系式：

式中：b1、b2、d1、d2為參數(shù)；εvf1、εvf2分別為第1項(xiàng)和第2 項(xiàng)最終體積流變量；εsf1、εsf2分別為第1項(xiàng)和第2 項(xiàng)最終剪切流變量；b1+b2相當(dāng)于σ3=pa時(shí)最終體積流變量；d1+d2為應(yīng)力水平S=0.5時(shí)的最終剪切流變量，破壞時(shí)S=1.0，εsf1→∞，εsf2→∞。計(jì)算時(shí)如S ≥ 1.0，可限定S=0.95。

值得注意的是，對(duì)于高圍壓條件下，可對(duì)式（3）和式（4）的εvf2和 εsf2進(jìn)行修正，以反映高圍壓下非線性增大。

假定堆石料的體積流變與剪切流變都可用式（2）描述，由式（2）得體積變形和剪切變形速率為

顯然，當(dāng) c1=c2=c時(shí)，式（5）、（6）可以退化為3 參數(shù)指數(shù)型流變模型。

假設(shè)塑性勢(shì)函數(shù)為Mises 屈服函數(shù)，采用Prandtl-Reuss 流動(dòng)法則，應(yīng)變張量的流變速率可以寫為[12]

2.2 組合指數(shù)型流變?cè)隽糠治?/h3>

面板堆石壩的施工是分層填筑，蓄水過程是逐漸完成的。因此，在面板堆石壩的不同施工及蓄水階段，不同單元的流變時(shí)間不同。采用統(tǒng)一時(shí)間，將使時(shí)間的記錄過程復(fù)雜化，為此，對(duì)時(shí)間的計(jì)算技術(shù)進(jìn)行改造，采用相對(duì)時(shí)間[1]進(jìn)行流變分析。

將式（5）、（6）相應(yīng)改寫為

式中：εvt1、εvt2、εst1和εst2分別為t 時(shí)刻2 項(xiàng)指數(shù)式已累積的體積和剪切變形。其可以用下式計(jì)算：

相應(yīng) Δt 時(shí)段內(nèi)的體積和剪切流變應(yīng)變?cè)隽繛?/p>

應(yīng)變分量的流變?cè)隽靠梢詫憺閇12]

2.3 堆石體組合指數(shù)型流變分析步驟

采用有限單元法進(jìn)行堆石體流變分析的計(jì)算步驟如下[1-2]

Step1：根據(jù)施工及蓄水過程，采用中點(diǎn)增量法對(duì)相應(yīng)荷載級(jí)先采用鄧肯E-B 模型計(jì)算瞬時(shí)變形，得到本級(jí)末的單元應(yīng)力及應(yīng)力水平。

Step2：根據(jù)施工進(jìn)度安排，確定該級(jí)加荷所經(jīng)歷的時(shí)間Ti，將該段時(shí)間分為若干時(shí)段Δt 。

Step3：假定該 Δt 時(shí)段內(nèi)應(yīng)力不變，按式（3）、（4）計(jì)算對(duì)應(yīng)的剪切流變 εsf和體積流變 εvf。用式（9）、（10）計(jì)算應(yīng)變速率，用式（11）、（12）計(jì)算累積流變量，用式（16）得到相應(yīng)流變?cè)隽俊?/p>

Step4：按初應(yīng)變法進(jìn)行有限元分析，得到相應(yīng)的位移增量、應(yīng)力增量，累積得到總位移、總應(yīng)力。

Step5：對(duì)加荷時(shí)段時(shí)間進(jìn)行判斷，如該加荷級(jí)時(shí)間結(jié)束，則回到Step1 循環(huán)，否則回到Step3 循環(huán)。

本文采用Visual Fortran編制了面板堆石壩流變分析程序。

3 實(shí)例分析

華中地區(qū)某面板堆石壩，設(shè)計(jì)最大壩高為114 m，頂寬為10 m，壩頂長(zhǎng)為328 m，面板堆石壩上、下游壩坡均為1:1.4，上游設(shè)鋼筋混凝土防滲面板，厚度為30～68 cm，其后分別為墊層、過渡層、新鮮巖石區(qū)（上游堆石區(qū)）、弱風(fēng)化巖石區(qū)（下游堆石區(qū)），堆石料以灰?guī)r料為主。本文采用組合指數(shù)型流變模型分析該面板堆石壩的流變變形特性。

3.1 三維非線性有限元計(jì)算模型

（1）有限元計(jì)算模型

圖1 面板堆石壩三維整體有限元模型(壩體部分)Fig.1 Three-dimensional finite element model of concrete faced rockfill dam(dam section)

對(duì)該面板堆石壩建立三維整體有限元模型，如圖1 所示，壩體共剖分7 817 個(gè)單元，8 556 個(gè)節(jié)點(diǎn)；其中，主堆石體單元4 003 個(gè)，次堆石體單元1 254個(gè)，面板單元604 個(gè)，接觸面單元和墊層單元1 956個(gè)。

（2）鄧肯E-B 模型參數(shù)

本文采用工程上使用較廣泛的鄧肯E-B 模型分析該堆石體應(yīng)力-應(yīng)變非線性關(guān)系。該堆石壩以灰?guī)r料為主，主堆石和次堆石的鄧肯E-B 參數(shù)采用工程類比法的反演參數(shù)，墊層料和過渡料采用室內(nèi)試驗(yàn)值，見表1。表中，0φ為圍壓為一個(gè)大氣壓時(shí)的內(nèi)摩擦角，φΔ為隨壓力變化的內(nèi)摩擦角，Rf為破壞比，K為切線模量系數(shù)，n為切線模量指數(shù)，Kb為體積模量系數(shù)，m為體積模量指數(shù)。

表1 鄧肯E-B 模型計(jì)算參數(shù)表Table 1 Calculating parameters of Duncan E-B model

（3）組合指數(shù)型流變模型計(jì)算參數(shù)

由于沒有試驗(yàn)流變參數(shù)和足夠的現(xiàn)場(chǎng)監(jiān)測(cè)位移，針對(duì)該堆石壩以灰?guī)r料為主，首先參考文獻(xiàn) [1-2]的3 參數(shù)指數(shù)流變模型確定堆石料的流變參數(shù)初始值；由于文獻(xiàn)[1]基于實(shí)測(cè)位移反饋流變參數(shù)時(shí)，三維流變應(yīng)變?cè)隽坑?jì)算式為，對(duì)比式（15）可見，剪應(yīng)力對(duì)應(yīng)的流變應(yīng)變?cè)隽肯嗖? 倍，因此，相對(duì)文獻(xiàn)[1-2]給出的流變參數(shù)值，流變參數(shù)d 除以了3；然后采用工程類比法反演的主堆石流變參數(shù)為b=0.000 4、c=0.002 6、d=0.001 5，次堆石的流變參數(shù)為b=0.000 6、c=0.003 6、d=0.00 2。

由于3 參數(shù)指數(shù)流變模型難以同時(shí)合理地反映蓄水初期和蓄水后期的沉降變化規(guī)律，為此，采用組合指數(shù)型流變模型進(jìn)行堆石體的流變分析。經(jīng)試算，b1和d1分別取0.6 倍3 參數(shù)指數(shù)流變模型的b值，b2和d2分別取0.4 倍3 參數(shù)指數(shù)流變模型的d值；c1取3 參數(shù)指數(shù)流變模型的c 值，敏感性分析c2取β 倍3 參數(shù)指數(shù)流變模型的c 值，以對(duì)比不同c2下堆石壩的流變特性，其中，β 分別取1.0、0.8、0.5、0.2，見表2。由式（5）、（6）可見，當(dāng) c2=c1時(shí)，組合指數(shù)流變模型退化為3 參數(shù)指數(shù)流變模型。

表2 三參數(shù)流變模型計(jì)算參數(shù)表Table 2 Calculating parameters of rheological model of 3 parameters

（4）計(jì)算加荷分級(jí)

根據(jù)該面板堆石壩設(shè)計(jì)施工關(guān)鍵線路并略做調(diào)整，分級(jí)加荷次序示意見表3 和圖2，蓄水至正常高水位后，再仿真計(jì)算近8 a。

表3 分級(jí)施工進(jìn)度表Table 3 Stage construction schedule

圖2 分級(jí)加荷示意Fig.2 Stage construction loading sketch

3.2 堆石壩流變變形特性對(duì)比

當(dāng) c2=c1時(shí)，采用組合指數(shù)型流變模型計(jì)算的面板堆石壩在竣工、蓄水至正常高水位以及運(yùn)行3 a后堆石體的變形如圖3 所示，圖中位移等值線單位為m，蓄水至正常高水位后，不同 c2取值下壩頂沉降增量過程線和EL277典型測(cè)點(diǎn)沉降增量過程線如圖4 所示。

圖3 典型時(shí)刻堆石體變形(單位:m)Fig.3 Deformations of rockfill dam in typical time

圖4 蓄水至正常高水位后不同c2取值下增量沉降過程線Fig.4 Increment sedimentation process line in different values of c2after water storage to normal high water level

由計(jì)算可見：

（1）當(dāng) c2=c1時(shí)，該面板堆石壩竣工時(shí)，堆石體最大沉降為76.01 cm，向上游最大水平向位移為-23.47 cm，蓄水至正常高水位時(shí)，堆石體最大沉降為79.16 cm，向上游最大水平向位移為-13.37 cm，蓄水運(yùn)行3 a 時(shí)，堆石體變形漸趨穩(wěn)定，最大沉降為82.13 cm，向上游最大水平向位移為-12.68 cm。蓄水至正常高水位時(shí)，最大面板撓度為19.103 cm，蓄水運(yùn)行3 a 時(shí)，最大面板撓度增大到20.661 cm。面板最大撓度與堆石壩施工期最大沉降的比值約為0.25，這與Montanez Cartaxo 等的結(jié)論是一致的[10]。

（2）采用組合指數(shù)型流變模型進(jìn)行流變分析時(shí)，該面板堆石壩蓄水至正常高水位后，不同c2取值引起堆石壩的增量沉降和沉降變化率不一樣，例如，c2分別取0.2、0.5、0.8、1.0 倍的c1時(shí)，蓄水運(yùn)行5 a 時(shí)，壩頂沉降速率分別為3.455，1.329，0.442，0.257 mm/a。隨著c2取值的減小，堆石壩需要更長(zhǎng)的流變時(shí)間才能趨于穩(wěn)定。由式（5）、（6）可見，當(dāng) c2=c1時(shí)，組合指數(shù)流變模型退化為3 參數(shù)指數(shù)流變模型，即相對(duì)于一個(gè)指數(shù)式的流變模型而言，采用組合指數(shù)型流變模型可以更好地反映蓄水初期和后期堆石壩的流變變形特性。對(duì)比謝臘德、庫(kù)克等[10]對(duì)碾壓堆石面板壩開始蓄水后壩頂沉降量的統(tǒng)計(jì)分析，當(dāng)c2取0.2 倍的c1時(shí)，在蓄水5 a后，碾壓堆石壩沉降率約為3.5 mm/a。

（3）由圖4 的計(jì)算可見，由于堆石料最終的流變量與應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)，雖然本文采用的組合指數(shù)型流變模型的b1和d1分別取0.6 倍3 參數(shù)指數(shù)流變模型的b 值，b2和d2分別取0.4 倍3 參數(shù)指數(shù)流變模型的d 值，由于增量計(jì)算過程反映了材料的非線性特性，僅調(diào)整c2的取值，但計(jì)算的堆石壩變形不具有線性疊加性。例如，c2分別取0.2、0.5、0.8、1.0倍的c1時(shí)，蓄水運(yùn)行8 a 后，壩頂增量沉降分別為5.840、5.128、4.161、3.697 cm，c2取0.2 倍和0.5倍c1的壩頂增量沉降較c2取1.0 倍c1的壩頂增量沉降大，但c2取1.0 倍c1的壩頂增量沉降過程線漸趨穩(wěn)定，而c2取0.2 倍和0.5 倍的c1的壩頂增量沉降過程線尚未穩(wěn)定。注意到當(dāng) c2=c1時(shí)，組合指數(shù)流變模型退化為3 參數(shù)指數(shù)流變模型，即僅有一個(gè)指數(shù)式流變模型難以同時(shí)合理地反映蓄水初期和后期的沉降變化規(guī)律。

4 結(jié) 論

（1）組合指數(shù)式流變模型由于具有2 個(gè)及以上指數(shù)式協(xié)調(diào)調(diào)整堆石壩的變形和變形變化率，可較好地反映堆石壩流變變形規(guī)律且數(shù)學(xué)運(yùn)算方便。

（2）由于堆石料最終的流變量與應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)，增量計(jì)算過程反映了材料的非線性特性，僅調(diào)整c2的取值，但計(jì)算的堆石壩變形不具有線性疊加性。

（3）組合指數(shù)式流變模型適用于基于實(shí)測(cè)變形進(jìn)行堆石壩流變變形反饋，但組合指數(shù)式流變模型的力學(xué)機(jī)制還有待進(jìn)一步研究。

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