經(jīng)典平差與赫爾默特方差分量估計(jì)法平差的適用性分析

郭軍強(qiáng)　李群科

(鐵道第三勘察設(shè)計(jì)院集團(tuán)有限公司，天津　300251)

The Different on Classical Adjustment and Helmert of Survey Network

GUO Junqiang

LI Qunke

經(jīng)典平差與赫爾默特方差分量估計(jì)法平差的適用性分析

郭軍強(qiáng)李群科

(鐵道第三勘察設(shè)計(jì)院集團(tuán)有限公司，天津300251)

The Different on Classical Adjustment and Helmert of Survey Network

GUO Junqiang

LI Qunke

摘要針對(duì)鐵路工程測(cè)量中的單一附合導(dǎo)線、雙導(dǎo)線網(wǎng)和CPⅢ平面網(wǎng)不同的網(wǎng)形特點(diǎn)，分別采用經(jīng)典平差和赫爾默特方差分量估計(jì)法兩種平差方式對(duì)工程實(shí)例數(shù)據(jù)進(jìn)行平差計(jì)算，對(duì)比其平差后坐標(biāo)成果、精度指標(biāo)等，進(jìn)行理論及適用性分析研究。

關(guān)鍵詞鐵路工程測(cè)量測(cè)量平差方差分量估計(jì)經(jīng)典平差赫爾默特

在鐵路工程平面邊角測(cè)量平差中，選用不同的平差模型和平差定權(quán)方法，會(huì)導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果有一定的差異，只有針對(duì)不同的網(wǎng)形選用合適的平差方法，才能客觀地評(píng)價(jià)測(cè)量精度，得到合理可靠的平差成果。對(duì)于一個(gè)平差問(wèn)題，首先需建立數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型包括函數(shù)模型和隨機(jī)模型兩類。描述觀測(cè)量之間或者觀測(cè)量與未知參數(shù)之間相互關(guān)系的函數(shù)表達(dá)式稱平差函數(shù)模型，描述觀測(cè)誤差的一些隨機(jī)特征稱隨機(jī)模型。數(shù)學(xué)模型經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間的發(fā)展、改進(jìn)，已經(jīng)比較成熟，目前的關(guān)鍵是只有精確得到隨機(jī)模型參數(shù)才能準(zhǔn)確在平差計(jì)算中定權(quán)。隨機(jī)模型的確定有兩種方法：驗(yàn)前方差和驗(yàn)后方差，經(jīng)典平差和赫爾默特方差分量估計(jì)法就是分別基于這兩種計(jì)算方法而建立的。針對(duì)單一附合導(dǎo)線、雙導(dǎo)線網(wǎng)和自由測(cè)站邊角交會(huì)網(wǎng)(CPⅢ網(wǎng))等不同的網(wǎng)形，分別采用經(jīng)典平差和赫爾默特方差分量估計(jì)法兩種方式對(duì)鐵路工程中的實(shí)例數(shù)據(jù)進(jìn)行平差計(jì)算，對(duì)平差后的坐標(biāo)成果、點(diǎn)位中誤差、方向中誤差、距離中誤差等精度指標(biāo)進(jìn)行對(duì)比分析，從理論和實(shí)際計(jì)算數(shù)據(jù)上，對(duì)兩種平差模型的適用性進(jìn)行分析研究。

1平差數(shù)學(xué)模型

1.1　經(jīng)典平差數(shù)學(xué)模型

經(jīng)典平差一般指條件平差、間接平差、附有條件的間接平差、附有未知參數(shù)的條件平差、附有限制條件的間接平差等五種平差模型，附有限制條件的間接平差模型本身就是其余四種模型的概括模型。其數(shù)學(xué)模型為

(1)

(2)

式中，l=L-AX0為誤差方程的常數(shù)項(xiàng)；X0為網(wǎng)中各點(diǎn)的近似坐標(biāo)，X為X0改正數(shù)，X2為網(wǎng)中穩(wěn)定點(diǎn)的近似坐標(biāo)的改正數(shù)。由于經(jīng)典平差視起算點(diǎn)為穩(wěn)定的、不改變的，所以式(2)變?yōu)?/p>

(3)

導(dǎo)線網(wǎng)中各點(diǎn)的近似坐標(biāo)平均數(shù)等于其平差坐標(biāo)平均數(shù)，經(jīng)典平差為滿秩方程，所以其實(shí)際上為以起算點(diǎn)數(shù)據(jù)為基準(zhǔn)的假設(shè)坐標(biāo)參考系。由式(1)、式(2)可知，經(jīng)典平差針對(duì)單一的同類觀測(cè)量平差是精準(zhǔn)、可行的。

1.2　赫爾默特方差分量估計(jì)法數(shù)學(xué)模型

赫爾默特方差分量估計(jì)法的基本思想是：先對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)根據(jù)先驗(yàn)值定初權(quán)，進(jìn)行預(yù)平差，根據(jù)預(yù)平差得到的各類觀測(cè)量的改正數(shù)信息，采用一定的原則對(duì)各類觀測(cè)值的方差和協(xié)方差估算，依此定權(quán)，經(jīng)過(guò)N次迭代計(jì)算，直至其角度、距離等多種觀測(cè)量權(quán)數(shù)分配合理后進(jìn)行最終平差(目前比較通用觀點(diǎn)是角度和距離的權(quán)數(shù)接近1∶1為宜)。

赫爾默特方差分量估計(jì)公式

(4)

其中

根據(jù)測(cè)量等級(jí)和精度的要求，賦予迭代計(jì)算的限值為迭代終止標(biāo)志。

由上分析可知，在赫爾默特方差分量估計(jì)法中，方差分量估值與平差網(wǎng)中的自由度有關(guān)，當(dāng)自由度較大，或者換言之多余觀測(cè)量較多時(shí)，方差分量的估值才是可靠的。

2單一附合導(dǎo)線兩種平差模型的對(duì)比分析

單一附合導(dǎo)線的特點(diǎn)是觀測(cè)量較少，僅為設(shè)站點(diǎn)、前后視各點(diǎn)之間的角度和距離觀測(cè)量。圖1為單一附合導(dǎo)線示意。該單一附合導(dǎo)線中方向、距離觀測(cè)數(shù)為32個(gè)，方向多余觀測(cè)分量總和為2.03，距離多余觀測(cè)分量總和為0.97，自由度為3。

使用經(jīng)典平差與赫爾默特方差分量估計(jì)法分別對(duì)該單一附合導(dǎo)線進(jìn)行平差后，坐標(biāo)成果最大較差為3 mm，精度指標(biāo)對(duì)比見表1。

從表1可知，赫爾默特方差分量估計(jì)法平差計(jì)算結(jié)果的最大方向中誤差、最大距離中誤差、最大點(diǎn)位中誤差都較大，分別為經(jīng)典平差計(jì)算結(jié)果的1.7倍、2.6倍和1.87倍，最弱邊相對(duì)中誤差近似是后者的2/5，說(shuō)明在單一附合導(dǎo)線平差中經(jīng)典平差可靠度和精度要優(yōu)于赫爾默特方差分量估計(jì)法。

3雙導(dǎo)線網(wǎng)兩種平差模型的對(duì)比分析

在長(zhǎng)大隧道中需要布設(shè)雙導(dǎo)線網(wǎng)，其每測(cè)站有4個(gè)方向的觀測(cè)量，有一定的多余觀測(cè)值。圖2為雙導(dǎo)線網(wǎng)示意。該雙導(dǎo)線網(wǎng)中方向、距離觀測(cè)數(shù)為382個(gè)，方向多余觀測(cè)分量總和為125，距離多余觀測(cè)分量總和為64，自由度為189。

使用經(jīng)典平差與赫爾默特方差分量估計(jì)法分別對(duì)該雙導(dǎo)線網(wǎng)進(jìn)行平差計(jì)算后，坐標(biāo)成果最大較差為5.10 mm，精度指標(biāo)對(duì)比見表2。

從表2可知，赫爾默特方差分量估計(jì)法平差計(jì)算結(jié)果的最大方向中誤差、最大距離中誤差、最大點(diǎn)位中誤差與經(jīng)典平差計(jì)算結(jié)果相近，最弱邊相對(duì)中誤差近似是后者的2/3，說(shuō)明在雙導(dǎo)線網(wǎng)平差中經(jīng)典平差可靠度和精度略微優(yōu)于赫爾默特方差分量估計(jì)法，兩者效果近似相等。

4自由測(cè)站邊角交會(huì)網(wǎng)(CPⅢ網(wǎng))兩種平差模型的對(duì)比分析

CPⅢ平面網(wǎng)要求每個(gè)測(cè)點(diǎn)至少有單獨(dú)的3次觀測(cè)，其多余觀測(cè)較多，自由度較大，圖3為CPⅢ平面觀測(cè)網(wǎng)示意。選取某高鐵CPⅢ平面測(cè)量網(wǎng)進(jìn)行比較計(jì)算。所選網(wǎng)中方向、距離觀測(cè)數(shù)為1 032個(gè)，方向多余觀測(cè)分量總和為235個(gè)，距離多余觀測(cè)分量總和為342個(gè)，自由度為576。

使用經(jīng)典平差與赫爾默特方差分量估計(jì)法分別對(duì)該CPⅢ平面網(wǎng)進(jìn)行平差計(jì)算后，坐標(biāo)成果最大較差為0.8 mm，精度指標(biāo)對(duì)比見表3。

比較可知，赫爾默特方差分量估計(jì)法平差計(jì)算結(jié)果的最大方向中誤差、最大距離中誤差、最大點(diǎn)位中誤差都較小，分別為經(jīng)典平差計(jì)算結(jié)果的0.64倍、0.58倍和0.68倍，最弱邊相對(duì)中誤差近似是后者的1.2倍，說(shuō)明在自由測(cè)站邊角交會(huì)網(wǎng)(CPⅢ網(wǎng))平差中赫爾默特方差分量估計(jì)法的可靠度和精度要優(yōu)于經(jīng)典平差。

5結(jié)論

經(jīng)典平差采用對(duì)單一的同類觀測(cè)量進(jìn)行先驗(yàn)值定權(quán)平差，適用于觀測(cè)類較少的單一附合導(dǎo)線平差計(jì)算；赫爾默特方差分量估計(jì)法從先驗(yàn)值出發(fā)，預(yù)平差后調(diào)整先驗(yàn)值，確定方差估計(jì)值后再定權(quán)，進(jìn)而進(jìn)行平差計(jì)算，只有在觀測(cè)量較多，自由度較大時(shí)其計(jì)算出的方差估計(jì)值才是精確、可靠的，所以赫爾默特方差分量估計(jì)法適用于精度要求較高、平差網(wǎng)形較大且多余觀測(cè)較多的平差計(jì)算。對(duì)于一般雙導(dǎo)線網(wǎng)，只要外業(yè)觀測(cè)指標(biāo)合格，兩種平差方法精度指標(biāo)相當(dāng)，經(jīng)典平差精度指標(biāo)略優(yōu)于赫爾默特方差分量估計(jì)法，但是兩者計(jì)算結(jié)果相差不大，均能滿足工程需要。

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中圖分類號(hào)：P207

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1672-7479(2015)05-0013-03

作者簡(jiǎn)介：第一郭軍強(qiáng)(1983—)，男，2006年畢業(yè)于中南大學(xué)土木工程專業(yè)，工程師。

收稿日期：2015-08-21