一類非線性偽雙曲方程Hermite型有限元的超收斂分析和外推

毛鳳梅， 刁 群， 王俊俊

(平頂山學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 河南 平頂山 467000)

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一類非線性偽雙曲方程Hermite型有限元的超收斂分析和外推

毛鳳梅， 刁 群， 王俊俊

(平頂山學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 河南 平頂山 467000)

在半離散格式下討論了一類非線性偽雙曲方程的Hermite型矩形元逼近. 利用插值理論、高精度分析和平均值技巧，借助于插值后處理技術(shù)，導(dǎo)出了精確解u的H1模意義下O(h3)階的超逼近性質(zhì)和整體超收斂. 進(jìn)一步，通過(guò)構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)妮o助問(wèn)題，運(yùn)用Richardson外推格式，得到了更高精度O(h4)階的外推結(jié)果.

非線性偽雙曲方程； 超逼近和超收斂； Hermite型矩形元； 外推

0 引言

考慮如下一類非線性偽雙曲方程:

(1)

其中，Ω為R2上的一個(gè)有界閉區(qū)域，?Ω為其光滑邊界，X=(x,y).u0(X),u1(X),g(X,t)是已知光滑函數(shù)，f(u)，a(u)，b(u)滿足有界函數(shù)且關(guān)于u滿足Lipschitz條件.

偽雙曲問(wèn)題[1]是人們?cè)谘芯糠蔷€性連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)，動(dòng)物神經(jīng)軸突中的生物傳導(dǎo)過(guò)程或黏彈性理論中提出的，這類方程的特點(diǎn)是含有時(shí)間和空間的高階混合偏導(dǎo)數(shù)，對(duì)它的研究具有重要的理論價(jià)值與實(shí)際意義.文獻(xiàn)[2-3]利用H1-Galerkin混合有限元方法對(duì)其進(jìn)行了收斂性分析；文獻(xiàn)[4]利用類Wilson元對(duì)其進(jìn)行了超收斂性分析. 超收斂性和外推是提高有限元解的精度的有效方法，文獻(xiàn)[5]構(gòu)造了新的非常規(guī)Hermite型矩形元，并且對(duì)二階橢圓方程導(dǎo)出了超收斂及外推結(jié)果；文獻(xiàn)[6-7]分別討論了Sine-Gordon方程和黏彈性方程的Hermite型元的高精度分析及超收斂性和外推. 本文主要目的是討論非線性偽雙曲方程的非常規(guī)Hermite型矩形元的超逼近及超收斂分析和外推，利用積分恒等式、平均值理論和插值后處理技術(shù)，得到了H1模意義下O(h3)階的超逼近結(jié)果. 最后，通過(guò)構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)耐馔聘袷?，?dǎo)出了O(h4)階的外推結(jié)果.

1 單元構(gòu)造及引理

在K上定義有限元(K,Pk,∑k)如下：

Pk=span{1，x，y，xy，x2，y2，x2y，xy2}，

設(shè)Ih:H2(Ω)→Vh為其誘導(dǎo)出的插值算子，文獻(xiàn)[5]已驗(yàn)證該插值算子適定，并有引理1.

(2)

變分問(wèn)題(2)有限元逼近方程為：求uh∈Vh,使得?v∈Vh，有

(3)

由微分方程解的存在唯一性定理[8]知,方程(3)存在唯一解.

2 超逼近和超收斂分析

基于上述引理，給出下面的超逼近分析：

證明令u-uh=(u-Ιhu)+(Ιhu-uh)=η+θ,?v∈Vh,由式(2)，(3)得

(θtt,v)+(a(uh)θt,v)+(b(uh)θ,v)=

((f(u)-f(uh))ut,v)+(f(uh)θt,v)+(f(uh)ηt,v)-(ηtt，v)-

(α(uh)ηt,v)-((a(u)-a(uh))ut,v)-(b(uh)η,v)-

((b(u)-b(uh))u,v).

(4)

令v=θt代入式(4)，則

((b0-b(uh))θ,θt)+((f(u)-f(uh))ut,θt)+(f(uh)θt,θt)+(f(uh)ηt,θt)-(ηtt,θt)-

((a(uh)-a(u))ηt,ηt,ηt,θt)-

((a(u)-a(uh))ut,θt)-((b(uh)-b(u))η,η,θt)-

(5)

兩邊對(duì)t積分，并注意到θ(X,0)=θt(X,0)=0，再由Gronwall引理可得

(6)

3 外推

設(shè)網(wǎng)格剖分是均勻的(記hx,K=hx，hy,K=hy)，根據(jù)文獻(xiàn)[5，7]，有下面的引理2，3.

引理2[7]?u∈H4(Ω),v∈Vh,則有

引理3[5]?u∈H5(Ω),v∈Vh,則有

基于上面的引理，有定理3.

定理3設(shè)u,ut∈H5(Ω),utt∈H4(Ω)則

證明根據(jù)方程(4)和引理2，3得

(θtt,v)+(a(uh)θt,v)+(b(uh)θ,v)=

((f(u)-f(uh))ut,v)+((f(uh))θt,v)+((f(uh))ηt,v)-((a(uh)-a(u))ηt,v)-

(7)

考慮輔助問(wèn)題，

(8)

其中，L(v)=L1(v)+L2(v)+L3(v).

類似于式(5)的估計(jì)得，

問(wèn)題(8)的有限元逼近問(wèn)題為

(9)

由式(7)得

(θtt，v)+(a(uh)θt,v)+(b(uh)θ,v)=

(10)

由式(9)、(10)得

(11)

((b0-b(uh))ξ,

兩邊從0到t積分，并注意到ξ(X,0)=ξt(X,0)=0，再由Gronwall引理得

把相鄰的16個(gè)Th的小單元格合并構(gòu)成的1個(gè)大單元格，類似于文獻(xiàn)[5]中構(gòu)造的插值后處理算子4h，則成立如下的外推結(jié)果：1=O(h4).

注：本文的超逼近和超收斂結(jié)果對(duì)Hermite型三角形元亦成立.

[1] Pao C V. A mixed initial boundary-value problem arising in neurophysiology[J]. J Math Anal Appl,1975, 52(1): 105-119.

[2] Shi D Y,Zhang Y D．AnH1-Galerkin mixed finite element methods for pseudo-hyperbolic equations[J]. Math Appl，2011，24(3): 448-455．

[3] Wang J F, Liu Y, Li H, et al. AnH1-Galerkin expanded mixed element method for semi-linear hyperbolic wave equation[J]．Chin Quart J of Math，2013, 28(1): 60-68.

[4] 史艷華，石東洋．偽雙曲方程類Wilson 非協(xié)調(diào)元逼近[J]. 山東大學(xué)學(xué)報(bào)：理學(xué)版，2013, 48(4): 77-84.

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[7] 史艷華，石東洋．粘彈性方程Hermite 型有限元新的超收斂分析及外推[J]. 河南師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2009,32(6): 148-151.

[8] Hale J K. Ordinary Differential Equations[M]. New York: Wiley-Inter Science, 1969.

A New Superconvergence Analysis and Extrapolation of Hermite-type Finite Element for Nonlinear Pseudo-hyperbolic Equation

MAO Feng-mei, DIAO Qun, WANG Jun-jun

(SchoolofMathematicsandInformationScience,PingdingshanUniversity,Pingdingshan467000,China)

A Hermit-type rectangular element approximation was discussed for a class of nonlinear pseudo-hyperbolic equation under semi-discrete scheme. The superclose properties and the global superconvergence with orderO(h3) for the exactuinH1norm were obtained through interpolated post-processing approach. Furthermore, by constructing a suitable auxiliary problem, the extrapolation solution with orderO(h4) was deduced through Richardson scheme.

pseudo-hyperbolic equation； Hermite-type rectangular element； superclose and superconvergence； extrapolation

2014-11-12

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目，編號(hào)11271340.

毛鳳梅(1965-)，女，河南魯山人，副教授，主要從事有限元方法及應(yīng)用研究，E-mail: maofengmei@pdsu.edu.cn；通訊作者：刁群(1979-)，女，河南夏邑人，講師，碩士，主要從事有限元方法及應(yīng)用研究，E-mail:diaoqun.happy@163.com．

O242.21

A

1671-6841(2015)01-0006-04

10.3969/j.issn.1671-6841.2015.01.002