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葉勵(lì)城

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1002-7661（2014）24-119-03

1.學(xué)貴有疑，有問(wèn)題，有動(dòng)力，有希望

高三市質(zhì)檢一結(jié)束，我們高二年級(jí)的許多同學(xué)便拿高三的質(zhì)檢卷來(lái)做練習(xí)，我表?yè)P(yáng)了同學(xué)們的這種積極進(jìn)取的學(xué)習(xí)精神。同學(xué)們的問(wèn)題主要集中在解析幾何的這道直線過(guò)定點(diǎn)的問(wèn)題：

已知?jiǎng)訄AC過(guò)定點(diǎn)（1，0），且與直線x=-1相切.

（Ⅰ）求動(dòng)圓圓心C的軌跡方程；

（Ⅱ）設(shè)A、B是軌跡C上異于原點(diǎn)O的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線OA和OB的傾斜角分別為 和 ， ①當(dāng) = 時(shí)，求證直線AB恒過(guò)一定點(diǎn)M；

②若 為定值 ，直線AB是否仍恒過(guò)一定點(diǎn)，若存在，試求出定點(diǎn)的坐標(biāo)； 若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

有8個(gè)同學(xué)在晚自習(xí)的時(shí)候問(wèn)同樣的這個(gè)問(wèn)題。恰好圓錐曲線部分剛學(xué)完正好處于復(fù)習(xí)階段，于是我準(zhǔn)備將類似問(wèn)題做一個(gè)小結(jié)。當(dāng)天晚自習(xí)就布置任務(wù)，要求全體同學(xué)都要完成這道題目，并且安排了一些問(wèn)題讓同學(xué)們思考。

2.觀察

觀察是有目的、有計(jì)劃、比較持久的知覺(jué)。它是以視覺(jué)為主，融其他感覺(jué)為一體的綜合感知，是知覺(jué)的一種高級(jí)形式。觀察中包 含著積極的思維活動(dòng)，因此，人們也把它稱為思維的知覺(jué)。觀察對(duì)于學(xué)習(xí)的重要性不言而喻，沒(méi)有觀察就沒(méi)有一切，一切問(wèn)題的解決都是從觀察開(kāi)始的，首先要做的是讓同學(xué)們學(xué)會(huì)觀察。

師：我們知道直線方程的幾種形式，對(duì)于直線 恒過(guò)定點(diǎn)是什么含義呢？

生：k與b之間有聯(lián)系，可以用一個(gè)字母k或b表示，令其前面系數(shù)為0消除掉其影響就得到定點(diǎn)了。

師：很好，如果k與b都帶著呢？它們之間的關(guān)系又不能明確表述出來(lái)。

生：那就依據(jù)直線系方程理論使k與b前面系數(shù)均為0即可。

師：很好，誰(shuí)能上前面來(lái)展示下我們的作業(yè)。

同學(xué)A在投影儀上展示其解答（解法1）：

解： （Ⅰ）方程為y2=4x.

（Ⅱ）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）.

由題意得x1≠x2（否則 ）且x1x2≠0，則

所以直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為y=kx+b，

則將y=kx+b與y2=4x聯(lián)立消去x，得ky2-4y+4b=0

由韋達(dá)定理得 -------※

當(dāng) = 時(shí)， 所以 ，

所以y1y2=16，又由※知：y1y2= 所以b=4k；因此直線AB的方程可表示為y=kx+4k，所以直線AB恒過(guò)定點(diǎn)（-4，0）.

②當(dāng) 為定值 時(shí).若 = ，由①知，

直線AB恒過(guò)定點(diǎn)M（-4，0）

當(dāng) 時(shí)，由 ，得 = =

將※式代入上式整理化簡(jiǎn)可得： ，所以 ，

此時(shí)，直線AB的方程可表示為y=kx+ ，

所以直線AB恒過(guò)定點(diǎn)

所以當(dāng) 時(shí)，直線AB恒過(guò)定點(diǎn)（-4，0）.，當(dāng) 時(shí)直線AB恒過(guò)定點(diǎn) .

師：很好很漂亮的解答，討論的夠仔細(xì)，標(biāo)準(zhǔn)解答也不過(guò)如此，有其他解法嗎？

同學(xué)B在投影儀上展示其解答（解法2）：

解： （Ⅰ）方程為y2=4x.

（Ⅱ）設(shè) ，

則直線AB： 即： ，

①當(dāng) = 時(shí)， ，所以

直線AB： ，所以直線AB恒過(guò)定點(diǎn)（-4，0）.

②當(dāng) 為定值 時(shí)，若 = ，由①知，線AB恒過(guò)定點(diǎn)M（-4，0）

當(dāng) 時(shí)，由 ，得 = =

，直線AB：

所以直線AB恒過(guò)定點(diǎn)

所以當(dāng) 時(shí)，直線AB恒過(guò)定點(diǎn)（-4，0）.，當(dāng) 時(shí)直線AB恒過(guò)定點(diǎn) .

3.嘗試

嘗試，是做別人不敢做的事。嘗試，是勇氣，是去超越自我的勇氣； 嘗試，是一種意志，要嘗試，除了勇氣還要意志，有意志才能?chē)L試，才能做得更好。嘗試，讓我們明白了勞動(dòng)的可貴，明白了什么是快樂(lè)！

師：同學(xué)們給出的解答都很好，很漂亮，現(xiàn)我們玩一個(gè)小游戲，假設(shè)你是命題者，請(qǐng)你對(duì)此題稍加“加工改造”，并給出其解答。

嘗試1：同學(xué)C展示：在不改變所有題目的條件下，分別設(shè)OA，OB的斜率為 ，若 ，則直線AB恒過(guò)定點(diǎn) 。證明如下：

借助解法2的一些結(jié)論，若

直線AB為： ，直線AB恒過(guò)定點(diǎn) 。

師：很好，不過(guò)我這里有個(gè)問(wèn)題， 時(shí)情況如何？

沉默一會(huì)后，有同學(xué)回答了： 時(shí)兩傾斜角互補(bǔ)， ，此時(shí)直線即： ，這些直線都與X軸垂直，之間相互平行。

師：對(duì)了，這時(shí)候這些直線不過(guò)定點(diǎn)，但是定向。

嘗試2：同學(xué)D展示：在不改變所有題目的條件下，分別設(shè)OA，OB的斜率為 ，若 ，則直線AB恒過(guò)定點(diǎn) 。證明如下：

借助解法2的一些結(jié)論，

直線AB為： ，直線AB恒過(guò)定點(diǎn) 。

師：這里一定要有 這個(gè)條件的，否則沒(méi)有意義。

嘗試3：同學(xué)E說(shuō)：在不改變所有題目的條件下，不妨設(shè) 當(dāng) 時(shí)，直線AB恒過(guò)定點(diǎn)（4，0）. 當(dāng) 時(shí)，情況不知道。同學(xué)E很不好意思。

師：沒(méi)關(guān)系，做到哪里算哪里，拿出來(lái)讓同學(xué)們看一下。展示如下：

當(dāng) 時(shí)， 所以 直線AB為： ，直線AB恒過(guò)定點(diǎn)（4，0）。

當(dāng) 時(shí)， ，所以

直線AB為： ，算到這里算不下去了。

師：為什么算不下去了呢？因?yàn)榧s束條件不夠強(qiáng)，也就是說(shuō)當(dāng) 時(shí)不足以使直線過(guò)定點(diǎn)，并且也不能保證直線定向。

嘗試4：同學(xué)F說(shuō)：在不改變所有題目的條件下，若 ，則討論無(wú)法進(jìn)行，我弄不清楚。同學(xué)們都睜大了眼睛，想看看同學(xué)F下一步怎么做。

若 ，則

即： ，當(dāng) 時(shí)，由 得

此時(shí)， 有兩個(gè)值從而直線AB： ，直線是什么樣子我弄不清楚了。同學(xué)們也都很疑惑了。

師：你看看你的操作多么規(guī)范，思維多么嚴(yán)謹(jǐn)，討論多么清晰??！呵呵。。。只差最后一小步，直線一定過(guò)兩定點(diǎn) 中的一個(gè)。

嘗試5：同學(xué)G：設(shè) 是拋物線 上任意一點(diǎn)，過(guò)M做AM，BM交拋物線于A，B兩點(diǎn)，當(dāng) 時(shí)，直線AB過(guò)定點(diǎn) 。仿同學(xué)B的解法如下：設(shè) ，

則直線AB： 即： ，

所以 ，即

直線AB為： ，

直線AB恒過(guò)定點(diǎn) 即 。

師：這個(gè)同學(xué)的思路寬，視野開(kāi)闊，同學(xué)G的做法還可以推廣：當(dāng)拋物線是 時(shí)，定點(diǎn)為 ，同學(xué)們也可以對(duì)嘗試1，2，3，4及題目進(jìn)行類似5的嘗試或推廣。

4.更進(jìn)一步

師：同學(xué)們做了一些很了不起的工作，也基本能弄懂直線恒過(guò)定點(diǎn)的本質(zhì)了，下面檢查一下同學(xué)們學(xué)習(xí)效果。

練習(xí)1：（07山東理）1.已知橢圓 的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 軸上，橢圓 上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為 ，最小值為 .

（Ⅰ）求橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）若直線 與橢圓 相交于 ， 兩點(diǎn)（ 不是左右頂點(diǎn)），且以 為直徑的圓過(guò)橢圓 的右頂點(diǎn)，求證：直線 過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

練習(xí)：2：（12福建理）如圖，橢圓E： 的左焦點(diǎn)為 ，右焦點(diǎn)為 ，離心率 。過(guò) 的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且△ 的周長(zhǎng)為8。

（Ⅰ）求橢圓E的方程。

（Ⅱ）設(shè)動(dòng)直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，且與直線x=4相較于點(diǎn)Q。試探究：在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)M，使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)M？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由。

5.不同的風(fēng)景同樣的心情

因?yàn)橐恍┈F(xiàn)實(shí)的原因，學(xué)校的生源狀況總會(huì)出現(xiàn)了一些變化。老師們教學(xué)的時(shí)候可能要有一些變化。筆者認(rèn)為以下幾點(diǎn)是重要的：

1，教會(huì)學(xué)生學(xué)習(xí)的方法，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。記得一位資深老教師在一次給學(xué)生上課時(shí)對(duì)課堂學(xué)習(xí)的要求作了最精辟的解釋：第一，想到；第二，會(huì)寫(xiě)；第三，寫(xiě)的清楚，明白。

2. 教會(huì)學(xué)生學(xué)會(huì)面對(duì)困難，解決困難。如何面對(duì)困難，面對(duì)困難時(shí)應(yīng)當(dāng)拿出一個(gè)什么樣的態(tài)度，這都是我們要做的。青春沒(méi)有失敗，今天不會(huì)，明天再來(lái)。在高中階段我們更注重對(duì)人的培養(yǎng)，如何培養(yǎng)人？給學(xué)生一顆堅(jiān)強(qiáng)勇敢的心。

3，給學(xué)生愛(ài)，教會(huì)學(xué)生對(duì)自己的行為負(fù)責(zé)。陽(yáng)光學(xué)校的理念是全員育人，全程服務(wù)，。。。。。。只有更多的關(guān)心與愛(ài)護(hù)你才能更多的了解學(xué)生，學(xué)生才會(huì)更多的理解你。

4，教會(huì)學(xué)生學(xué)會(huì)交流合作互相學(xué)習(xí)。兩個(gè)人把兩個(gè)蘋(píng)果互換，每個(gè)人只得到一個(gè)蘋(píng)果，而兩個(gè)人互相交換思想方法，那么每個(gè)人都能得到兩種思想方法。