電磁感應(yīng)現(xiàn)象與動(dòng)力學(xué)圖像綜合類型題解析

林颋煒

（南平市教研室 福建 南平 353000）

電磁感應(yīng)的圖像問題歷年來是高考命題的熱點(diǎn)，它不僅考查電磁感應(yīng)的知識(shí)，還考查學(xué)生的多種能力，特別是應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)處理物理問題的能力和綜合分析問題的能力.過去涉及到應(yīng)用數(shù)學(xué)圖像法處理電磁感應(yīng)的綜合計(jì)算中，常涉及磁感應(yīng)強(qiáng)度B，磁通量Φ，感應(yīng)電動(dòng)勢E和感應(yīng)電流I等電磁學(xué)的物理量隨時(shí)間t變化的圖線，即B－t圖線、Φ－t圖線、E－t圖線和I－t圖線等.但在近年的試題中出現(xiàn)vt圖線 、F－t圖 線、a－t圖線 、a－s圖 線、F－v圖線 、s－t圖線等動(dòng)力學(xué)的圖像和電磁感應(yīng)問題相結(jié)合的試題，這些圖像問題是一種半定量分析，解題時(shí)通過題干所給的動(dòng)力學(xué)圖像結(jié)合電磁感應(yīng)過程進(jìn)行互推，由給定的動(dòng)力學(xué)的有關(guān)圖像分析電磁感應(yīng)過程，求解相應(yīng)物理量.

本文就近年出現(xiàn)的動(dòng)力學(xué)圖像與電磁感應(yīng)綜合的新熱點(diǎn)計(jì)算題進(jìn)行歸納和分析，應(yīng)該對(duì)高三的復(fù)習(xí)教學(xué)有一定的指導(dǎo)作用.

1 v－t圖像和s－t圖像與電磁感應(yīng)結(jié)合情況

【例1】如圖1（a）所示，abcd是位于豎直平面內(nèi)的正方形閉合金屬線框，金屬線框的質(zhì)量為m，電阻為R.在金屬線框的下方有一勻強(qiáng)磁場區(qū)域，MN和M′N′是勻強(qiáng)磁場區(qū)域的水平邊界，并與線框的bc邊平行，磁場方向與線框平面垂直.現(xiàn)金屬線框由距MN 的某一高度從靜止開始下落，圖1（b）是金屬線框由開始下落到完全穿過勻強(qiáng)磁場區(qū)域瞬間的速度－時(shí)間圖像，圖像中坐標(biāo)軸上所標(biāo)出的字母均為已知量.求：

（1）金屬框的邊長；

（2）磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度；

（3）金屬線框在整個(gè)下落過程中所產(chǎn)生的熱量.

圖1

解析：（1）當(dāng)線框bc邊剛接觸MN 切割磁場到ad邊到達(dá)MN邊界的t2－t1時(shí)間內(nèi)是做勻速直線運(yùn)動(dòng)，

由勻速直線運(yùn)動(dòng)可得：金屬線框的邊長

（2）在t2－t1時(shí)間內(nèi)，金屬線框進(jìn)入磁場的過程中，金屬線框所受安培力等于重力

（3）金屬線框在t2－t1時(shí)間內(nèi)，進(jìn)入磁場過程中金屬框產(chǎn)生的熱為Q1，由動(dòng)能定理得

金屬線框在t4－t3時(shí)間內(nèi)，離開磁場過程中金屬線框產(chǎn)生的熱為Q2，由動(dòng)能定理得

所以線框產(chǎn)生的總熱量

【例2】如圖2（a）所示是某人設(shè)計(jì)的一種振動(dòng)發(fā)電裝置，它的結(jié)構(gòu)是一個(gè)半徑為r＝0.1m的20匝線圈，線圈套在永久磁鐵槽中，磁場的磁感線均沿半徑方向均勻分布，其右視圖如圖2（b）.在線圈所在位置磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小均為0.2T.線圈的電阻為2Ω，它的引出線接有8Ω的燈L，外力推動(dòng)線圈的P端做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，便有電流通過電燈.當(dāng)線圈向右的位移隨時(shí)間變化的規(guī)律如圖2（c）所示時(shí)（x取向右為正）

（1）試畫出感應(yīng)電流隨時(shí)間變化的圖像［在圖2（b）中取逆時(shí)針電流為正］；

（2）求每一次推動(dòng)線圈運(yùn)動(dòng)過程中的作用力；

（3）求該發(fā)電機(jī)的功率.（摩擦等損耗不計(jì)）

圖2

解析：（1）由s－t圖像轉(zhuǎn)化為v－t圖像如圖3，由線圈在一個(gè)周期內(nèi)運(yùn)動(dòng)可以看出，線圈往返的每次運(yùn)動(dòng)都是勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度為

線圈做切割磁感線運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的感應(yīng)電流每次運(yùn)動(dòng)過程中都是恒定不變的，由于感應(yīng)電動(dòng)勢E＝nBLv，式中L是線圈每一周的長度，即2πr，所以

感應(yīng)電流

圖3

從圖4（a）中可以看出線圈沿x正方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，產(chǎn)生的感應(yīng)電流是順時(shí)針的（從右向左看）.于是可得到如圖4（b）所示的電流隨時(shí)間變化的圖像.

圖4

（2）由于線圈每次運(yùn)動(dòng)都是勻速直線運(yùn)動(dòng)，所以每次運(yùn)動(dòng)過程中推力必須等于安培力，即

（3）發(fā)電機(jī)的輸出功率即燈的電功率為

點(diǎn)評(píng)：v－t圖像和電磁感應(yīng)結(jié)合，是高考試題的?？键c(diǎn).通常由v－t圖像分析出物體運(yùn)動(dòng)過程中不同階段的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，其中勻速直線運(yùn)動(dòng)通過建立平衡方程，勻變速直線運(yùn)動(dòng)通過牛頓第二定律求解，變加速直線運(yùn)動(dòng)聯(lián)系動(dòng)能定理和功能關(guān)系等.同時(shí)根據(jù)物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)判斷導(dǎo)體在電磁感應(yīng)過程中安培力大小的變化，從而求解電磁學(xué)、動(dòng)力學(xué)的物理量以及電磁感應(yīng)的能量問題.s－t圖像結(jié)合電磁感應(yīng)，可以把s－t圖像轉(zhuǎn)換為v－t圖像，運(yùn)用類似的方法解題.此類題目很好地考查了學(xué)生信息收集和處理能力，以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析、解決問題的能力.

2 a－s圖像和v－s圖像與電磁感應(yīng)結(jié)合情況

【例3】如圖5（a）所示，平行金屬導(dǎo)軌豎直放置，導(dǎo)軌間距為L＝1m，上端接有電阻R1＝3Ω，下端接有電阻R2＝6Ω，虛線O O′下方是垂直于導(dǎo)軌平面的勻強(qiáng)磁場.現(xiàn)將質(zhì)量m＝0.1kg、電阻不計(jì)的金屬桿ab，從O O′上方某處垂直導(dǎo)軌由靜止釋放，桿下落0.2m過程中始終與導(dǎo)軌保持良好接觸，加速度a與下落距離s的關(guān)系圖像如圖5（b）所示，求：磁感應(yīng)強(qiáng)度B.

圖5

解析：由圖5（b）分析可知，桿ab下落距離為s＝0.05m的過程中做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度a＝g＝10m／s2，所以桿做自由落體后進(jìn)入磁場時(shí)的瞬時(shí)速度

由圖5（b）知，桿ab剛進(jìn)入磁場時(shí)的瞬時(shí)加速度

根據(jù)牛頓第二定律得

回路中的電動(dòng)勢為

由電阻并聯(lián)可得總電阻R為

ab桿中的電流

此時(shí)ab所受安培力為

【例4】在質(zhì)量為M＝1kg的小車上，豎直固定著一個(gè)質(zhì)量為m＝0.2kg，高h(yuǎn)＝0.05m，總電阻R＝100Ω，n＝100匝矩形線圈，且小車與線圈的水平長度l相同.現(xiàn)線圈和小車一起在光滑的水平面上運(yùn)動(dòng)，速度為v1＝10m／s，隨后穿過與線圈平面垂直，磁感應(yīng)強(qiáng)度B＝1.0T的水平有界勻強(qiáng)磁場，方向垂直紙面向里，如圖6（a）所示.已知小車運(yùn)動(dòng)（包括線圈）的速度v隨車的位移s變化的v－s圖像如圖6（b）所示.求：

（1）小車的水平長度l和磁場的寬度d；

（2）小車的位移s＝10cm時(shí)線圈中的電流大小I以及此時(shí)小車的加速度a；

（3）在線圈進(jìn)入磁場的過程中通過線圈某一截面的電荷量q；

（4）線圈和小車通過磁場的過程中線圈電阻的發(fā)熱量Q.

圖6

解析：（1）由圖可知，從s1＝5cm開始，線圈進(jìn)入磁場，線圈中有感應(yīng)電流，受安培力作用，小車做減速運(yùn)動(dòng)，速度v隨位移s減小，當(dāng)s2＝15cm時(shí)，線圈完全進(jìn)入磁場，線圈中感應(yīng)電流消失，小車做勻速運(yùn)動(dòng).因此小車的水平長度

當(dāng)s3＝30cm時(shí)，線圈開始離開磁場 ，則

（2）當(dāng)s＝10cm時(shí)，由圖像中可知線圈右邊切割磁感線的速度v2＝8m／s.

由閉合電路歐姆定律得線圈中的電流

此時(shí)線圈所受安培力

F＝nBIh＝100×1×0.4×0.05N＝2N小車的加速度

（3）由圖像可知，線圈左邊離開磁場時(shí)，小車的速度為v3＝2m／s.

線圈進(jìn)入磁場和離開磁場時(shí)，克服安培力做功，線圈的動(dòng)能減少，轉(zhuǎn)化成電能消耗在線圈上產(chǎn)生電熱.

解得：線圈電阻發(fā)熱量Q＝57.6J.

點(diǎn)評(píng)：a－s圖像和v－s圖像結(jié)合電磁感應(yīng)，通常關(guān)注導(dǎo)體的加速度a，速度v隨位移s的變化關(guān)系：首先分析圖像時(shí)應(yīng)找圖像的斜率、拐點(diǎn)等；其次注意在位移s變化過程中a和v的瞬時(shí)值大小，同時(shí)找準(zhǔn)各段圖線對(duì)應(yīng)的物理過程，理清導(dǎo)體在磁場中運(yùn)動(dòng)的位移和所對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，其聯(lián)系橋梁是磁場對(duì)感應(yīng)電流的安培力.因?yàn)楦袘?yīng)電流產(chǎn)生的安培力與導(dǎo)體運(yùn)動(dòng)的加速度有相互制約的關(guān)系，所以判斷出導(dǎo)體電磁感應(yīng)的過程和安培力的變化后，結(jié)合牛頓第二定律方程F合＝ma求解相關(guān)物理量.

3 F－v圖像和F－t圖像與電磁感應(yīng)相結(jié)合情況

【例5】水平面上兩根足夠長的金屬導(dǎo)軌平行固定放置，間距為L，一端通過導(dǎo)線與阻值為R的電阻連接；導(dǎo)軌上放一質(zhì)量為m的金屬桿［見圖7（a）］，金屬桿與導(dǎo)軌的電阻忽略不計(jì)；均勻磁場豎直向下.用與導(dǎo)軌平行的恒定拉力F作用在金屬桿上，桿最終將做勻速運(yùn)動(dòng).當(dāng)改變拉力的大小時(shí)，相對(duì)應(yīng)的勻速運(yùn)動(dòng)速度v也會(huì)變化，v與F 的關(guān)系如圖7（b）.（取重力加速度g＝10m／s2）

（1）金屬桿在勻速運(yùn)動(dòng)之前做什么運(yùn)動(dòng)？

（2）若m ＝0.5kg，L＝0.5m，R＝0.5Ω，磁感應(yīng)強(qiáng)度B為多大？

（3）由v－F圖像的截距可求得什么物理量？其值為多少？

圖7

解析：（1）變速運(yùn)動(dòng)（或變加速運(yùn)動(dòng)、加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)，加速運(yùn)動(dòng)）.

（2）感應(yīng)電動(dòng)勢

由圖線可知金屬桿受拉力、安培力和阻力作用，勻速時(shí)合力為零可得

由圖線可以得到直線的斜率

（3）由直線的截距可以求得金屬桿受到的阻力f，在圖線上取兩點(diǎn)坐標(biāo)代入，可得

若金屬桿受到的阻力僅為動(dòng)摩擦力，由截距可求得動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.4.

【例6】相距為L＝0.20m的足夠長的金屬直角導(dǎo)軌如圖8（a）所示放置，它們各有一邊在同一水平面內(nèi)，另一邊垂直于水平面.質(zhì)量均為m＝0.1kg的金屬細(xì)桿ab，cd與導(dǎo)軌垂直接觸形成閉合回路，桿與導(dǎo)軌之間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ，導(dǎo)軌電阻不計(jì)，回路總電阻為R＝1.0Ω.整個(gè)裝置處于磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B＝0.50T，方向豎直向上的勻強(qiáng)磁場中.當(dāng)ab桿在平行于水平導(dǎo)軌的拉力F作用下從靜止開始沿導(dǎo)軌勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，cd桿也同時(shí)從靜止開始沿導(dǎo)軌向下運(yùn)動(dòng).測得拉力F與時(shí)間t的關(guān)系如圖8（b）所示.g＝10m／s2，求：

（1）桿ab的加速度a和動(dòng)摩擦因數(shù)μ；

（2）桿cd從靜止開始沿導(dǎo)軌向下運(yùn)動(dòng)達(dá)到最大速度所需的時(shí)間t0.

圖8

解析：（1）經(jīng)時(shí)間t，桿ab的速率

此時(shí)，回路中的感應(yīng)電流為

對(duì)桿ab由牛頓第二定律得

由以上各式整理得

在圖像上取兩點(diǎn)

代入上式得

（2）cd桿受力情況如圖8（a），當(dāng)cd桿所受重力與滑動(dòng)摩擦力相等時(shí)，速度最大，即

點(diǎn)評(píng)：F－v圖像和F－t圖像與電磁感應(yīng)結(jié)合的這種類型試題對(duì)學(xué)生提出了較高的要求，通常磁場中作用在導(dǎo)體上的外力和安培力隨速度、時(shí)間變化，對(duì)所給的圖像要求學(xué)生一方面要明確圖像中橫軸與縱軸所表達(dá)的物理意義，另一方面還要搞清圖像所揭示的物理規(guī)律或物理量間的函數(shù)關(guān)系.通過圖像推導(dǎo)出坐標(biāo)軸上物理量對(duì)應(yīng)物理方程的表達(dá)式，并挖掘圖像中的隱含條件.結(jié)合圖線的斜率（常表示一個(gè)物理量）、截距（常反映－個(gè)物理量的臨界值）和圖線與坐標(biāo)軸圍成的面積（常與某一物理量相對(duì)應(yīng)）等各量表示的物理意義求解.

筆者認(rèn)為結(jié)合動(dòng)力學(xué)圖像的試題是電磁感應(yīng)中研究動(dòng)力學(xué)問題的新考點(diǎn)，它與動(dòng)力學(xué)的物理情境題比較，試題中恰當(dāng)?shù)匾霐?shù)學(xué)圖像，?？苫橄鬄樾蜗?，便于突破難點(diǎn)、疑點(diǎn)，使解題過程大大簡化.同時(shí)圖像一方面具有簡明、直觀的特點(diǎn)，它既能形象地展示兩個(gè)相關(guān)物理量間的相互制約關(guān)系，又可清晰描述復(fù)雜的物理過程，幫助學(xué)生快速進(jìn)入物理情境；另一方面直觀的圖像便于教師歸納出物理規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生的物理思維，構(gòu)建物理模型，達(dá)到事半功倍的教學(xué)效果.