帶電體的電勢及場強(qiáng)求解方法

黃開智

(江蘇省姜堰二中，江蘇　泰州　225500)

帶電體的電勢及場強(qiáng)求解方法

黃開智

(江蘇省姜堰二中，江蘇泰州225500)

摘要：本文探討了均勻帶電球體和球殼周圍的電勢及電場強(qiáng)度分布情況，并通過Mathematica軟件模擬了等量異種電荷電勢的三維分布，總結(jié)了幾種典型的帶電體的電勢及其場強(qiáng)的計(jì)算方法.

關(guān)鍵詞：電勢；電場強(qiáng)度；高斯定理；Mathematica軟件

在電磁學(xué)的習(xí)題中常會遇到求解帶電體模型的電勢或者場強(qiáng)的問題，例如均勻帶電球殼、均勻帶電球體、等量異種或同種點(diǎn)電荷等模型.高中階段，學(xué)生很難分清楚電勢與電場強(qiáng)度的概念及其計(jì)算方法，僅能勉強(qiáng)求解一些比較特殊點(diǎn)的電勢或者電場強(qiáng)度.經(jīng)驗(yàn)不足的教師也不大清楚典型帶電體周圍電勢的變化情況，導(dǎo)致不能站在一個(gè)更高的角度來施教.

靜電場中某點(diǎn)的電勢在數(shù)值上等于單位正電荷在該點(diǎn)處的電勢能，也等于單位正電荷從該點(diǎn)經(jīng)過任意路徑移到無限遠(yuǎn)處時(shí)電場力所做的功(此時(shí)認(rèn)為無窮遠(yuǎn)處電勢為零).若已知電荷在空間的分布，一般來說求電勢或場強(qiáng)的方法有兩種，可根據(jù)不同電荷分布，選擇不同方法：一種是先求解出電場強(qiáng)度E的分布函數(shù)，應(yīng)用場強(qiáng)與電勢的關(guān)系，對場強(qiáng)做線積分運(yùn)算，求解電勢；另一種是直接根據(jù)電勢疊加原理，求解任意點(diǎn)的電勢，進(jìn)而運(yùn)用電勢梯度的負(fù)值等于場強(qiáng)的特點(diǎn)求解該點(diǎn)場強(qiáng).

1均勻帶電球體的場強(qiáng)及電勢分布

問題：均勻帶正電球體置于真空中，帶電量為Q，球體半徑為R，球心為O，求球體周圍空間的電場強(qiáng)度及電勢.

圖1

分析：如圖1所示，由于球體具有球?qū)ΨQ性，因此在三維空間我們可以選取球坐標(biāo)(r、θ、φ)來研究電場強(qiáng)度.在r>R的空間，可以將球體看成點(diǎn)電荷模型處理.在r

解：(1) 通過以上分析可得到的結(jié)論是：任一同心球面上場強(qiáng)大小E都相等，方向與此球面垂直.接下來需要利用靜電場的高斯定理來計(jì)算場強(qiáng)的大小.

圖2

圖2給出了該種帶電球體電場強(qiáng)度的函數(shù)分布圖.可以看出，均勻帶電體的場強(qiáng)是連續(xù)的，且在球體表面處場強(qiáng)有極大值.

圖2也給出了該種帶電體電勢的函數(shù)分布圖，不難看出，均勻帶電球體周圍的電勢和電場一樣也是連續(xù)的，且電勢在球心處有最大值.

這里要說明兩點(diǎn)：其一，由于均勻帶電體不是一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)，電荷最終會向帶電體表面移動，形成一個(gè)帶電面，尤其是導(dǎo)體，此時(shí)場強(qiáng)或電勢分布將會出現(xiàn)變化(本文第2部分將會說明).其二，若是針對均勻帶電體，按照高斯定理，體內(nèi)的場強(qiáng)就不會是零，這點(diǎn)很容易與處于靜電平衡的帶電體內(nèi)場強(qiáng)為零的結(jié)論相混淆.

2均勻帶電球殼的場強(qiáng)及電勢分布

問題：均勻帶正電球殼置于真空中，帶電量為Q，球殼半徑為R，球心為O，求球殼周圍空間的電場強(qiáng)度及電勢.

分析：如圖3所示，帶電體為球殼，相比帶電球體，其選用的坐標(biāo)系和理論方法同出一轍，但場強(qiáng)的計(jì)算要簡單得多.在處理這個(gè)問題時(shí)，同樣分r>R和r

圖3

若P點(diǎn)在球內(nèi)(圖3中高斯面S2)，此時(shí)發(fā)現(xiàn)，任一高斯面內(nèi)均沒有電荷，故在球殼內(nèi)部任一點(diǎn)的場強(qiáng)E=0.

(2) 選擇無窮遠(yuǎn)點(diǎn)為電勢的參考位置.

對比帶電球體和球殼，不難看出，各自的場強(qiáng)和電勢分布有很大不一樣.首先，對于場強(qiáng)而言，前者是連續(xù)的，極大值出現(xiàn)在球體表面處，而后者則是跳躍的，且球殼內(nèi)部場強(qiáng)處處為零，類似靜電平衡的導(dǎo)體；其次，對電勢而言，前者電勢一直在降低，后者在球殼內(nèi)部的電勢不變，為一等勢體.

3等量異種電荷的場強(qiáng)及電勢分布

圖4

圖4給出了真空中等量異種電荷模型，兩電荷各自帶電量為q，相距l(xiāng)，O為電荷連線中點(diǎn).求與電荷模型距離較遠(yuǎn)的P點(diǎn)的電勢和場強(qiáng)分布.

圖5

圖6

4場強(qiáng)及電勢分布一般處理方法

通過以上計(jì)算及相關(guān)模擬，在求解帶電體的電勢或場強(qiáng)時(shí)，二者是等價(jià)的.如果帶電體的場強(qiáng)相對說來比較好求解，可以先求解場強(qiáng)，進(jìn)而求解電勢，而這種帶電體多為單個(gè)帶電體，且?guī)缀涡螤畋容^規(guī)則；假若帶電體為多個(gè)，一般是先求解電勢，之后求解場強(qiáng)，因?yàn)殡妱莸那蠼饩褪瞧胀ǖ臉?biāo)量疊加，相比場強(qiáng)的矢量疊加來說較為簡單.

參考文獻(xiàn)：

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